চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে। P(x, y, z) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, r=xi+yj+zk।

কোনো প্রাসকে অনুভূমিকের সাথে θ₀ কোণে v₀ বেগে নিক্ষেপ করলে এর বেগের অনুভূমিক উপাংশ v₀cos θ₀ এবং উল্লম্ব উপাংশ v₀sin θ₀।

অভিকর্ষজ ত্বরণ শুধু উল্লম্ব দিকে ক্রিয়া করে, তাই উল্লম্ব উপাংশ ক্রমশ কমে সর্বোচ্চ বিন্দুতে শূন্য হয়, কিন্তু অনুভূমিক উপাংশ v₀cos θ₀ সর্বদা অপরিবর্তিত থাকে।

সুতরাং সর্বোচ্চ বিন্দুতে প্রাসের বেগ v=v₀cos θ₀ এবং গতিশক্তি,

E_k=12mv20cos²θ₀

θ₀≠90^∘ হলে cos θ₀≠0, তাই এই গতিশক্তি শূন্য নয়। কেবল খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে (θ₀=90^∘) সর্বোচ্চ বিন্দুতে গতিশক্তি শূন্য হয়।

অতএব, প্রাসের গতিপথের সর্বোচ্চ বিন্দুতে গতিশক্তি শূন্য নয়।

প্রথম বোটটি AB বরাবর, অর্থাৎ AC এর সাথে উজানের দিকে 30^∘ কোণে চলে ঠিক বিপরীত বিন্দু C তে পৌঁছায়। তাই এর বেগের স্রোতের বিপরীত উপাংশ স্রোতের বেগকে প্রশমিত করে।

আমরা জানি,

vsin α=u

বা, vsin 30^∘=9

বা, v=90.5

∴ v=18 km h⁻¹

অতএব, নৌকা দুটির অভিন্ন বেগ 18 km h⁻¹।

নদী পার হওয়ার সময় নির্ভর করে নৌকার বেগের প্রস্থ (AC) বরাবর উপাংশের উপর।

প্রথম নৌকার প্রস্থ বরাবর বেগ,

v₁=vcos 30^∘=18×0.866=15.59 km h⁻¹

প্রথম নৌকার সময়,

t₁=dvcos 30^∘=3115.59=1.989 h

দ্বিতীয় নৌকা AC বরাবর চলে, তাই প্রস্থ বরাবর বেগ,

v₂=v=18 km h⁻¹

দ্বিতীয় নৌকার সময়,

t₂=dv=3118=1.722 h

সময়ের পার্থক্য,

Δt=t₁−t₂=1.989−1.722=0.266 h≈16 min

দ্বিতীয় নৌকার লব্ধি বেগ তীরের সাথে tan⁻¹189=63.43^∘ কোণে AD বরাবর, যা চিত্রের সাথে মিলে যায়। এটি ভাটিতে সরে গেলেও প্রস্থ বরাবর এর বেগ প্রথম নৌকার চেয়ে বেশি।

অতএব, নৌকা দুটি একই সময়ে অপর পারে পৌঁছাবে না; দ্বিতীয় নৌকাটি (AC বরাবর চালিত) প্রথমটির চেয়ে প্রায় 16 মিনিট আগে অপর পারে পৌঁছাবে।