ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ৬/৩৫
-
১০১
আয়ত একক ভেক্টরের ক্ষেত্রে-
(i) i.j=i. k=k. i=0
(ii) i.i=j.j=k.k=1
(iii) i×i=j×j=k×k=0
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ i ও iii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
তিনটি বক্তব্যই আয়ত একক ভেক্টরের মৌলিক ধর্ম। ভিন্ন দুটি একক ভেক্টর পরস্পর লম্ব বলে তাদের ডট গুণফল শূন্য, তাই প্রথমটি সঠিক। প্রতিটির মান ১ এবং নিজের সাথে কোণ শূন্য বলে নিজের সাথে ডট গুণফল ১, তাই দ্বিতীয়টিও সঠিক। আর নিজের সাথে ক্রস গুণফল শূন্য, কারণ sin0° = 0, তাই তৃতীয়টিও সঠিক। উত্তর i, ii ও iii।
এই ধর্মগুলোর উপরেই উপাংশ পদ্ধতিতে ডট ও ক্রস গুণনের পুরো হিসাব দাঁড়িয়ে আছে। ডট গুণনে একই অক্ষের পদগুলো টিকে থাকে আর ভিন্ন অক্ষের পদগুলো মুছে যায়, ক্রস গুণনে ঠিক উল্টোটা ঘটে; এ কারণেই A·B = AxBx + AyBy + AzBz আকারের সরল সূত্র পাওয়া যায়। -
১০২
চিত্রে কর্ণদ্বয় হচ্ছে (AC)=i ও BD=j ; AB ভেক্টরের সঠিক রুপ কোনটি?
- ক i+j4
- খ i+j2
- গ i-j2
- ঘ j+i2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) i-j2
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। কেন্দ্রকে মূলবিন্দু ধরলে A ও C বিন্দু দুটি থাকবে AC এর দুই প্রান্তে এবং B ও D থাকবে BD এর দুই প্রান্তে, অর্থাৎ A = −i2, B = −j2।
তাই AB = B − A = i − j2। উত্তর গ।
ABCD সামান্তরিকে শীর্ষবিন্দুগুলো ক্রমানুসারে থাকে, তাই কর্ণ হয় AC ও BD; এই ক্রম না ধরলে উত্তর বদলে যেত। কর্ণ থেকে বাহু বের করার সাধারণ নিয়মটি এখানেই দেখা যাচ্ছে, বাহু = কর্ণ দুটির যোগ বা বিয়োগফলের অর্ধেক। -
১০৩
কর্ণদ্বয় AC = i ও BD = j হলে ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?
- ক 0.5 একক
- খ 1.0 একক
- গ 1.5 একক
- ঘ 2.0 একক
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 0.5 একক
কর্ণ দেওয়া থাকলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হয় কর্ণ দুটির ক্রস গুণফলের মানের অর্ধেক, অর্থাৎ 12|AC × BD|। এখানে i × j = k, তাই ক্ষেত্রফল 12 একক। উত্তর ০.৫ একক।
সন্নিহিত বাহু দেওয়া থাকলে ক্ষেত্রফল হয় |A × B|, কিন্তু কর্ণ দেওয়া থাকলে অর্ধেক নিতে হয়; কোনটি দেওয়া আছে সেটি না দেখলে দ্বিগুণ বা অর্ধেক ভুল হয়ে যায়। কারণটি সহজ, কর্ণ দুটি সামান্তরিককে চারটি ত্রিভুজে ভাগ করে ফেলে। -
১০৪
P ও Q ভেক্টরদ্বয় যে সমতলে অবস্থিত তার অভিলম্ব দিকের ভেক্টরটি হবে-
- ক 4i+4j+4k
- খ 4i+8j-4k
- গ 8i+4j+4k
- ঘ 4i+4j-8k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 8i+4j+4k
কোনো তলের অভিলম্ব দিক পাওয়া যায় ঐ তলে থাকা দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণন করে। নির্ণায়ক বিস্তার করে i-উপাংশ = (−3)(−3) − (−1)(−1) = 9 − 1 = 8, j-উপাংশ = −[(2)(−3) − (−1)(2)] = −(−6 + 2) = 4 এবং k-উপাংশ = (2)(−1) − (−3)(2) = −2 + 6 = 4।
তাই P × Q = 8i + 4j + 4k। উত্তর গ।
ফলটি যাচাই করা সহজ; এর সাথে P বা Q এর ডট গুণফল নিলে শূন্য আসবে, কারণ অভিলম্ব ভেক্টর তলের প্রতিটি ভেক্টরের উপর লম্ব। এখানে (8)(2) + (4)(−3) + (4)(−1) = 16 − 12 − 4 = 0, অর্থাৎ হিসাব ঠিক আছে। -
১০৫
P = 2i − 3j − k এবং Q = 2i − j − 3k হলে ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফলের মান হবে-
- ক 96
- খ 16
- গ 80
- ঘ 10
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 10
P = 2i − 3j − k এবং Q = 2i − j − 3k ভেক্টর দুটির ডট গুণফল = (2)(2) + (−3)(−1) + (−1)(−3) = 4 + 3 + 3 = 10। উত্তর ১০।
তিনটি পদই ধনাত্মক এসেছে, কারণ প্রতিটি জোড়ায় দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল ধনাত্মক হয়েছে। চিহ্ন ভুল করলে ৪ − ৩ − ৩ = −২ এর মতো ফল আসত। ডট গুণফল ধনাত্মক মানে ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ সূক্ষ্মকোণ, অর্থাৎ ৯০° এর কম। -
১০৬
M ও N ভেক্টর দ্বারা গঠিত তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর-
- ক M×N|M×N|
- খ M.N|M×N|
- গ M×N|M.N|
- ঘ | M×N|M×N
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) M×N|M×N|
M ও N দ্বারা গঠিত তলের উপর লম্ব দিক পাওয়া যায় M × N থেকে, আর একে একক ভেক্টরে পরিণত করতে নিজের মান দিয়ে ভাগ করতে হয়। তাই উত্তর M × N|M × N|।
বাকি অপশনগুলোতে ডট ও ক্রস মিশিয়ে দেওয়া হয়েছে। লবে ডট গুণফল বসালে ফল স্কেলার হয়ে যেত, ভেক্টর নয়; আর হরে ডট গুণফল বসালে মানটি ভুল হতো। নিয়মটি সাধারণ, যেকোনো ভেক্টরকে তার নিজের মান দিয়ে ভাগ করলেই সেই দিকের একক ভেক্টর পাওয়া যায়। -
১০৭
A=-B হয়, তবে A×B এর মান কত?
- ক A2
- খ 1
- গ 0
- ঘ -A2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 0
A = −B মানে ভেক্টর দুটি বিপরীতমুখী, কোণ ১৮০°। ক্রস গুণফলের মান AB sin180° = 0। উত্তর ০।
ক্রস গুণফল শূন্য হওয়ার শর্ত হলো ভেক্টর দুটি একই সরলরেখা বরাবর থাকা, তা একই দিকে হোক বা উল্টো দিকে। অপশনে A² ও −A² রাখা হয়েছে, ঐ মানগুলো আসে ডট গুণফলে; বিপরীতমুখী হলে A·B = −A2। ডট আর ক্রস আলাদা করে মনে রাখাই এখানে মূল কাজ। -
১০৮
|A×B|=|A.B| হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক π2
- খ π4
- গ π
- ঘ 2π
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) π4
|A × B| = AB sinθ এবং |A·B| = AB cosθ। দুটি সমান হলে sinθ = cosθ, অর্থাৎ tanθ = 1 এবং θ = 45° বা π4। উত্তর π4।
৪৫° কোণে ডট ও ক্রস গুণফলের মান সমান হয়, এই ফলটি মনে রাখার মতো। কোণ ৪৫° এর কম হলে ডট গুণফল বড়ো হয় আর বেশি হলে ক্রস গুণফল বড়ো হয়; ৯০° এ ডট শূন্য এবং ক্রস সর্বোচ্চ, আর ০° এ ঠিক উল্টো। -
১০৯
যদি A, B ও C তিনটি ভেক্টর রাশি এবং C=A×B হয়, তাহলে C এর দিক হবে-
- ক A বরাবর
- খ B বরাবর
- গ A ও B উভয়ের লম্ব বরাবর
- ঘ A ও B উভয়ের সমান্তরাল বরাবর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) A ও B উভয়ের লম্ব বরাবর
ক্রস গুণফলের ফল সবসময় ঐ দুটি ভেক্টরের তলের উপর লম্ব একটি ভেক্টর, যার দিক ডান হাতের নিয়মে নির্ধারিত হয়। তাই C ভেক্টরটি A ও B উভয়ের উপরই লম্ব। উত্তর গ।
যাচাই করার সহজ উপায় হলো ডট গুণফল নেওয়া; C·A এবং C·B দুটোই শূন্য হবে। এই ধর্মের কারণেই টর্ক, কৌণিক ভরবেগ ও চৌম্বক বলের দিক সবসময় সংশ্লিষ্ট দুটি ভেক্টরের তলের বাইরে থাকে। -
১১০
দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল 18 একক এবং ভেক্টর গুণফল 63 একক হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 20°
- খ 25°
- গ 30°
- ঘ 35°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 30°
AB cosθ = 18 এবং AB sinθ = 63। দ্বিতীয়টিকে প্রথমটি দিয়ে ভাগ করলে tanθ = 6318 = 13, ফলে θ = 30°। উত্তর ৩০°।
ভাগ করার সুবিধা হলো ভেক্টর দুটির মান জানার প্রয়োজনই পড়ে না, কারণ AB কেটে যায়। চাইলে মানও বের করা যায়; বর্গ করে যোগ করলে (AB)² = 18² + (63)² = 324 + 108 = 432, তাই AB = 432 ≈ 20.78। -
১১১
যদি AB=2i+j এবং AC=3i+j+5k হয় তবে AB ও AC কে সন্নিহিত বাহু ধরে অঙ্কিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে-
- ক 85
- খ 56
- গ 314
- ঘ 65
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 314
ক্রস গুণফল নির্ণায়ক বিস্তার করে বের করি। i-উপাংশ = (1)(5) − (0)(1) = 5, j-উপাংশ = −[(2)(5) − (0)(3)] = −10 এবং k-উপাংশ = (2)(1) − (1)(3) = −1, তাই AB × AC = 5i − 10j − k।
ক্ষেত্রফল = 52 + 102 + 12 = 126 = 314। উত্তর 314।
বর্গমূলকে সরল করার সময় বড়ো পূর্ণবর্গ উৎপাদক খুঁজতে হয়; এখানে 126 = 9 × 14, তাই 126 = 314। সন্নিহিত বাহু দেওয়া থাকায় সরাসরি ক্রস গুণফলের মানই ক্ষেত্রফল, অর্ধেক নেওয়ার প্রয়োজন নেই। -
১১২
A ও B-কে সন্নিহিত বাহু ধরে অঙ্কিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল—
- ক A · B
- খ |A × B|
- গ 12|A × B|
- ঘ (12)(A · B)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 12|A × B|
A ও B-কে সন্নিহিত বাহু ধরে অঙ্কিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = |A × B| = AB sinθ।
ঐ দুই বাহু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজ সামান্তরিকের অর্ধেক, তাই ক্ষেত্রফল = 12|A × B|।
ক্ষেত্রফল ভেক্টরের দিক তলের লম্ব বরাবর; ডট গুণফল A · B ক্ষেত্রফল নয়, এটি স্কেলার গুণফল। -
১১৩
n=A×B|A×B| হলে -n সমান কত হবে?
- ক B×A|A×B|
- খ A×B|B×A|
- গ |B×A |A×B
- ঘ | A×B|B×A
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) B×A|A×B|
ক্রস গুণনে ক্রম বদলালে দিক উল্টে যায়, অর্থাৎ B × A = −(A × B)। তাই লবে ঋণচিহ্ন বসানোর বদলে ক্রম বদলে দিলেই চলে, −n = B × A|A × B|।
উত্তর ক।
হরে মান বসে, আর ক্রস গুণফলের মান ক্রম বদলালেও একই থাকে, তাই |A × B| ও |B × A| সমান; কেবল লবের দিক বদলায়। অপশন গ ও ঘ-তে লব ও হর উল্টে দেওয়া হয়েছে, ফলে সেগুলো একক ভেক্টরই নয়। -
১১৪
তিনটি ভেক্টর, a, b ও c যাদের মান যথাক্রমে 4, 3 এবং 5 যোগ করলে শূন্য হয় অর্থাৎ a+b+c=0 তাহলে |c×(a×b)| এর মান হলো-
- ক 12
- খ 60
- গ 25
- ঘ 15
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 60
a + b + c = 0 থেকে a + b = −c, তাই |a + b| = 5। বর্গ করে পাই a² + b² + 2a·b = 25, অর্থাৎ 16 + 9 + 2a·b = 25 এবং a·b = 0। ডট গুণফল শূন্য মানে a ও b পরস্পর লম্ব।
তাই |a × b| = ab sin90° = 4 × 3 = 12, আর এই ভেক্টরটি a ও b এর তলের উপর লম্ব। যেহেতু c ঐ তলেই আছে, c ও (a × b) পরস্পর লম্ব। ফলে |c × (a × b)| = 5 × 12 × sin90° = 60। উত্তর ৬০।
৩, ৪, ৫ ত্রিভুজ দেখেই আন্দাজ করা যায় ভেক্টর দুটি লম্ব, কারণ তিনটি ভেক্টর যোগ করে শূন্য হওয়া মানে এরা একটি বদ্ধ ত্রিভুজ গঠন করে; আর ৩, ৪, ৫ বাহুর ত্রিভুজ সমকোণী। -
১১৫
দুটি সদৃশ ভেক্টর A ও B যদি একই সময় একই বিন্দুতে ক্রিয়া করে তাহলে-
i. A.B=0
ii. A×B=0
iii. |A|+|B|=A+B
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i
- খ i ও ii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) ii ও iii
সদৃশ ভেক্টর মানে একই দিকে ক্রিয়াশীল, তাই মধ্যবর্তী কোণ ০°। তখন A·B = AB cos0° = AB, শূন্য নয়; প্রথম বক্তব্য ভুল। ক্রস গুণফল AB sin0° = 0, তাই দ্বিতীয়টি সঠিক।
তৃতীয় বক্তব্যও সঠিক, কারণ একই দিকে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান হয় মানদ্বয়ের সরল যোগফল A + B। সঠিক উত্তর ii ও iii।
সদৃশ ভেক্টরের ক্ষেত্রে ক্রস গুণফল শূন্য আর ডট গুণফল সর্বোচ্চ; বিসদৃশ হলে ক্রস আবার শূন্যই থাকে কিন্তু ডট সর্বোচ্চ ঋণাত্মক হয়ে যায়। দুই ক্ষেত্রেই ক্রস শূন্য, কারণ ভেক্টর দুটি একই সরলরেখা বরাবর। -
১১৬
C×C হচ্ছে-
- ক C
- খ C2
- গ 0
- ঘ 2C
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 0
কোনো ভেক্টরের সাথে নিজের ক্রস গুণনে মধ্যবর্তী কোণ শূন্য, আর sin0° = 0, তাই C × C = C·C·sin0° = 0। উত্তর ০।
একই কারণে i × i = 0, j × j = 0 ও k × k = 0। তবে ডট গুণনে ঠিক উল্টো ঘটে, C·C = C2, কারণ সেখানে cos0° = 1। নিজের সাথে গুণনে ক্রস শূন্য দেয় আর ডট বর্গ দেয়, এই পার্থক্যটি মনে রাখা জরুরি। -
১১৭
k.(k×i)=?
- ক 0
- খ +1
- গ 3
- ঘ -1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 0
প্রথমে বন্ধনীর ভেতর, k × i = j। এবার k·j = 0, কারণ ভিন্ন দুটি আয়ত একক ভেক্টর পরস্পর লম্ব এবং লম্ব ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য। উত্তর ০।
এ ধরনের রাশিকে বলা হয় স্কেলার ত্রিগুণন, আর এর একটি সাধারণ ধর্ম হলো তিনটি ভেক্টরের মধ্যে দুটি একই হলে ফল সবসময় শূন্য। এখানে k দুবার এসেছে, তাই হিসাব না করেও বলা যেত ফল শূন্য। -
১১৮
j×(j×k)=?
- ক -k
- খ 0
- গ k
- ঘ i
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) -k
প্রথমে বন্ধনীর ভেতর, j × k = i। এবার j × i = −k। উত্তর −k।
এখানে ক্রমটাই আসল; i × j = k কিন্তু j × i = −k। আয়ত একক ভেক্টরের চক্র i → j → k → i এই ক্রমে ধনাত্মক, আর উল্টো ক্রমে ঋণাত্মক। ক্রস গুণন সংযোগ সূত্র মানে না বলে বন্ধনী কোথায় বসেছে সেটিও খেয়াল রাখতে হয়। -
১১৯
|A×B|2+|A.B|2 এর মান-
- ক |A|2+|B|2
- খ |A|2.|B|2
- গ |A2+B2|
- ঘ |A-B|2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) |A|2.|B|2
|A × B|² = A²B²sin²θ এবং |A·B|² = A²B²cos²θ। যোগ করলে A²B²(sin²θ + cos²θ) = A²B², কারণ sin²θ + cos²θ = 1।
তাই ফল |A|²·|B|²। উত্তর খ।
এই অভেদটি বেশ কাজের, কারণ এর মাধ্যমে কোণ না জেনেই দুটি গুণফলের সম্পর্ক বের করা যায়। যেমন ডট গুণফল ও ভেক্টর দুটির মান জানা থাকলে সরাসরি ক্রস গুণফলের মান বের করে ফেলা যায়, আলাদা করে θ বের করার দরকার হয় না। -
১২০
A ও B ভেক্টর দ্বারা একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় নির্দিষ্ট হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি হবে?
- ক A.B
- খ 12 |A×B|
- গ 12(A.B)
- ঘ |A×B|
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 12 |A×B|
কর্ণ দেওয়া থাকলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হয় কর্ণ দুটির ক্রস গুণফলের মানের অর্ধেক, অর্থাৎ 12|A × B|। উত্তর খ।
সন্নিহিত বাহু দেওয়া থাকলে ক্ষেত্রফল হতো পুরো |A × B|; কর্ণ আর বাহু গুলিয়ে ফেললে উত্তর দ্বিগুণ বা অর্ধেক হয়ে যায়। কারণটি জ্যামিতিক, কর্ণ দুটি সামান্তরিককে চারটি ত্রিভুজে ভাগ করে, আর কর্ণ দিয়ে গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল মূলটির দ্বিগুণ হয়।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।