কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭ — গতিবিদ্যা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

বৃত্তাকার পথে গতিশীল কোনো কণার বেগের দিক পরিবর্তনের জন্য যে ত্বরণ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বরাবর কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে, তাকে কেন্দ্রমুখী ত্বরণ বলে। এর মান a_c=v²r=ω²r।

ঘূর্ণনশীল কণার রৈখিক বেগ ও কৌণিক বেগের সম্পর্ক,

v=ω×r

ভেক্টর গুণনের সংজ্ঞা অনুসারে দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল উভয় ভেক্টরের তলের উপর লম্ব হয়। তাই v, ω ও r উভয়ের উপর লম্ব।

কণাটি যে তলে ঘোরে, ω এর দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম অনুসারে ঐ তলের উপর লম্ব বরাবর (ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর)। অন্যদিকে রৈখিক বেগ v বৃত্তের স্পর্শক বরাবর, অর্থাৎ ঘূর্ণন তলেই অবস্থিত।

সুতরাং v⋅ω=(ω×r)⋅ω=0। এজন্য ঘূর্ণনশীল কণার রৈখিক বেগ ও কৌণিক বেগ পরস্পর লম্ব।

১ম খেলোয়াড় বলটিকে 10 m s⁻¹ বেগে 30^∘ কোণে কিক করেন।

অনুভূমিক উপাংশ,

v_x=v₀cos θ₀=10cos 30^∘=8.66 m s⁻¹

উল্লম্ব উপাংশ,

v_y=v₀sin θ₀−gt=10sin 30^∘−9.8×1

বা, v_y=5−9.8=−4.8 m s⁻¹

∴ v=v2x+v2y=(8.66)²+(−4.8)²=9.90 m s⁻¹

দিক, θ=tan⁻¹|v_y|v_x=tan⁻¹4.88.66=29^∘

v_y ঋণাত্মক, অর্থাৎ 1 s পর বলটি নিচের দিকে নামছে। অতএব, 1 s পর বলটির বেগের মান 9.90 m s⁻¹, যা অনুভূমিকের সাথে 29^∘ কোণে নিম্নমুখী।

ধরা হয়েছে, দুজন খেলোয়াড় একই স্থান থেকে একই দিকে কিক করেছেন এবং গোলকিপার প্রথম বলের পতনস্থলে দাঁড়িয়ে আছেন।

গোলকিপার স্থান পরিবর্তন না করে দুটি বলই ধরতে পারবেন যদি বল দুটির পাল্লা সমান হয়; আর ভিন্ন সময়ে ধরবেন যদি তাদের উড্ডয়নকাল ভিন্ন হয়।

আমরা জানি,

R=v20sin 2θg, T=2v₀sin θg

১ম বলের পাল্লা,

R₁=10²×sin 60^∘9.8=8.84 m

২য় বলের পাল্লা,

R₂=10²×sin 120^∘9.8=8.84 m

১ম বলের উড্ডয়নকাল,

T₁=2×10×sin 30^∘9.8=1.02 s

২য় বলের উড্ডয়নকাল,

T₂=2×10×sin 60^∘9.8=1.77 s

30^∘ ও 60^∘ পরস্পর পূরক কোণ (30^∘+60^∘=90^∘) এবং sin 60^∘=sin 120^∘; তাই আদিবেগ সমান হওয়ায় বল দুটির পাল্লা সমান, R₁=R₂=8.84 m। ফলে বল দুটি একই বিন্দুতে মাটিতে পড়বে।

কিন্তু T₁=1.02 s এবং T₂=1.77 s; অর্থাৎ ২য় বলটি ১ম বলের চেয়ে 1.77−1.02=0.75 s পরে পতনস্থলে পৌঁছাবে।

অতএব, গোলকিপার স্থান পরিবর্তন না করে 8.84 m দূরে দাঁড়িয়ে থেকেই ভিন্ন সময়ে বল দুটি ধরতে সক্ষম হবেন; উক্তিটি সত্য।