যশোর বোর্ড ২০১৭ — গতিবিদ্যা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে একক ভরের একটি বস্তু রাখলে তার উপর যে মহাকর্ষ বল ক্রিয়া করে, তাকে ঐ বিন্দুর মহাকর্ষীয় প্রাবল্য বলে। অর্থাৎ E=Fm, এর একক N kg⁻¹।

সময়ের সাথে কোনো বস্তুর কৌণিক বেগের পরিবর্তনের হারকে কৌণিক ত্বরণ বলে, α=dωdt। কৌণিক বেগের একক rad s⁻¹ এবং সময়ের একক s বলে কৌণিক ত্বরণের একক rad s⁻²।

কোনো বস্তুর কৌণিক ত্বরণ 1 rad s⁻² বলতে বোঝায়, বস্তুটির কৌণিক বেগ প্রতি সেকেন্ডে 1 rad s⁻¹ হারে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

যেমন, কোনো চাকার কৌণিক ত্বরণ 5 rad s⁻² হলে প্রতি সেকেন্ডে চাকাটির কৌণিক বেগ 5 rad s⁻¹ করে বাড়ে।

উভয় চিত্রে বলটি v₀=40 m s⁻¹ বেগে অনুভূমিকের সাথে 45^∘ কোণে নিক্ষিপ্ত হয়। 2 s পর বেগের অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ বের করে লব্ধি নির্ণয় করি।

অনুভূমিক উপাংশ,

v_x=v₀cos θ₀=40cos 45^∘=28.28 m s⁻¹

উল্লম্ব উপাংশ,

v_y=v₀sin θ₀−gt=40sin 45^∘−9.8×2

বা, v_y=28.28−19.6=8.68 m s⁻¹

∴ v=v2x+v2y=(28.28)²+(8.68)²=29.59 m s⁻¹

দিক, θ=tan⁻¹v_yv_x=tan⁻¹8.6828.28=17.07^∘

অতএব, 2 সেকেন্ড পর বলের বেগ 29.59 m s⁻¹, যা অনুভূমিকের সাথে 17.07^∘ কোণে ঊর্ধ্বমুখী।

চিত্র (i) এ গাছের উচ্চতা 20 m (O থেকে 30 m দূরে) এবং চিত্র (ii) এ গাছের উচ্চতা 10 m (O থেকে 100 m দূরে) পড়া হয়েছে; গর্ত উভয় ক্ষেত্রে O থেকে 160 m দূরে এবং g=9.8 m s⁻² ধরা হয়েছে।

বলটি গর্তে পড়তে হলে (১) গাছের অবস্থানে বলের উচ্চতা গাছের উচ্চতার চেয়ে বেশি হতে হবে এবং (২) বলের পাল্লা গর্তের দূরত্বের সমান হতে হবে। প্রাসের গতিপথের সমীকরণ,

y=xtan θ₀−gx²2v20cos²θ₀

চিত্র (i): x₁=30 m এ,

y₁=30tan 45^∘−9.8×30²2×40²×cos²45^∘

বা, y₁=30−5.51=24.49 m>20 m

চিত্র (ii): x₂=100 m এ,

y₂=100tan 45^∘−9.8×100²2×40²×cos²45^∘

বা, y₂=100−61.25=38.75 m>10 m

পাল্লা,

R=v20sin 2θ₀g=40²×sin 90^∘9.8

∴ R=163.27 m

দেখা যাচ্ছে, চিত্র (i) এ বলটি গাছের অবস্থানে 24.49 m উচ্চতায় এবং চিত্র (ii) এ 38.75 m উচ্চতায় থাকে; অর্থাৎ কোনো চিত্রেই গাছ বলের গতিপথে বাধা সৃষ্টি করে না।

উভয় ক্ষেত্রে আদিবেগ ও নিক্ষেপণ কোণ একই হওয়ায় পাল্লাও একই, R=163.27 m। এটি গর্তের দূরত্বের চেয়ে 163.27−160=3.27 m বেশি।

অতএব, g=9.8 m s⁻² ধরলে দুই চিত্রেই বলটি গাছ অতিক্রম করে গর্ত থেকে 3.27 m সামনে গিয়ে পড়বে, কোনোটিই ঠিক গর্তে পড়বে না। তবে g=10 m s⁻² ধরলে R=40²10=160 m হয় এবং সেক্ষেত্রে উভয় চিত্রের বলই গর্তে পড়বে; অর্থাৎ ফলাফলের দিক থেকে চিত্র (i) ও (ii) এর মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই।