দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

যে ভেক্টরের মান এক একক তাকে একক ভেক্টর বলে। কোনো ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে ঐ ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টর পাওয়া যায়; যেমন, a=A|A|।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র V=V_xi+V_yj+V_zk এর ডাইভারজেন্স হলো ভেক্টর অপারেটর ∇ ও V এর ডট গুণফল:

∇⋅V=∂V_x∂x+∂V_y∂y+∂V_z∂z

দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল সর্বদা একটি স্কেলার রাশি। উপরের রাশিমালায় কোনো একক ভেক্টর i, j, k নেই, তাই এর শুধু মান আছে, দিক নেই। এটি কোনো বিন্দুতে একক আয়তন থেকে ভেক্টর ক্ষেত্রের নিট বহির্মুখী ফ্লাক্স নির্দেশ করে। তাই ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি (অদিক রাশি)।

PQ=(−2−4)i+(4+2)j+(5−3)k=−6i+6j+2k

QR=(−1+2)i+(2−4)j+(−2−5)k=i−2j−7k

PQ×QR=ijk−6621−2−7

=i(−42+4)−j(42−2)+k(12−6)

=−38i−40j+6k

|PQ×QR|=(−38)²+(−40)²+6²=3080=55.5

∴ একক ভেক্টর,

η=PQ×QR|PQ×QR|=−38i−40j+6k3080

তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের বাহুগুলো PQ, QR ও RP। ত্রিভুজটি সমকোণী হলে যেকোনো দুটি বাহুর ডট গুণফল শূন্য হবে।

PQ=−6i+6j+2k, QR=i−2j−7k

RP=(4+1)i+(−2−2)j+(3+2)k=5i−4j+5k

এখন,

PQ⋅QR=(−6)(1)+(6)(−2)+(2)(−7)=−6−12−14=−32≠0

QR⋅RP=(1)(5)+(−2)(−4)+(−7)(5)=5+8−35=−22≠0

RP⋅PQ=(5)(−6)+(−4)(6)+(5)(2)=−30−24+10=−44≠0

বাহুগুলোর মানের সাহায্যেও যাচাই করা যায়:

|PQ|²=76, |QR|²=54, |RP|²=66

এখানে, 54+66=120≠76, 76+54=130≠66, 76+66=142≠54। অর্থাৎ পিথাগোরাসের উপপাদ্য কোনো বাহুর জন্য সিদ্ধ হয় না।

অতএব, উদ্দীপকের P, Q ও R বিন্দু তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে না।