দিনাজপুর বোর্ড ২০১৫ — জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞান সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে যাওয়ার সময় আলো এমন পথ অনুসরণ করে যে পথে যেতে সময় সর্বনিম্ন (বা সর্বোচ্চ, অর্থাৎ স্থির) লাগে। এটিই ফার্মাটের নীতি।

কোনো আধান q চৌম্বকক্ষেত্র B এর মধ্যে v বেগে গতিশীল হলে আধানটির গতির ফলে এর চারপাশে একটি চৌম্বকক্ষেত্র সৃষ্টি হয়, কারণ গতিশীল আধান তড়িৎপ্রবাহের সমতুল্য।

এই নিজস্ব চৌম্বকক্ষেত্র বাহ্যিক চৌম্বকক্ষেত্রের সাথে মিথস্ক্রিয়া করে, ফলে আধানটি একটি বল অনুভব করে, যাকে লরেঞ্জ চৌম্বক বল বলে,

F=q(v×B)

এর মান F=qvBsin θ, যেখানে θ হলো v ও B এর মধ্যবর্তী কোণ। বলের দিক বেগ ও চৌম্বকক্ষেত্র উভয়ের লম্ব বরাবর।

আধান স্থির থাকলে (v=0) বা ক্ষেত্রের সমান্তরালে চললে (θ=0^∘) কোনো বল কাজ করে না। তাই কেবল গতিশীল আধানই চৌম্বকক্ষেত্রে বল অনুভব করে।

সরল অণুবীক্ষণ যন্ত্রে চূড়ান্ত বিম্ব স্পষ্ট দর্শনের ন্যূনতম দূরত্বে D=25 cm গঠিত হলে বিবর্ধন ক্ষমতা সর্বাধিক হয়।

আমরা জানি,

m=1+Df

বা, m=1+2520

বা, m=1+1.25

∴ m=2.25

অতএব, লেন্সটিকে সরল অণুবীক্ষণ যন্ত্র হিসেবে ব্যবহার করলে এর বিবর্ধন ক্ষমতা 2.25।

কাচের প্রতিসরাঙ্ক n_g=1.5 ও পানির প্রতিসরাঙ্ক n_w=43 ধরা হয়েছে; চিত্র অনুসারে লেন্সটি সমোত্তল (r₁=r₂=r)।

লেন্স প্রস্তুতকারকের সূত্র ব্যবহার করে প্রথমে বায়ুতে লেন্সের বক্রতার ব্যাসার্ধ, তারপর পানিতে ফোকাস দূরত্ব নির্ণয় করি।

বায়ুতে,

1f_a=(n_g−1)1r₁+1r₂=(n_g−1)2r

বা, 120=(1.5−1)×2r=1r

∴ r=20 cm

পানিতে,

1f_w=n_gn_w−12r

বা, 1f_w=1.54/3−1×220=0.125×0.1

বা, 1f_w=0.0125 cm⁻¹

∴ f_w=80 cm

দেখা যায়, পানিতে কাচের আপেক্ষিক প্রতিসরাঙ্ক (1.125) বায়ুতে প্রতিসরাঙ্কের (1.5) চেয়ে কম, তাই n_gn_w−1 পদের মান 0.5 থেকে কমে 0.125 হয়। ফলে f_wf_a=0.50.125=4, অর্থাৎ পানিতে লেন্সটির ফোকাস দূরত্ব বায়ুর তুলনায় 4 গুণ হয়।

অতএব, পানি মাধ্যমে রাখলে লেন্সটির ফোকাস দূরত্ব 20 cm থেকে বেড়ে 80 cm হয়; সুতরাং উদ্দীপকের উক্তিটি গাণিতিকভাবে সঠিক।