বরিশাল বোর্ড ২০২২ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ভেক্টর অপারেটর ∇ এবং ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের ভেক্টর গুণফলকে ঐ বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রটির কার্ল বলে। অর্থাৎ, V ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল =∇×V। এটি ক্ষেত্রের ঘূর্ণন প্রবণতা নির্দেশ করে।

বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেডগুলো ঘূর্ণন তলের সাথে কিছুটা হেলানো অবস্থায় লাগানো থাকে। পাখা ঘুরলে হেলানো ব্লেড তার সামনের বাতাসকে ধাক্কা দেয়।

ব্লেডের তলের সাথে লম্বভাবে বাতাসের উপর যে বল প্রয়োগ হয়, তাকে দুটি উপাংশে বিভাজিত করা যায়: একটি ঘূর্ণন তল বরাবর অনুভূমিক উপাংশ এবং অপরটি উল্লম্বভাবে নিচের দিকে উপাংশ।

অনুভূমিক উপাংশ বাতাসকে পাশে ঘোরায়, আর উল্লম্ব উপাংশ বাতাসকে নিচের দিকে ঠেলে দেয়। নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুসারে বাতাসও ব্লেডের উপর উপরের দিকে প্রতিক্রিয়া বল প্রয়োগ করে, যা পাখার হুক ধারণ করে।

এভাবে বলের বিভাজনের ফলে বৈদ্যুতিক পাখার বাতাস নিচের দিকে নামে।

ভেক্টর ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট সংজ্ঞায়িত নয় (গ্রেডিয়েন্ট কেবল স্কেলার ক্ষেত্রের জন্য); প্রশ্নের উদ্দেশ্য অনুসারে এখানে A এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় করা হলো।

আমরা জানি,

∇⋅A=∂A_x∂x+∂A_y∂y+∂A_z∂z

বা, ∇⋅A=∂∂x(6xy+z³)+∂∂y(3x²−z)+∂∂z(3xz²−y)

বা, ∇⋅A=6y+0+6xz=6y+6xz

(2, 1, −1) বিন্দুতে,

∇⋅A=6(1)+6(2)(−1)=6−12

∴ ∇⋅A=−6

অতএব, (2, 1, −1) বিন্দুতে A এর ডাইভারজেন্স −6।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য হলে ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল এবং কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীল (অঘূর্ণনশীল)।

'গ' থেকে পাই, ∇⋅A=6y+6xz, যা সাধারণভাবে শূন্য নয় (যেমন (2, 1, −1) বিন্দুতে এর মান −6)। সুতরাং A সলিনয়ডাল নয়।

এখন, A এর কার্ল,

∇×A=ijk∂∂x∂∂y∂∂z6xy+z³3x²−z3xz²−y

=i∂∂y(3xz²−y)−∂∂z(3x²−z)−j∂∂x(3xz²−y)−∂∂z(6xy+z³)+k∂∂x(3x²−z)−∂∂y(6xy+z³)

=i[−1−(−1)]−j[3z²−3z²]+k[6x−6x]

=0 i+0 j+0 k=0

যেহেতু ∇×A=0, তাই A একটি সংরক্ষণশীল ক্ষেত্র। একে একটি স্কেলার বিভবের গ্রেডিয়েন্ট হিসেবে লেখা যায়, A=∇ϕ, যেখানে

ϕ=3x²y+xz³−yz

যাচাই: ∂ϕ∂x=6xy+z³, ∂ϕ∂y=3x²−z, ∂ϕ∂z=3xz²−y, যা A এর উপাংশগুলোর সমান।

অতএব, উদ্দীপকের A ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল নয়, এটি সংরক্ষণশীল।