চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ — তাপগতিবিদ্যা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো স্বয়ংক্রিয় যন্ত্রের পক্ষে বাইরের শক্তির সাহায্য ছাড়া কোনো চক্রাকার প্রক্রিয়ায় নিম্ন তাপমাত্রার বস্তু থেকে উচ্চ তাপমাত্রার বস্তুতে তাপ স্থানান্তর করা সম্ভব নয় (ক্লসিয়াসের বিবৃতি)।

রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় সিস্টেম ও পরিবেশের মধ্যে কোনো তাপের আদান-প্রদান হয় না, অর্থাৎ dQ=0। তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র থেকে,

dQ=dU+dW ∴dU=−dW

গ্যাসকে সংকুচিত করলে গ্যাসের উপর কাজ করা হয়, ফলে dW ঋণাত্মক হয় এবং dU ধনাত্মক হয়। অর্থাৎ গ্যাসের উপর কৃত কাজ সম্পূর্ণরূপে গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি বৃদ্ধি করে।

আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি কেবল তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে (dU=nC_VdT)। তাই অভ্যন্তরীণ শক্তি বাড়লে গ্যাসের তাপমাত্রাও বৃদ্ধি পায়।

চক্রটি একটি কার্নো চক্র। B হতে C তে রুদ্ধতাপীয় প্রসারণে গ্যাসের তাপমাত্রা T₁=600 K থেকে T₂=400 K এ নেমে আসে। হাইড্রোজেন দ্বিপরমাণুক গ্যাস হওয়ায় γ=1.4।

আমরা জানি,

W=nR(T₁−T₂)γ−1

বা, W=1×8.314×(600−400)1.4−1

বা, W=1662.80.4

∴ W=4157 J

অতএব, হাইড্রোজেন গ্যাসকে B হতে C তে আনতে কৃতকাজের পরিমাণ 4157 J।

কোনো চক্র প্রত্যাবর্তী হলে পূর্ণ চক্রে কার্যনির্বাহী বস্তুর এনট্রপির মোট পরিবর্তন শূন্য হবে, অর্থাৎ Q₁T₁=Q₂T₂ হবে। রুদ্ধতাপীয় দুই ধাপে (BC ও DA) তাপের আদান-প্রদান নেই, তাই এদের এনট্রপির পরিবর্তন শূন্য।

BC রুদ্ধতাপীয় বলে,

T₁Vγ−1B=T₂Vγ−1C

বা, V_C=V_BT₁T₂^1γ−1=4.5×10⁻³×(1.5)^2.5=12.4×10⁻³ m³

DA রুদ্ধতাপীয় বলে,

V_D=V_AT₁T₂^1γ−1=2.5×10⁻³×(1.5)^2.5=6.89×10⁻³ m³

∴ V_CV_D=V_BV_A=4.52.5=1.8

AB সমোষ্ণ প্রসারণে গৃহীত তাপ,

Q₁=nRT₁ln V_BV_A=1×8.314×600×ln 1.8=2932.11 J

CD সমোষ্ণ সংকোচনে বর্জিত তাপ,

Q₂=nRT₂ln V_CV_D=1×8.314×400×ln 1.8=1954.74 J

গৃহীত তাপের জন্য এনট্রপি বৃদ্ধি,

ΔS₁=Q₁T₁=2932.11600=4.887 J K⁻¹

বর্জিত তাপের জন্য এনট্রপি হ্রাস,

ΔS₂=Q₂T₂=1954.74400=4.887 J K⁻¹

∴ ΔS=ΔS₁−ΔS₂=0

দেখা যায়, পূর্ণ চক্রে এনট্রপির মোট পরিবর্তন শূন্য এবং Q₂Q₁=T₂T₁ সম্পর্কটি সিদ্ধ হয়; ফলে দক্ষতা η=1−T₂T₁=33.33% যা কার্নো ইঞ্জিনের সর্বোচ্চ দক্ষতা। চক্রের প্রতিটি ধাপ (দুটি সমোষ্ণ ও দুটি রুদ্ধতাপীয়) ধীরে ধীরে সম্পন্ন হলে বিপরীত দিকে চালিয়ে সিস্টেম ও পরিবেশকে আদি অবস্থায় ফিরিয়ে আনা যায়।

অতএব, চক্রটিকে প্রত্যাবর্তী চক্র বলে ক্লসিয়াসের দাবিটি যৌক্তিক।