কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ — ভেক্টর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ভেক্টর অপারেটর ∇ এবং ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের স্কেলার গুণফলকে ঐ বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স বলে। অর্থাৎ, V ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স,

∇⋅V=∂V_x∂x+∂V_y∂y+∂V_z∂z

যে ভেক্টরের আদিবিন্দু বা প্রয়োগবিন্দু নির্দিষ্ট থাকে, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে। একে ইচ্ছামতো স্থানান্তর করা যায় না।

কোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর সর্বদা প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দু O থেকে ঐ বিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত হয়: r=xi+yj+zk। এর আদিবিন্দু সবসময় মূলবিন্দুতে নির্দিষ্ট।

অবস্থান ভেক্টরকে সমান্তরালে অন্য কোথাও সরালে তা আর ঐ বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করবে না। তাই অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

চিত্রে F₁ বল +Y অক্ষ বরাবর এবং F₂ বল +Y অক্ষের সাথে 60^∘ কোণে, অর্থাৎ X-অক্ষের সাথে 30^∘ কোণে ক্রিয়াশীল।

লব্ধির X উপাংশ,

R_x=F₂sin 60^∘=8×0.866=6.928 N

লব্ধির Y উপাংশ,

R_y=F₁+F₂cos 60^∘=12+8×0.5=16 N

R=R2x+R2y=6.928²+16²=17.44 N

X-অক্ষের সাথে কোণ θ হলে,

tan θ=R_yR_x=166.928=2.309

∴ θ=66.59^∘

অতএব, বল দুটির লব্ধি (17.44 N) X-অক্ষের সাথে 66.59^∘ কোণে ক্রিয়াশীল।

'গ' থেকে পাই, লব্ধি R=17.44 N এবং এটি X-অক্ষের (অনুভূমিকের) সাথে θ=66.59^∘ কোণে ক্রিয়াশীল।

অনুভূমিক উপাংশ,

R_x=Rcos θ=17.44cos 66.59^∘=6.93 N

উলম্ব উপাংশ,

R_y=Rsin θ=17.44sin 66.59^∘=16 N

R_yR_x=166.93=2.31

লব্ধি অনুভূমিকের সাথে 45^∘ এর বেশি কোণে আনত হওয়ায় sin θ>cos θ, ফলে উলম্ব উপাংশ অনুভূমিক উপাংশের চেয়ে বড় হয়।

অতএব, বল দুটির লব্ধির উলম্ব উপাংশ (16 N) অনুভূমিক উপাংশের (6.93 N) চেয়ে বেশি, প্রায় 2.31 গুণ।