সিলেট বোর্ড ২০২২ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো বস্তুর অভ্যন্তরে বা বাইরে অবস্থিত যে বিন্দুর মধ্য দিয়ে বস্তুর ওজন (মোট অভিকর্ষ বল) ক্রিয়া করে, বস্তুটিকে যেভাবেই রাখা হোক না কেন, সেই বিন্দুকে বস্তুর ভারকেন্দ্র বলে।

কোনো বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব হলো অসীম দূরত্ব থেকে একক ভরের কোনো বস্তুকে ঐ বিন্দুতে আনতে মহাকর্ষ বল দ্বারা কৃত কাজ (বা মহাকর্ষ ক্ষেত্রের বিরুদ্ধে কৃত কাজের ঋণাত্মক মান)।

সুতরাং কোনো বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভবের মান 12 J kg⁻¹ বলতে বোঝায়, অসীম দূরত্ব থেকে 1 kg ভরের একটি বস্তুকে ঐ বিন্দুতে আনতে মহাকর্ষ বল দ্বারা 12 J কাজ সম্পন্ন হয়। বিপরীতভাবে, ঐ বিন্দু থেকে 1 kg ভরকে অসীমে সরাতে 12 J কাজ করতে হবে।

মহাকর্ষ বল আকর্ষণধর্মী এবং অসীমে বিভব শূন্য ধরা হয় বলে প্রকৃতপক্ষে বিভব ঋণাত্মক, অর্থাৎ V=−12 J kg⁻¹; এখানে 12 J kg⁻¹ দ্বারা এর মান বোঝানো হয়েছে।

আমরা জানি,

∇p=∂p∂xi+∂p∂yj+∂p∂zk

∂p∂x=2y⁴−2xz

∂p∂y=8xy³

∂p∂z=−x²

(2, −1, −2) বিন্দুতে,

∂p∂x=2(1)−2(2)(−2)=2+8=10

∂p∂y=8(2)(−1)=−16

∂p∂z=−(2)²=−4

∴ ∇p=10i−16j−4k

অতএব, (2, −1, −2) বিন্দুতে p এর গ্রেডিয়েন্ট 10i−16j−4k, যার মান 100+256+16=372=19.29 একক।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য হলে তা সলিনয়ডাল এবং কার্ল শূন্য হলে তা অঘূর্ণনশীল।

$\vec{A}$ এর ক্ষেত্রে: A_x=2x+y, A_y=3y+z², A_z=−5z+x।

∇⋅A=∂∂x(2x+y)+∂∂y(3y+z²)+∂∂z(−5z+x)=2+3−5=0

∇×A=ijk∂∂x∂∂y∂∂z2x+y3y+z²−5z+x

=i(0−2z)+j(0−1)+k(0−1)=−2zi−j−k≠0

অর্থাৎ A সলিনয়ডাল কিন্তু অঘূর্ণনশীল নয়।

$\vec{B}$ এর ক্ষেত্রে: B_x=6xy+z³, B_y=3x²−z, B_z=3xz²−y।

∇⋅B=∂∂x(6xy+z³)+∂∂y(3x²−z)+∂∂z(3xz²−y)=6y+0+6xz≠0

∇×B=ijk∂∂x∂∂y∂∂z6xy+z³3x²−z3xz²−y

=i{(−1)−(−1)}+j(3z²−3z²)+k(6x−6x)=0i+0j+0k=0

অর্থাৎ B অঘূর্ণনশীল কিন্তু সাধারণভাবে সলিনয়ডাল নয়।

অতএব, উদ্দীপকের A ভেক্টরটি সলিনয়ডাল এবং B ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল।