রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে। P(x, y, z) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, r=xi+yj+zk।

সামান্তরিক সূত্র অনুসারে, দুটি ভেক্টর A ও B কে একটি সামান্তরিকের একই বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা নির্দেশ করলে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত কর্ণটি তাদের লব্ধি নির্দেশ করে।

ধরি, OACB সামান্তরিকে OA=A ও OB=B। সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল বলে AC=B এবং BC=A।

△OAC থেকে, OC=OA+AC=A+B

△OBC থেকে, OC=OB+BC=B+A

∴ A+B=B+A

অর্থাৎ ভেক্টর দুটি যে ক্রমেই যোগ করা হোক, লব্ধি একই কর্ণ OC পাওয়া যায়। তাই ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র বিনিময় সূত্র মেনে চলে।

সোহেল AB বরাবর (উজানের দিকে হেলিয়ে) নৌকা চালিয়ে প্রস্থ AD বরাবর সোজা D বিন্দুতে পৌঁছায়। তাই নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের লব্ধি AD বরাবর, যা স্রোতের সাথে লম্ব।

আমরা জানি,

v_R=v²−u²

বা, v_R=8²−4²=64−16

বা, v_R=48

∴ v_R=6.928 km h⁻¹

অতএব, সোহেলের ক্ষেত্রে লব্ধি বেগের মান 6.928 km h⁻¹।

'গ' থেকে সোহেলের লব্ধি বেগ 6.928 km h⁻¹, যা দিয়ে 10 মিনিটে সে AD প্রস্থ অতিক্রম করে। রোহান AD বরাবর (স্রোতের সাথে লম্বভাবে) নৌকা চালায়, তাই স্রোত তাকে ভাটির দিকে সরিয়ে C বিন্দুতে নিয়ে যায়।

নদীর প্রস্থ,

AD=v_Rt=6.928×1060=1.155 km

রোহানের নদী পার হতে সময়,

t′=ADv′=1.15510=0.1155 h=6.93 min

এ সময়ে স্রোতের দিকে সরণ,

DC=u t′=4×0.1155

∴ DC=0.462 km

দেখা যায়, AD=1.155 km কিন্তু DC=0.462 km, অর্থাৎ AD≠DC। AD=DC হতে হলে স্রোতের বেগ নৌকার বেগের সমান (10 km h⁻¹) হতে হতো।

অতএব, নদীর প্রস্থ AD ও রোহানের দৈর্ঘ্য বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব DC সমান হবে না; AD, DC এর 2.5 গুণ।