চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

দুটি ভেক্টরের যে গুণনে একটি স্কেলার রাশি পাওয়া যায়, তাকে ডট গুণন বা স্কেলার গুণন বলে। A ও B এর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে, A⋅B=ABcos θ।

সূর্যের মহাকর্ষ বল পৃথিবীর উপর সূর্যের কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে, তাই সূর্যের সাপেক্ষে এই বলের টর্ক শূন্য। ফলে পৃথিবীর কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে:

L=mvr=ধ্রুবক

এখানে m পৃথিবীর ভর, v কক্ষপথে বেগ এবং r সূর্য থেকে দূরত্ব। m ধ্রুব হওয়ায় vr= ধ্রুবক, অর্থাৎ v∝1r।

তাই পৃথিবী সূর্য থেকে দূরে সরে গেলে r বাড়ে এবং বেগ v কমে যায়। এটিই কেপলারের দ্বিতীয় সূত্রের (ক্ষেত্রফলের সূত্র) মর্মকথা: গ্রহের ব্যাসার্ধ ভেক্টর সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে।

আমরা জানি,

∇Q=∂Q∂xi+∂Q∂yj+∂Q∂zk

∂Q∂x=2y²z³−4y

∂Q∂y=4xyz³−4x

∂Q∂z=6xy²z²

(1, −1, 2) বিন্দুতে,

∂Q∂x=2(1)(8)−4(−1)=16+4=20

∂Q∂y=4(1)(−1)(8)−4(1)=−32−4=−36

∂Q∂z=6(1)(1)(4)=24

∴ ∇Q=20i−36j+24k

মান, |∇Q|=20²+(−36)²+24²=2272=47.67

অতএব, (1, −1, 2) বিন্দুতে তাপমাত্রার গ্রেডিয়েন্ট 20i−36j+24k, যার মান 47.67 একক।

উৎসের উদ্দীপকে V এর রাশিমালা অসম্পূর্ণ ছিল; এখানে পাঠ্যবইয়ের প্রচলিত রূপ V=(y²cos x+z³)i+(2ysin x−4)j+(3xz²+2)k ধরা হয়েছে।

বাতাসের বেগ ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য হলে বাতাসে কোনো ঘূর্ণন থাকে না। এখানে, V_x=y²cos x+z³, V_y=2ysin x−4, V_z=3xz²+2।

∇×V=ijk∂∂x∂∂y∂∂zy²cos x+z³2ysin x−43xz²+2

=i∂∂y(3xz²+2)−∂∂z(2ysin x−4)+j∂∂z(y²cos x+z³)−∂∂x(3xz²+2)+k∂∂x(2ysin x−4)−∂∂y(y²cos x+z³)

=i(0−0)+j(3z²−3z²)+k(2ycos x−2ycos x)

=0i+0j+0k=0

অর্থাৎ বাতাসের বেগ ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (সংরক্ষণশীল)।

অতএব, ঐদিন ঐ অঞ্চলের বাতাসে কোনো ঘূর্ণন ছিল না।