ঢাকা বোর্ড ২০১৭ — গতিবিদ্যা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

অসীম দূরত্ব থেকে একক ভরের কোনো বস্তুকে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে আনতে যে পরিমাণ কাজ সম্পন্ন হয়, তাকে ঐ বিন্দুর মহাকর্ষীয় বিভব বলে। M ভরের বস্তু থেকে r দূরত্বে মহাকর্ষীয় বিভব V=−GMr।

কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল বলকে দুটি উপাংশে ভাগ করা যায় — একটি বেগের দিকে (স্পর্শকীয়) এবং অপরটি বেগের লম্ব দিকে। বেগের দিকের উপাংশ বস্তুর দ্রুতির মান পরিবর্তন করে, আর লম্ব উপাংশ শুধু বেগের দিক পরিবর্তন করে।

বল যদি সর্বদা বস্তুর বেগের লম্ব দিকে ক্রিয়া করে, তবে বল কর্তৃক কাজ W=Fscos 90^∘=0। ফলে বস্তুর গতিশক্তি, অর্থাৎ দ্রুতি, অপরিবর্তিত থাকে; শুধু গতির দিক পরিবর্তিত হয়।

যেমন, বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণায়মান বস্তুর উপর কেন্দ্রমুখী বল সর্বদা বেগের লম্ব বরাবর কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে, তাই বস্তুটি সমদ্রুতিতে ঘোরে।

আবার বস্তুর উপর নিট বল শূন্য হলেও বস্তুটি সমবেগে, অর্থাৎ সমদ্রুতিতে সরলপথে চলে। সুতরাং নিট বল শূন্য হলে অথবা বল সর্বদা বেগের লম্ব দিকে ক্রিয়াশীল থাকলে বস্তু সমদ্রুতিতে গতিশীল থাকবে।

অনুভূমিক উপাংশ,

v_x=v₀cos θ₀=32cos 30^∘=27.71 m s⁻¹

উল্লম্ব উপাংশ,

v_y=v₀sin θ₀−gt=32sin 30^∘−9.8×1.2

বা, v_y=16−11.76=4.24 m s⁻¹

∴ v=v2x+v2y=(27.71)²+(4.24)²=28.04 m s⁻¹

দিক, θ=tan⁻¹v_yv_x=tan⁻¹4.2427.71=8.7^∘

অতএব, নিক্ষেপণের 1.2 s পর বস্তুটির বেগ 28.04 m s⁻¹, যা অনুভূমিকের সাথে 8.7^∘ কোণে ঊর্ধ্বমুখী।

প্রথমে দেখি, 30^∘ কোণে নিক্ষেপ করলে দেয়ালের অবস্থানে (x=85 m) বস্তুটির উচ্চতা কত। প্রাসের গতিপথের সমীকরণ,

y=xtan θ−gx²2v20cos²θ

θ=30^∘ হলে,

y=85tan 30^∘−9.8×85²2×32²×cos²30^∘

বা, y=49.07−46.10=2.98 m

দেয়ালে বাধা পাওয়ার সীমায় y=2 m এবং 1cos²θ=1+tan²θ বসিয়ে,

2=85tan θ−9.8×85²2×32²(1+tan²θ)

বা, 34.57tan²θ−85tan θ+36.57=0

বা, tan θ=85±85²−4×34.57×36.572×34.57

∴ tan θ=0.556 বা 1.903

∴ θ=29.07^∘ বা 62.27^∘

30^∘ কোণে দেয়ালের অবস্থানে বস্তুর উচ্চতা 2.98 m>2 m, তাই বস্তুটি দেয়ালের উপর দিয়ে চলে যায়। নিক্ষেপণ কোণ 29.07^∘ থেকে 62.27^∘ এর মধ্যে থাকলে বস্তুটি দেয়াল অতিক্রম করবে।

নিক্ষেপণ কোণ 29.07^∘ এর চেয়ে কম হলে দেয়ালের অবস্থানে উচ্চতা 2 m এর কম হবে এবং বস্তুটি দেয়ালে বাধা পাবে। এজন্য কোণ কমাতে হবে ন্যূনতম 30^∘−29.07^∘=0.93^∘। অপরদিকে কোণ বাড়িয়ে বাধা পেতে হলে কোণ 62.27^∘ এর বেশি, অর্থাৎ 32.27^∘ বাড়াতে হতো, যা অনেক বড় পরিবর্তন।

উল্লেখ্য, কোণ খুব বেশি কমালে (প্রায় 27.22^∘ এর কম) পাল্লা 85 m এর কম হয়ে বস্তুটি দেয়ালের আগেই মাটিতে পড়বে; তাই 27.22^∘ থেকে 29.07^∘ এর মধ্যে নিক্ষেপ করলে বস্তুটি দেয়ালে আঘাত করবে।

অতএব, নিক্ষেপণ কোণ ন্যূনতম প্রায় 0.93^∘ কমিয়ে 29.07^∘ এর নিচে নিলেই প্রাসটি AB দেয়ালে বাধা পাবে।