ঢাকা বোর্ড ২০১৭ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো মুহূর্তে সময়ের সাথে বস্তুর সরণের পরিবর্তনের হারকে ঐ মুহূর্তের তাৎক্ষণিক বেগ বলে। অর্থাৎ, v=limΔt→0ΔrΔt=drdt।

পরবশ কম্পন ও অনুনাদের মধ্যে দুটি পার্থক্য:

১. কোনো বস্তুর উপর বাইরে থেকে যেকোনো কম্পাঙ্কের পর্যাবৃত্ত বল প্রয়োগ করলে বস্তুটি ঐ বলের কম্পাঙ্কে যে কম্পন করে তা পরবশ কম্পন; কিন্তু প্রযুক্ত বলের কম্পাঙ্ক বস্তুর স্বাভাবিক কম্পাঙ্কের সমান হলে যে বিশেষ পরবশ কম্পন ঘটে তা অনুনাদ।

২. পরবশ কম্পনে বস্তুর বিস্তার সাধারণত কম থাকে; কিন্তু অনুনাদে বস্তুর বিস্তার সর্বোচ্চ হয় এবং শক্তি স্থানান্তর সবচেয়ে বেশি হয়।

চিত্রে OA=P এবং OB=Q। তাই ΔOAB এর ক্ষেত্রফল =12|P×Q|।

P×Q=ijk1−2−12−32

=i{(−2)(2)−(−1)(−3)}−j{(1)(2)−(−1)(2)}+k{(1)(−3)−(−2)(2)}

=i(−4−3)−j(2+2)+k(−3+4)=−7i−4j+k

|P×Q|=(−7)²+(−4)²+1²=66=8.12

আমরা জানি,

ΔOAB=12|P×Q|=12×8.12

∴ ΔOAB=4.06 বর্গ একক

অতএব, ΔOAB এর ক্ষেত্রফল 4.06 বর্গ একক।

উদ্দীপকে "OB বাহু" বলতে চিত্রের কর্ণ OB ধরা হয়েছে; P⋅(Q−P)=0 হওয়ায় OABC আয়তক্ষেত্র হওয়ার শর্ত সিদ্ধ হয়।

চিত্র অনুসারে θ₁ হলো O বিন্দুতে OC ও OB এর মধ্যবর্তী কোণ এবং θ₂ হলো A বিন্দুতে AO ও কর্ণ CA এর মধ্যবর্তী কোণ।

OC=AB=Q−P=(2−1)i+(−3+2)j+(2+1)k=i−j+3k

AO=−P=−i+2j+k, AC=OC−OA=(1−1)i+(−1+2)j+(3+1)k=j+4k

মানগুলো: |OC|=11, |OB|=17, |AO|=6, |AC|=17।

θ₁ এর ক্ষেত্রে,

cos θ₁=OC⋅OB|OC||OB|=(1)(2)+(−1)(−3)+(3)(2)1117

বা, cos θ₁=11187=0.8044

∴ θ₁=36.45^∘

θ₂ এর ক্ষেত্রে,

cos θ₂=AO⋅AC|AO||AC|=(−1)(0)+(2)(1)+(1)(4)617

বা, cos θ₂=6102=0.5941

∴ θ₂=53.55^∘

দেখা যায়, θ₁=36.45^∘ এবং θ₂=53.55^∘; আয়তক্ষেত্র হওয়ায় θ₁+θ₂=90^∘। বাহু OC (11) বাহু OA (6) অপেক্ষা বড় হওয়ায় θ₂>θ₁।

অতএব, θ₁ ও θ₂ এর মধ্যে θ₂ বড়।