দিনাজপুর বোর্ড ২০১৫ — তরঙ্গ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো তরঙ্গায়িত কণার যেকোনো মুহূর্তের গতির অবস্থা (সরণ, বেগ ও গতির দিক) যে রাশি দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তাকে দশা বলে। y=asin (ωt−kx) সমীকরণে (ωt−kx) হলো দশা।

প্রতি সেকেন্ডে বীট 6 বলতে বোঝায়, কাছাকাছি কম্পাঙ্কের দুটি শব্দ একসাথে উৎপন্ন হলে প্রতি সেকেন্ডে শব্দের তীব্রতা 6 বার সর্বোচ্চ ও 6 বার সর্বনিম্ন হয়।

প্রতি সেকেন্ডে বীট সংখ্যা উৎস দুটির কম্পাঙ্কের পার্থক্যের সমান, N=|f₁−f₂|। তাই এক্ষেত্রে উৎস দুটির কম্পাঙ্কের পার্থক্য 6 Hz।

অর্থাৎ পরপর দুটি সর্বোচ্চ তীব্রতার মধ্যবর্তী সময় বা বীট পর্যায়কাল 16 s।

প্রথম তরঙ্গ y₁=0.1sin 200πt−20π17x কে y=asin (ωt−kx) এর সাথে তুলনা করে পাই, ω=200π rad s⁻¹ এবং k=20π17 m⁻¹।

আমরা জানি,

v=ωk

বা, v=200π20π/17=200×1720

∴ v=170 m s⁻¹

অর্থাৎ f=100 Hz, λ=2πk=1.7 m এবং v=fλ=170 m s⁻¹। অতএব, প্রথম তরঙ্গটির তরঙ্গবেগ 170 m s⁻¹।

উদ্দীপকের তরঙ্গ দুটির বিস্তার (0.1 m), কম্পাঙ্ক (100 Hz) ও তরঙ্গদৈর্ঘ্য (1.7 m) সমান, কিন্তু y₁ ধনাত্মক x দিকে এবং y₂ ঋণাত্মক x দিকে চলে (চিত্রেও তীরচিহ্ন বিপরীতমুখী)। উপরিপাতনে লব্ধি সরণ,

y=y₁+y₂=0.1sin 200πt−20π17x+sin 200πt+20π17x

sin C+sin D=2sin C+D2cos C−D2 ব্যবহার করে,

y=2×0.1sin (200πt)cos −20π17x

∴ y=0.2cos 20πx17sin 200πt

এখানে লব্ধি বিস্তার A=0.2cos 20πx17, যা অবস্থান x এর উপর নির্ভর করে কিন্তু সময়ের উপর নয়। এবং সমীকরণে (ωt±kx) আকারের কোনো পদ নেই, তাই তরঙ্গটি কোনো দিকে অগ্রসর হয় না।

নিস্পন্দ বিন্দু (A=0): cos 20πx17=0 থেকে

x=λ4, 3λ4, …=0.425 m, 1.275 m, …

সুস্পন্দ বিন্দু (A=±0.2 m): cos 20πx17=±1 থেকে

x=0, λ2, λ, …=0, 0.85 m, 1.7 m, …

অতএব, উপরিপাতনের ফলে y=0.2cos 20πx17sin 200πt সমীকরণের একটি স্থির তরঙ্গ সৃষ্টি হবে, যার সর্বোচ্চ বিস্তার 0.2 m, কম্পাঙ্ক 100 Hz এবং পাশাপাশি দুটি নিস্পন্দ (বা সুস্পন্দ) বিন্দুর দূরত্ব λ2=0.85 m।