রাজশাহী বোর্ড ২০২২ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা একই ক্রমে দুটি ভেক্টরের মান ও দিক নির্দেশ করলে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীত ক্রমে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে। একে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র বলে।

ট্রলি ব্যাগ টানার সময় হাতল বরাবর প্রযুক্ত বল F অনুভূমিকের সাথে θ কোণে ক্রিয়া করে। এর অনুভূমিক উপাংশ Fcos θ ব্যাগকে সামনে এগিয়ে নেয় এবং উলম্ব উপাংশ Fsin θ ব্যাগকে উপরের দিকে টানে।

হাতল লম্বা হলে হাতলটি অনুভূমিকের সাথে কম কোণ θ উৎপন্ন করে। ফলে cos θ এর মান বেশি হয় এবং একই বল প্রয়োগে সামনের দিকে কার্যকর উপাংশ Fcos θ বেশি পাওয়া যায়।

এছাড়া লম্বা হাতল থাকলে ব্যাগ টানার সময় সোজা হয়ে হাঁটা যায় এবং ব্যাগ পায়ে বাধে না। তাই ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখলে কম বল প্রয়োগে সহজে ব্যাগ টানা যায়।

চিত্র অনুসারে অরুণ মাঝি নদীর প্রস্থ বরাবর সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছায়। তাই তাকে প্রস্থের সাথে উজানের দিকে θ কোণে নৌকা চালাতে হয়েছিল, যাতে নৌকার বেগের স্রোতের বিপরীত উপাংশ স্রোতের বেগকে প্রশমিত করে।

আমরা জানি,

vsin θ=u

বা, sin θ=uv=38=0.375

বা, θ=sin⁻¹(0.375)

∴ θ=22.02^∘

স্রোতের দিকের সাথে কোণ,

=90^∘+22.02^∘=112.02^∘

অতএব, অরুণ মাঝিকে নদীর প্রস্থের সাথে উজানের দিকে 22.02^∘ কোণে, অর্থাৎ স্রোতের দিকের সাথে 112.02^∘ কোণে নৌকা চালাতে হয়েছিল।

অরুণ মাঝি সোজাসুজি প্রস্থ বরাবর পার হয়, তাই তার লব্ধি বেগ প্রস্থ বরাবর। বরুণ মাঝি স্রোতের সাথে লম্বভাবে নৌকা চালায়, তাই প্রস্থ বরাবর তার বেগ নৌকার পূর্ণ বেগ; স্রোত শুধু তাকে ভাটির দিকে সরিয়ে দেয়।

অরুণের লব্ধি বেগ,

v_R=v²−u²=8²−3²=55=7.416 km h⁻¹

অরুণের সময়,

t₁=dv_R=27.416=0.2697 h=16.18 min

বরুণের সময়,

t₂=dv=28=0.25 h=15 min

বরুণের ভাটির দিকে সরণ,

x=ut₂=3×0.25=0.75 km

দেখা যায়, t₂<t₁। অরুণের বেগের একটি অংশ স্রোতকে প্রশমিত করতে ব্যয় হয় বলে প্রস্থ বরাবর তার কার্যকর বেগ কম, কিন্তু বরুণের সম্পূর্ণ বেগই প্রস্থ বরাবর কাজ করে।

অতএব, বরুণ মাঝি কম সময়ে (15 মিনিটে) নদী পার হবে, যদিও সে ঠিক বিপরীত বিন্দু থেকে 0.75 km ভাটিতে পৌঁছাবে; অরুণের লাগবে 16.18 মিনিট।