ঢাকা বোর্ড ২০১৭ — তরঙ্গ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ঘূর্ণায়মান বস্তুর ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুটির অবস্থান ভেক্টর ও রৈখিক ভরবেগের ভেক্টর গুণফলকে ঐ অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুর কৌণিক ভরবেগ বলে। অর্থাৎ, L=r×p।

বাঁকা রাস্তায় গাড়ি চলার সময় বৃত্তাকার পথে ঘোরার জন্য বাঁকের কেন্দ্রের দিকে একটি কেন্দ্রমুখী বলের প্রয়োজন হয়। শুধু টায়ার ও রাস্তার ঘর্ষণ বল এই প্রয়োজন মেটাতে যথেষ্ট না হলে গাড়ি বাইরের দিকে ছিটকে যেতে পারে।

এজন্য রাস্তার বাইরের প্রান্ত ভেতরের প্রান্তের চেয়ে উঁচু রেখে রাস্তাকে বাঁকের কেন্দ্রের দিকে (ভেতরের দিকে) ঢালু করা হয়। তখন রাস্তার অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া বল R এর অনুভূমিক উপাংশ Rsin θ প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল যোগায় এবং উল্লম্ব উপাংশ Rcos θ গাড়ির ওজন mg কে প্রশমিত করে।

Rsin θ=mv²r, Rcos θ=mg ∴ tan θ=v²rg

অর্থাৎ রাস্তাকে অনুভূমিকের সাথে θ=tan⁻¹v²rg কোণে ভেতরের দিকে ঢালু রাখা হয়, যেখানে v গাড়ির নিরাপদ বেগ এবং r বাঁকের ব্যাসার্ধ।

B সুরশলাকা হতে নির্গত তরঙ্গের সমীকরণকে অগ্রগামী তরঙ্গের আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা করি।

আমরা জানি,

y=asin 2πλ(vt−x)

প্রদত্ত সমীকরণ,

Y=0.9sin 10π30t0.4−x4.8=0.9sin 750πt−10π4.8x

তুলনা করে,

2πλ=10π4.8

বা, λ=2×4.810

∴ λ=0.96 m

অতএব, B সুরশলাকা হতে নির্গত তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্য 0.96 m।

উদ্দীপকে বীট সংখ্যা দেওয়া নেই; তাই C এর সম্ভাব্য কম্পাঙ্ক নির্ণয় করে মোম লাগানোর পরীক্ষার মাধ্যমে প্রকৃত কম্পাঙ্ক নিশ্চিত করার পদ্ধতি দেখানো হলো এবং উভয় শলাকার সাথে সমান বীটের ক্ষেত্রটি হিসাব করা হলো।

প্রথমে B এর কম্পাঙ্ক নির্ণয় করি।

প্রদত্ত সমীকরণ,

Y=0.9sin 750πt−10π4.8x

আদর্শ সমীকরণ y=asin (2πft−kx) এর সাথে তুলনা করে,

2πf_B=750π

∴ f_B=375 Hz

C সুরশলাকাটি A ও B উভয়ের সাথে বীট উৎপন্ন করে। C এর কম্পাঙ্ক f_C হলে, A এর সাথে প্রতি সেকেন্ডে N₁ টি এবং B এর সাথে N₂ টি বীট হলে,

f_C=385±N₁ এবং f_C=375±N₂

শ্রবণযোগ্য বীটের জন্য বীট সংখ্যা সাধারণত 10 এর বেশি হয় না। A ও B এর কম্পাঙ্কের পার্থক্য 385−375=10 Hz। তাই উভয় শলাকার সাথে শ্রবণযোগ্য বীট দিতে হলে f_C এর মান 375 Hz ও 385 Hz এর মাঝে হবে। এক্ষেত্রে, f_C=385−N₁=375+N₂, অর্থাৎ N₁+N₂=10।

যদি C উভয় শলাকার সাথে সমান সংখ্যক বীট দেয় (N₁=N₂=N), তবে,

385−N=375+N ∴ N=5, f_C=380 Hz

নিশ্চিত হওয়ার পদ্ধতি: C শলাকার বাহুতে সামান্য মোম লাগালে এর কম্পাঙ্ক কমে যায়। তখন যদি A এর সাথে বীট সংখ্যা বাড়ে এবং B এর সাথে বীট সংখ্যা কমে, তবে নিশ্চিত হওয়া যায় যে 375<f_C<385, অর্থাৎ f_C=385−N₁=375+N₂। বিপরীতভাবে বীট সংখ্যার পরিবর্তন হলে অন্য চিহ্নটি গ্রহণ করতে হবে।

অতএব, A ও B এর সাথে প্রাপ্ত বীট সংখ্যা গণনা করে এবং C এ মোম লাগিয়ে বীট সংখ্যার হ্রাস-বৃদ্ধি পর্যবেক্ষণ করে C এর কম্পাঙ্ক নিশ্চিত করা যায়; উভয়ের সাথে সমান বীট হলে C এর কম্পাঙ্ক 380 Hz এবং প্রতি সেকেন্ডে বীট সংখ্যা 5।