ঢাকা ও রাজশাহী বোর্ড ২০২২ — পরমাণুর মডেল ও নিউক্লিয়ার পদার্থবিজ্ঞান সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

কোনো নিউক্লিয়াস গঠনকারী প্রোটন ও নিউট্রনগুলোর মুক্ত অবস্থায় মোট ভর এবং গঠিত নিউক্লিয়াসের প্রকৃত ভরের পার্থক্যকে ভরত্রুটি বলে। অর্থাৎ Δm=Zm_p+(A−Z)m_n−M।

রাদারফোর্ডের মডেলের প্রধান সীমাবদ্ধতা ছিল, চিরায়ত তড়িৎচুম্বক তত্ত্ব অনুসারে বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণায়মান (ত্বরিত) ইলেকট্রন অবিরত শক্তি বিকিরণ করবে, ফলে এর কক্ষপথের ব্যাসার্ধ ক্রমশ কমে ইলেকট্রনটি নিউক্লিয়াসে পতিত হবে; অর্থাৎ পরমাণু স্থায়ী হবে না। তাছাড়া এ মডেল অনুযায়ী পরমাণুর বর্ণালি অবিচ্ছিন্ন হওয়ার কথা, কিন্তু বাস্তবে রৈখিক বর্ণালি পাওয়া যায়।

বোর স্বীকার্য দেন যে, ইলেকট্রন কেবল নির্দিষ্ট কিছু অনুমোদিত কক্ষপথে ঘুরতে পারে, যেখানে এর কৌণিক ভরবেগ mvr=nh2π; এসব স্থির কক্ষপথে ঘোরার সময় ইলেকট্রন কোনো শক্তি বিকিরণ করে না। ফলে পরমাণুর স্থায়িত্ব ব্যাখ্যা করা যায়।

আবার ইলেকট্রন কেবল এক স্থির কক্ষপথ থেকে অন্য স্থির কক্ষপথে লাফ দিলে নির্দিষ্ট শক্তির ফোটন শোষণ বা বিকিরণ করে, hν=E₂−E₁। এতে নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কের রেখা পাওয়া যায় এবং রৈখিক বর্ণালি ব্যাখ্যা করা যায়।

এভাবে বোরের মডেল রাদারফোর্ডের মডেলের সীমাবদ্ধতা দূর করে।

আমরা জানি,

T_1/2=0.693τ

বা, T_1/2=0.693×12.5

∴ T_1/2=8.66 বছর

অতএব, প্রথম পদার্থটির অর্ধায়ু 8.66 বছর।

2010 থেকে 2030 সাল পর্যন্ত সময় t=20 বছর। উভয় পদার্থের 2030 সালে অবশিষ্ট ভর নির্ণয় করি।

প্রথম পদার্থ:

আমরা জানি,

m=m₀e^−λ₁t=m₀e^−t/τ

বা, m₁=20×e^−20/12.5=20×e^−1.6

∴ m₁=20×0.2019=4.04 g

দ্বিতীয় পদার্থ:

2010 থেকে 2020 পর্যন্ত,

m=m₀e^−λ₂t′

বা, 8=20e^−λ₂×10

বা, λ₂=110ln 208=0.916310=0.09163 বছর⁻¹

2030 সালে,

m₂=20×e^{−0.09163×20}=20×e^−1.8326

∴ m₂=20×0.16=3.2 g

দেখা যায়, 2030 সালে প্রথম পদার্থের 4.04 g এবং দ্বিতীয় পদার্থের 3.2 g অবশিষ্ট থাকবে। দ্বিতীয় পদার্থের ক্ষয় ধ্রুবক (0.0916 বছর⁻¹) প্রথমটির (0.08 বছর⁻¹) চেয়ে বেশি হওয়ায় এটি দ্রুত ক্ষয় হয়।

অতএব, 2030 সালে উভয় পদার্থ সমপরিমাণ অবশিষ্ট থাকবে না।