বরিশাল বোর্ড ২০২৩ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো অঞ্চলের প্রতিটি বিন্দুতে কোনো স্কেলার রাশির একটি নির্দিষ্ট মান থাকলে ঐ অঞ্চলকে ঐ রাশির স্কেলার ক্ষেত্র বলে। যেমন—কোনো ঘরের বিভিন্ন বিন্দুর তাপমাত্রা T(x, y, z) একটি স্কেলার ক্ষেত্র গঠন করে।

কোনো ভেক্টর A এর বিপ্রতীপ ভেক্টর হলো এমন একটি ভেক্টর যার দিক A এর দিকেই কিন্তু মান A এর মানের বিপ্রতীপ, অর্থাৎ

A⁻¹=1Aa=AA²

যেসব ভেক্টর একই রেখা বা পরস্পর সমান্তরাল রেখা বরাবর ক্রিয়া করে তাদের সমরেখ ভেক্টর বলে। বিপ্রতীপ ভেক্টর A⁻¹ মূল ভেক্টর A কে একটি ধনাত্মক স্কেলার 1A² দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়, তাই এদের ক্রিয়ারেখা একই বা সমান্তরাল। সুতরাং একটি বিপ্রতীপ ভেক্টর তার মূল ভেক্টরের সাথে সমরেখ ভেক্টর; তাই বিপ্রতীপ ভেক্টরকে সমরেখ ভেক্টর বলা যাবে।

চিত্রে স্রোত ডান দিকে প্রবাহিত এবং প্রথম মাঝি AB এর সাথে উজানের দিকে (বামে) 30^∘ কোণে নৌকা চালায়। নৌকার বেগকে প্রস্থ (AB) বরাবর ও স্রোত বরাবর উপাংশে বিভাজন করি।

স্রোত বরাবর লব্ধি উপাংশ,

v_x=v−u₁sin 30^∘=8−16×0.5=0

প্রস্থ বরাবর উপাংশ,

v_y=u₁cos 30^∘=16×0.866=13.86 km h⁻¹

∴ লব্ধি বেগ,

R=v2x+v2y=0²+13.86²

∴ R=13.86 km h⁻¹

অতএব, প্রথম মাঝির লব্ধি বেগ 13.86 km h⁻¹, যা সোজা AB বরাবর ক্রিয়া করে।

'গ' থেকে পাই, প্রথম মাঝির লব্ধি বেগ AB বরাবর; তাই সে সোজা B বিন্দুতে পৌঁছায় এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব নদীর প্রস্থের সমান, s₁=2 km।

দ্বিতীয় মাঝি AB এর সাথে উজানের দিকে 60^∘ কোণে চালায়।

স্রোত বরাবর লব্ধি উপাংশ,

v_x=v−u₂sin 60^∘=8−16×0.866=−5.86 km h⁻¹

(ঋণাত্মক চিহ্ন উজানের দিক নির্দেশ করে)

প্রস্থ বরাবর উপাংশ,

v_y=u₂cos 60^∘=16×0.5=8 km h⁻¹

পার হওয়ার সময়,

t=dv_y=28=0.25 h

উজানের দিকে সরণ,

x=|v_x| t=5.86×0.25=1.464 km

∴ অতিক্রান্ত দূরত্ব,

s₂=d²+x²=2²+1.464²

∴ s₂=2.479 km

দেখা যায়, s₁=2 km<s₂=2.479 km। দ্বিতীয় মাঝি B বিন্দু থেকে 1.464 km উজানে গিয়ে অপর পাড়ে পৌঁছায়।

অতএব, প্রথম মাঝি নদী পার হতে কম দূরত্ব অতিক্রম করবে।