যশোর বোর্ড ২০১৫ — গতিবিদ্যা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো গতিশীল বস্তুর কোনো একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তের বেগকে তাৎক্ষণিক বেগ বলে। অতি ক্ষুদ্র সময় ব্যবধানে সরণের পরিবর্তনের হারের সীমান্তিক মানই তাৎক্ষণিক বেগ, v=lim_Δt→0ΔrΔt=drdt।

লং জাম্পে অ্যাথলেট লাফ দেওয়ার মুহূর্তে একটি প্রাসের মতো আচরণ করেন। প্রাসের অনুভূমিক পাল্লা,

R=v20sin 2θ₀g

অর্থাৎ পাল্লা আদিবেগের বর্গের সমানুপাতিক। বেশ কিছুদূর থেকে দৌড়ে এলে অ্যাথলেট লাফের মুহূর্তে বেশি বেগ অর্জন করেন এবং গতি জড়তার কারণে সেই বেগ নিয়েই শূন্যে ওঠেন। ফলে আদিবেগ v₀ বেশি হওয়ায় অনুভূমিক দূরত্ব (পাল্লা) অনেক বেড়ে যায়। দাঁড়ানো অবস্থা থেকে লাফ দিলে আদিবেগ কম হয়, তাই দূরত্বও কম হয়। এজন্য অ্যাথলেট লং জাম্প দেওয়ার পূর্বে বেশ কিছুদূর থেকে দৌড় দেন।

বুলেটটি রাইফেলের নলের ভেতরে স্থিরাবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করে নলের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করে 750 m s⁻¹ বেগে নির্গত হয়।

আমরা জানি,

v²=u²+2as

বা, a=v²−u²2s

বা, a=(750)²−02×0.6=5625001.2

∴ a=4.69×10⁵ m s⁻²

অতএব, বুলেটের গড় ত্বরণ 4.69×10⁵ m s⁻²।

"অতিক্রান্ত দূরত্ব" বলতে অনুভূমিক পাল্লা ধরা হয়েছে এবং ভিন্ন ভিন্ন কোণ বলতে পরস্পর পূরক দুটি কোণ (θ ও 90^∘−θ) বিবেচনা করা হয়েছে; বায়ুর বাধা উপেক্ষিত।

ধরি, বুলেটটি v₀=750 m s⁻¹ বেগে অনুভূমিকের সাথে একবার θ কোণে এবং আরেকবার (90^∘−θ) কোণে নিক্ষিপ্ত হলো।

θ কোণে নিক্ষেপ করলে পাল্লা,

R₁=v20sin 2θg

(90^∘−θ) কোণে নিক্ষেপ করলে পাল্লা,

R₂=v20sin 2(90^∘−θ)g=v20sin (180^∘−2θ)g=v20sin 2θg

∴ R₁=R₂

উদাহরণস্বরূপ, θ=30^∘ ও 90^∘−θ=60^∘ ধরি:

R_30^∘=v20sin 60^∘g=(750)²×0.8669.8=49708.09 m

R_60^∘=v20sin 120^∘g=(750)²×0.8669.8=49708.09 m

∴ R_30^∘=R_60^∘≈49.71 km

অর্থাৎ sin 2θ=sin (180^∘−2θ) হওয়ায় একই বেগে পরস্পর পূরক কোণে নিক্ষিপ্ত প্রাসের পাল্লা সমান হয়; শুধু বেশি কোণের ক্ষেত্রে প্রাস বেশি উচ্চতায় ওঠে ও বেশি সময় শূন্যে থাকে। (45^∘ কোণে পাল্লা সর্বাধিক, R_max=v20g।)

অতএব, বুলেটটি প্রাস হলে একই বেগে ভিন্ন ভিন্ন (পরস্পর পূরক) কোণে নিক্ষেপ করলে এর অনুভূমিক অতিক্রান্ত দূরত্ব একই থাকবে।