দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯ — কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

বৃত্তাকার পথে গতিশীল কোনো বস্তুর বেগের দিক প্রতিনিয়ত পরিবর্তনের ফলে বৃত্তের কেন্দ্র অভিমুখে যে ত্বরণ সৃষ্টি হয়, তাকে কেন্দ্রমুখী ত্বরণ বলে। এর মান a=v²r=ω²r।

কাজ, W=Fscos θ, যেখানে θ হলো বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ।

বৃত্তাকার পথে গতিশীল বস্তুর উপর কেন্দ্রমুখী বল সর্বদা ব্যাসার্ধ বরাবর কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে, অথচ বস্তুর প্রতি মুহূর্তের সরণ বৃত্তের স্পর্শক বরাবর।

ব্যাসার্ধ ও স্পর্শক পরস্পর লম্ব, তাই কেন্দ্রমুখী বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ θ=90^∘ এবং cos 90^∘=0।

ফলে W=Fscos 90^∘=0। এ কারণে কেন্দ্রমুখী বল বস্তুর বেগের মান বা গতিশক্তির কোনো পরিবর্তন করে না, শুধু দিক পরিবর্তন করে; তাই বৃত্তাকার পথে কেন্দ্রমুখী বল দ্বারা কৃতকাজ শূন্য।

একই স্প্রিংয়ে দুটি ভিন্ন ভর চাপালে ভরের পার্থক্যজনিত অতিরিক্ত বল এবং প্রসারণের পার্থক্য থেকে স্প্রিং ধ্রুবক নির্ণয় করি।

আমরা জানি,

F=kx

বা, (m₂−m₁)g=k(x₂−x₁)

বা, k=(m₂−m₁)gx₂−x₁

বা, k=(0.6−0.08)×9.80.08−0.02=0.52×9.80.06

∴ k=84.93 N m⁻¹

অতএব, স্প্রিংটির স্প্রিং ধ্রুবক 84.93 N m⁻¹।

উদ্দীপকের দুটি তথ্য থেকে আলাদাভাবে k এর মান সমান আসে না (39.2 ও 73.5 N m⁻¹), তাই প্রচলিত সমাধান অনুযায়ী ভর ও প্রসারণের পার্থক্য থেকে k নির্ণয় করা হয়েছে।

প্রসারণ x হলে স্প্রিংয়ে সঞ্চিত শক্তি E=12kx²। উভয় ভরের সাম্যাবস্থান থেকে অরনী স্প্রিংটিকে আরও d=1 cm প্রসারিত করলে সঞ্চিত শক্তির পরিবর্তন ΔE=12k[(x+d)²−x²]।

80 g ভরের ক্ষেত্রে:

সাম্যাবস্থানে শক্তি,

E₁=12kx21=12×84.93×(0.02)²=0.01699 J

1 cm প্রসারণের পর শক্তি,

E₁′=12×84.93×(0.03)²=0.03822 J

শক্তির পরিবর্তন,

ΔE₁=0.03822−0.01699=0.02123 J

600 g ভরের ক্ষেত্রে:

সাম্যাবস্থানে শক্তি,

E₂=12kx22=12×84.93×(0.08)²=0.27179 J

1 cm প্রসারণের পর শক্তি,

E₂′=12×84.93×(0.09)²=0.34398 J

শক্তির পরিবর্তন,

ΔE₂=0.34398−0.27179=0.07219 J

∴ ΔE₂ΔE₁=0.072190.02123=3.4

সাম্যাবস্থানে সঞ্চিত শক্তির অনুপাত E₂E₁=x22x21=16, অর্থাৎ শক্তি প্রসারণের বর্গের সমানুপাতিক। একই 1 cm অতিরিক্ত প্রসারণের জন্যও বেশি ভরের ক্ষেত্রে শক্তির বৃদ্ধি বেশি, কারণ সেখানে প্রারম্ভিক প্রসারণ বেশি।

অতএব, অরনী পর্যবেক্ষণ করেছিল যে উভয় ক্ষেত্রে একই 1 cm প্রসারণে স্প্রিংয়ের সঞ্চিত শক্তি বাড়ে, তবে 80 g ভরের ক্ষেত্রে বৃদ্ধি 0.02123 J এবং 600 g ভরের ক্ষেত্রে বৃদ্ধি 0.07219 J, অর্থাৎ বেশি ভরের ক্ষেত্রে শক্তির পরিবর্তন প্রায় 3.4 গুণ।

অরনী উভয় ভরের নিজ নিজ সাম্যাবস্থান থেকে স্প্রিংটিকে আরও 1 cm প্রসারিত করেছিল বলে ধরা হয়েছে।