রাজশাহী বোর্ড ২০১৭ — তরঙ্গ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রায় সমান কম্পাঙ্কের দুটি শব্দ তরঙ্গ একই দিকে একই সাথে চললে তাদের উপরিপাতনের ফলে লব্ধি শব্দের তীব্রতা পর্যায়ক্রমে হ্রাস-বৃদ্ধি পায়। শব্দের তীব্রতার এই পর্যায়ক্রমিক হ্রাস-বৃদ্ধিকে বীট বলে।

কোনো বস্তুর উপর বাইরে থেকে পর্যায়বৃত্ত বল প্রয়োগ করে বস্তুটিকে বলের কম্পাঙ্কে কম্পিত হতে বাধ্য করলে সেই কম্পনকে আরোপিত কম্পন বলে।

আরোপিত পর্যায়বৃত্ত বলের কম্পাঙ্ক যদি বস্তুর স্বাভাবিক কম্পাঙ্কের সমান হয়, তবে বস্তুটি সর্বোচ্চ বিস্তারে কাঁপতে থাকে। এই বিশেষ অবস্থাকে অনুনাদ বলে।

অর্থাৎ অনুনাদও আরোপিত কম্পন, কারণ এখানেও বাহ্যিক পর্যায়বৃত্ত বলের প্রভাবে বস্তু কাঁপে। পার্থক্য শুধু এই যে, এক্ষেত্রে আরোপিত বলের কম্পাঙ্ক ও বস্তুর স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক সমান হওয়ায় বল ও কম্পনের দশা মিলে যায় এবং শক্তি স্থানান্তর সর্বাধিক হয়, ফলে বিস্তার সর্বোচ্চ হয়। তাই অনুনাদকে একটি বিশেষ ধরনের আরোপিত কম্পন বলা হয়।

প্রদত্ত সমীকরণকে y=asin 2πft−xλ এর সাথে তুলনা করে তরঙ্গবেগ ও অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করি।

তুলনা করে,

f=50 Hz, 1λ=0.75

বা, λ=10.75=1.333 m

আমরা জানি,

v=fλ=50×1.333=66.67 m s⁻¹

আবার, s=vt

বা, s=66.67×6

∴ s=400 m

অতএব, তরঙ্গটি 6 সেকেন্ডে 400 m দূরত্ব অতিক্রম করে।

উদ্দীপকের তরঙ্গটি ধনাত্মক x অক্ষ বরাবর চলছে:

y₁=0.5sin 2π(50t−0.75x)

একই বিস্তার, কম্পাঙ্ক ও তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আরেকটি তরঙ্গ বিপরীত দিক (ঋণাত্মক x অক্ষ) থেকে আসলে তার সমীকরণ,

y₂=0.5sin 2π(50t+0.75x)

উপরিপাতন নীতি অনুসারে লব্ধি সরণ,

y=y₁+y₂=0.5[sin 2π(50t−0.75x)+sin 2π(50t+0.75x)]

sin C+sin D=2sin C+D2cos C−D2 ব্যবহার করে,

y=2×0.5cos (2π×0.75x)sin (2π×50t)

y=1.0cos (1.5πx)sin (100πt)

এটি একটি স্থির তরঙ্গের সমীকরণ, কারণ এতে (vt±x) আকারের কোনো পদ নেই; প্রতিটি বিন্দু একই কম্পাঙ্ক f=50 Hz এ কাঁপে, কিন্তু বিস্তার A=1.0cos (1.5πx) অবস্থান x এর উপর নির্ভর করে।

নিস্পন্দ বিন্দুর জন্য বিস্তার শূন্য:

cos (1.5πx)=0 ⇒ 1.5πx=(2n+1)π2 ⇒ x=2n+13 m=0.333, 1, 1.667, … m

সুস্পন্দ বিন্দুর জন্য বিস্তার সর্বোচ্চ:

cos (1.5πx)=±1 ⇒ 1.5πx=nπ ⇒ x=2n3 m=0, 0.667, 1.333, … m

দুটি পাশাপাশি নিস্পন্দ (বা সুস্পন্দ) বিন্দুর দূরত্ব λ2=1.3332=0.667 m।

অতএব, তরঙ্গ দুটির উপরিপাতনে একটি স্থির তরঙ্গ সৃষ্টি হবে, যার সমীকরণ y=1.0cos (1.5πx)sin (100πt); এর কম্পাঙ্ক মূল তরঙ্গের সমান 50 Hz, সর্বোচ্চ বিস্তার দ্বিগুণ (1.0 m) এবং প্রতি 0.667 m পরপর নিস্পন্দ ও সুস্পন্দ বিন্দু থাকবে। এই তরঙ্গ সামনে অগ্রসর হয় না, তাই শক্তিও স্থানান্তরিত হয় না।