যশোর বোর্ড ২০২৫ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে। P(x, y, z) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, r=xi+yj+zk।

পানি ভর্তি বালতিকে উল্লম্ব তলে বৃত্তাকার পথে ঘোরালে পানিকে বৃত্তপথে রাখতে কেন্দ্রের দিকে mv²r পরিমাণ কেন্দ্রমুখী বল প্রয়োজন হয়।

বালতি যখন সর্বোচ্চ বিন্দুতে থাকে তখন পানির ওজন mg নিচের দিকে, অর্থাৎ কেন্দ্রের দিকেই ক্রিয়া করে এবং প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বলের একটি অংশ জোগায়। বালতি যথেষ্ট দ্রুত ঘোরালে (v²≥gr) প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল mv²r ওজন mg এর চেয়ে বেশি বা সমান হয়। বাকি বল বালতির তলা পানির উপর প্রতিক্রিয়া হিসেবে প্রয়োগ করে, ফলে পানি বালতির তলার দিকে চেপে থাকে। তাই সর্বোচ্চ বিন্দুতে উল্টো অবস্থায়ও পানি বালতি থেকে পড়ে যায় না।

আমরা জানি,

∇×A=ijk∂∂x∂∂y∂∂z4x³y²−4x²y³z−6xyz³

=i∂∂y(−6xyz³)−∂∂z(−4x²y³z)−j∂∂x(−6xyz³)−∂∂z(4x³y²)+k∂∂x(−4x²y³z)−∂∂y(4x³y²)

=i(−6xz³+4x²y³)−j(−6yz³−0)+k(−8xy³z−8x³y)

∴ ∇×A=(4x²y³−6xz³)i+6yz³j−(8xy³z+8x³y)k

অতএব, A ভেক্টরটির কার্ল (4x²y³−6xz³)i+6yz³j−(8xy³z+8x³y)k।

উদ্দীপকে φ একটি স্কেলার ক্ষেত্র এবং A একটি ভেক্টর ক্ষেত্র।

স্কেলার ক্ষেত্র থেকে ভেক্টর ক্ষেত্র: স্কেলার ক্ষেত্র φ এর উপর ভেক্টর অপারেটর ∇ প্রয়োগ করলে গ্রেডিয়েন্ট পাওয়া যায়।

∇φ=∂φ∂xi+∂φ∂yj+∂φ∂zk

=∂∂x(3xy²z+3xyz²+3y²z³)i+∂∂y(3xy²z+3xyz²+3y²z³)j+∂∂z(3xy²z+3xyz²+3y²z³)k

∴ ∇φ=(3y²z+3yz²)i+(6xyz+3xz²+6yz³)j+(3xy²+6xyz+9y²z²)k

এর মধ্যে i, j, k একক ভেক্টর আছে, অর্থাৎ এর মান ও দিক উভয়ই আছে। সুতরাং স্কেলার ক্ষেত্র φ থেকে একটি ভেক্টর ক্ষেত্র ∇φ পাওয়া গেল।

ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে স্কেলার ক্ষেত্র: ভেক্টর ক্ষেত্র A এর সাথে ∇ এর ডট গুণফল নিলে ডাইভারজেন্স পাওয়া যায়।

∇⋅A=∂∂x(4x³y²)+∂∂y(−4x²y³z)+∂∂z(−6xyz³)

∴ ∇⋅A=12x²y²−12x²y²z−18xyz²

এতে কোনো একক ভেক্টর নেই, অর্থাৎ এটি শুধু মানবিশিষ্ট একটি স্কেলার ক্ষেত্র।

অতএব, গ্রেডিয়েন্ট প্রক্রিয়ায় উদ্দীপকের স্কেলার ক্ষেত্র φ কে ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং ডাইভারজেন্স প্রক্রিয়ায় ভেক্টর ক্ষেত্র A কে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর করা যায়।