যশোর বোর্ড ২০২১ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে। P(x, y, z) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, r=xi+yj+zk।

গুণ টানার সময় দড়ি দিয়ে নৌকার উপর তির্যকভাবে টান T প্রয়োগ করা হয়। দড়ি অনুভূমিকের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করলে টানের অনুভূমিক উপাংশ Tcos θ নৌকাকে সামনে এগিয়ে নেয় এবং উলম্ব উপাংশ Tsin θ নৌকাকে উপরের দিকে তুলতে চায়, যা কোনো কাজে আসে না।

দড়ি যত লম্বা হয়, কোণ θ তত ছোট হয়। ফলে cos θ এর মান বৃদ্ধি পায় এবং sin θ এর মান হ্রাস পায়।

তাই লম্বা দড়ি ব্যবহার করলে একই টানে কার্যকর অনুভূমিক উপাংশ Tcos θ বেশি হয় এবং অপ্রয়োজনীয় উলম্ব উপাংশ কম হয়। এজন্য অল্প বল প্রয়োগে সহজেই নৌকা টানা যায়। এটিই গুণ টানার সময় লম্বা দড়ি ব্যবহারের সুবিধা।

রবিন সোজা অপর পাড়ে গিয়ে কলেজে পৌঁছায়। তাই নৌকার বেগের স্রোত বরাবর উপাংশ স্রোতের বেগকে প্রশমিত করে।

আমরা জানি,

u+vcos α=0

বা, u=−vcos α

বা, u=−10×cos 120^∘=−10×(−0.5)

∴ u=5 km h⁻¹

অতএব, নদীতে স্রোতের বেগ 5 km h⁻¹।

রবিন সোজা অপর পাড়ে যায়, তাই তার লব্ধি বেগ নদীর প্রস্থ বরাবর এবং এর মান নৌকার বেগের প্রস্থ বরাবর উপাংশের সমান। নদীর পাড় হতে কলেজের দূরত্ব নগণ্য।

লব্ধি বেগ,

v_R=vsin α=10×sin 120^∘=10×0.866

বা, v_R=8.66 km h⁻¹

নদী পার হতে সময়,

t=dv_R=18.66 h

বা, t=0.1155 h=0.1155×60 min

∴ t=6.93 min

দেখা যায়, t=6.93 min<t₀=10 min। অর্থাৎ রবিন ক্লাস শুরুর 10−6.93=3.07 মিনিট আগেই কলেজে পৌঁছাবে।

অতএব, রবিন যথাসময়ে ক্লাসে উপস্থিত হতে পারবে।