বরিশাল বোর্ড ২০১৯ — গতিবিদ্যা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ধনাত্মক x, y ও z অক্ষ বরাবর ক্রিয়াশীল একক ভেক্টরগুলোকে আয়ত একক ভেক্টর বলে। এদের যথাক্রমে i, j ও k দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

একই ক্রমে ক্রিয়াশীল তিনটি ভেক্টরকে যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা মানে ও দিকে একই ক্রমে নির্দেশ করা যায়, তবে প্রথম ভেক্টরের আদিবিন্দু ও তৃতীয় ভেক্টরের শেষবিন্দু একই বিন্দুতে মিলে যায়।

ধরি, ত্রিভুজ ABC এর বাহুগুলো AB=P, BC=Q ও CA=R। ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র অনুসারে,

P+Q+R=AB+BC+CA=AA=0

অর্থাৎ একই ক্রমে সাজানো ভেক্টর তিনটি একটি বদ্ধ ত্রিভুজ গঠন করলে তাদের লব্ধি শূন্য হয়। এর জন্য যেকোনো দুটি ভেক্টরের মানের যোগফল তৃতীয়টির মানের চেয়ে বড় বা সমান হতে হবে।

বস্তুটি OAC পথে 3.062 s সময়ে C বিন্দুতে পৌঁছায়, অর্থাৎ এটি উড্ডয়নকাল।

আমরা জানি,

T=2v₀sin αg

বা, sin α=gT2v₀=9.8×3.0622×30

বা, sin α=0.5

∴ α=30^∘

অতএব, উদ্দীপকের α কোণের মান 30^∘।

একই বেগে নিক্ষেপ করে ভিন্ন পথে একই বিন্দু C তে পৌঁছাতে হলে দুই ক্ষেত্রে পাল্লা সমান হতে হবে। পাল্লা R=v20sin 2θg এবং sin 2θ=sin (180^∘−2θ)=sin 2(90^∘−θ); তাই θ ও (90^∘−θ) কোণে নিক্ষেপ করলে পাল্লা সমান হয়। সুতরাং OBC পথের জন্য নিক্ষেপণ কোণ β=90^∘−30^∘=60^∘ নিয়ে যাচাই করি।

OAC পথে পাল্লা,

R₁=v20sin 2αg=30²×sin 60^∘9.8=79.53 m

OBC পথে পাল্লা,

R₂=v20sin 2βg=30²×sin 120^∘9.8=79.53 m

OAC পথে সর্বোচ্চ উচ্চতা,

H_A=v20sin²α2g=30²×(0.5)²2×9.8=11.48 m

OBC পথে সর্বোচ্চ উচ্চতা,

H_B=v20sin²β2g=30²×(0.866)²2×9.8=34.44 m

OBC পথে উড্ডয়নকাল,

T₂=2v₀sin βg=2×30×sin 60^∘9.8=5.30 s

দেখা যায়, 60^∘ কোণে নিক্ষেপ করলে পাল্লা 79.53 m, যা 30^∘ কোণের পাল্লার সমান। এ পথে সর্বোচ্চ উচ্চতা (34.44 m) A বিন্দুর উচ্চতার (11.48 m) চেয়ে বেশি, যা চিত্রের B বিন্দুর অবস্থানের সাথে মিলে যায়; তবে সময় বেশি লাগে (5.30 s)।

অতএব, বস্তুটিকে একই বেগে (30 m s⁻¹) অনুভূমিকের সাথে 60^∘ কোণে নিক্ষেপ করলে OBC পথে C বিন্দুতে পৌঁছানো সম্ভব।