যশোর বোর্ড ২০১৬ — তরঙ্গ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো কণার পর্যাবৃত্ত গতিতে ত্বরণ যদি সর্বদা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (সাম্যাবস্থান) অভিমুখী হয় এবং ঐ বিন্দু থেকে কণার সরণের সমানুপাতিক হয়, তবে ঐ গতিকে সরল ছন্দিত গতি বলে। অর্থাৎ, a=−ω²x।

সরল দোলকের ববকে সাম্যাবস্থান থেকে θ কোণে সরালে ওজন mg এর স্পর্শকীয় উপাংশ mgsin θ ববকে সাম্যাবস্থানের দিকে ফিরিয়ে আনতে চায়। তাই প্রত্যায়নী বল,

F=−mgsin θ

কৌণিক বিস্তার ক্ষুদ্র (θ≤4^∘) হলে sin θ≈θ=xL, যেখানে x হলো বৃত্তচাপ বরাবর সরণ ও L দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য। তখন,

F=−mgLx ∴ a=−gLx

এখানে gL ধ্রুবক, তাই ববের ত্বরণ সরণের সমানুপাতিক এবং সর্বদা সাম্যাবস্থানের দিকে। এটিই সরল ছন্দিত গতির শর্ত। সুতরাং ক্ষুদ্র বিস্তারে সরল দোলকের গতি সরল ছন্দিত গতি।

প্রদত্ত সমীকরণকে আদর্শ সমীকরণ y=asin (ωt−kx) এর সাথে তুলনা করে পাই, ω=200π rad s⁻¹ এবং k=0.602π m⁻¹।

আমরা জানি,

k=2πλ

বা, λ=2π0.602π=20.602

∴ λ=3.32 m

আবার, ω=2πf

বা, f=200π2π=100 Hz

∴ v=fλ=100×3.322=332.23 m s⁻¹

অতএব, তরঙ্গটির তরঙ্গদৈর্ঘ্য 3.32 m এবং বেগ 332.23 m s⁻¹।

এক মাধ্যম থেকে অন্য মাধ্যমে গেলে তরঙ্গের কম্পাঙ্ক অপরিবর্তিত থাকে, তাই দ্বিতীয় মাধ্যমেও f=100 Hz। v=fλ অনুসারে বেগ বাড়লে তরঙ্গদৈর্ঘ্যও বাড়ে, তাই দ্বিতীয় মাধ্যমে তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ₂=λ₁+0.2 m।

আমরা জানি,

λ₂=λ₁+0.2=3.322+0.2=3.522 m

∴ v₂=fλ₂=100×3.522=352.23 m s⁻¹

বেগ বৃদ্ধি,

Δv=v₂−v₁=352.23−332.23

∴ Δv=20 m s⁻¹

লক্ষণীয়, Δv=f(λ₂−λ₁)=100×0.2=20 m s⁻¹ থেকেও সরাসরি একই ফল পাওয়া যায়।

অতএব, দ্বিতীয় মাধ্যমে তরঙ্গবেগ প্রথম মাধ্যমের চেয়ে 20 m s⁻¹ বৃদ্ধি পাবে।