ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ৫/৩৫
-
৮১
যদি A = 2i + aj + k এবং B = −2i + j − 2k পরস্পর লম্ব হয়, তবে a এর মান হবে —
- ক -4
- খ -6
- গ 6
- ঘ -2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 6
A=2i+aj+k এবং B=−2i+j−2k পরস্পর লম্ব হলে A⋅B=0। অর্থাৎ 2(−2)+a(1)+1(−2)=0⇒a−6=0⇒a=6। -
৮২
(i+j) এবং i এর মধ্যবর্তী কোণ-
- ক 45°
- খ 60°
- গ 90°
- ঘ 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 45°
(i + j)·i = 1। মান দুটি |i + j| = 2 এবং |i| = 1। তাই cosθ = 12, ফলে θ = 45°। উত্তর ৪৫°।
জ্যামিতিকভাবেও স্পষ্ট; i + j ভেক্টরটি X ও Y অক্ষের ঠিক মাঝ বরাবর থাকে, কারণ দুই অক্ষে এর উপাংশ সমান। তাই এটি প্রতিটি অক্ষের সাথে ৪৫° কোণ তৈরি করে। সাধারণভাবে কোনো ভেক্টরের দুটি উপাংশ সমান হলে সে দুই অক্ষের সাথে সবসময় সমান কোণ করবে। -
৮৩
a-এর মান কত হলে A = 2i + 2j − k এবং B = ai + j ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
- ক -1
- খ 74
- গ 0
- ঘ 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) -1
লম্ব হলে A⋅B=0⇒2a+2(1)+(−1)(0)=0⇒2a+2=0⇒a=−1। -
৮৪
a এবং b দুটি সমান ভেক্টর সমকোণে ক্রিয়া করলে (a+b) ও (a-b) এর ডট গুণফল কত?
- ক 0
- খ 4a
- গ 2a
- ঘ None
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 0
(a + b)·(a − b) = a·a − a·b + b·a − b·b। এখানে ডট গুণন বণ্টন সূত্র মানে বলে মাঝের দুটি পদ a·b ও b·a কাটাকাটি হয়ে যায়, কারণ ডট গুণন বিনিময় সূত্রও মানে।
বাকি থাকে a² − b²। ভেক্টর দুটি সমান বলে a = b, তাই ফল শূন্য। উত্তর ০।
লক্ষণীয়, এখানে সমকোণে ক্রিয়া করার তথ্যটি হিসাবে লাগেইনি; ভেক্টর দুটির মান সমান হলে যেকোনো কোণেই ফল শূন্য হবে। এর জ্যামিতিক অর্থ হলো, রম্বসের কর্ণ দুটি সবসময় পরস্পর লম্ব, কারণ যোগফল ও বিয়োগফলই ঐ দুটি কর্ণ। -
৮৫
A=2i+3j+4k এবং B=3i+4j+5k বরাবর A এর লম্ব অভিক্ষেপ কত?
- ক 2938
- খ 5038
- গ 3850
- ঘ 3829
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 3850
কোনো ভেক্টরের অভিক্ষেপ বের করতে ডট গুণফলকে যে ভেক্টরের উপর অভিক্ষেপ নেওয়া হচ্ছে তার মান দিয়ে ভাগ করতে হয়। A·B = (2)(3) + (3)(4) + (4)(5) = 6 + 12 + 20 = 38 এবং |B| = 9 + 16 + 25 = 50।
তাই অভিক্ষেপ = 3850। উত্তর গ।
সূত্রটি আসে ডট গুণফলের সংজ্ঞা থেকেই, কারণ A·B = AB cosθ এবং A cosθ-ই হলো B বরাবর A এর অভিক্ষেপ। অপশনে হর ও লব উল্টে দেওয়া রূপও রাখা হয়েছে, তাই কোন ভেক্টরের মান দিয়ে ভাগ হচ্ছে সেটি খেয়াল করা জরুরি; B বরাবর অভিক্ষেপ চাইলে |B| দিয়ে ভাগ করতে হবে। -
৮৬
(j×k) ×i=?
- ক i
- খ i2
- গ 0
- ঘ 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 0
প্রথমে বন্ধনীর ভেতর, j × k = i। তাই রাশিটি দাঁড়ায় i × i। কোনো ভেক্টরের সাথে নিজের ক্রস গুণন সবসময় নাল ভেক্টর, কারণ মধ্যবর্তী কোণ শূন্য এবং sin0° = 0। উত্তর 0।
আয়ত একক ভেক্টরের ক্রস গুণনের চক্রটি মনে রাখলে এ ধরনের প্রশ্ন এক নজরেই হয়ে যায়; i × j = k, j × k = i ও k × i = j, আর উল্টো ক্রমে করলে প্রতিটির সামনে ঋণচিহ্ন বসে। নিজের সাথে নিজের ক্রস গুণন সবসময় শূন্য। -
৮৭
A ও B ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের ওপর লম্ব হবে যদি-
- ক A.B=1
- খ A×B=1°
- গ A.B=0
- ঘ A×B=0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) A.B=0
A·B = AB cosθ, তাই ডট গুণফল শূন্য হলে cosθ = 0 এবং θ = 90°, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব। উত্তর গ।
অপশন ঘ-তে দেওয়া A × B = 0 আসলে সমান্তরাল হওয়ার শর্ত, লম্ব হওয়ার নয়। আর ক ও খ-এর মতো ডট গুণফল ১ বা ক্রস গুণফল ১° লেখা অর্থহীন, কারণ এদের মান ভেক্টর দুটির মানের উপরও নির্ভর করে। লম্ব যাচাইয়ে ডট আর সমান্তরাল যাচাইয়ে ক্রস, এই জোড়াটি একসাথে মনে রাখা ভালো। -
৮৮
A ও B ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের সমান্তরাল হবে যদি-
- ক A.B=0
- খ A×B=0
- গ A.B=1
- ঘ A×B=1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) A×B=0
A × B = AB sinθ n, তাই ক্রস গুণফল নাল ভেক্টর হলে sinθ = 0 এবং θ = 0° বা 180°, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল বা বিপরীতমুখী। উত্তর A × B = 0।
এখানে ফলটি ভেক্টর, তাই ডান পাশে সাধারণ শূন্য না লিখে নাল ভেক্টর লিখতে হয়; অপশন ঘ-তে ক্রস গুণফলকে ১ লেখা হয়েছে যা রাশির ধরনের দিক থেকেই ভুল। আগের প্রশ্নের সাথে মিলিয়ে দেখলে ধারণা পরিষ্কার হয়; ডট শূন্য মানে লম্ব, ক্রস শূন্য মানে সমান্তরাল। -
৮৯
কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু যদি দুটি ভেক্টর যথাক্রমে A এবং B এর মান ও দিক নির্দেশ করে, তাহলে ঐ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে কোনটি?
- ক |A×B|
- খ 12 |A×B|
- গ A×B
- ঘ 12(A×B)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) |A×B|
দুটি ভেক্টরকে সন্নিহিত বাহু ধরে আঁকা সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হলো ক্রস গুণফলের মান, |A × B| = AB sinθ। উত্তর ক।
ভিত্তি × উচ্চতা হিসাবেও একই ফল আসে; ভিত্তি A হলে উচ্চতা হয় B sinθ, তাই ক্ষেত্রফল AB sinθ। এই সামান্তরিকের অর্ধেক হলো ঐ দুই বাহু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজ, তাই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12|A × B|। ক্রস গুণফল নিজে একটি ভেক্টর, কিন্তু ক্ষেত্রফল একটি স্কেলার, তাই মানের চিহ্ন অর্থাৎ দুই দণ্ড অবশ্যই লিখতে হবে; অপশন গ-তে সেটি নেই বলে ওটি ভুল। -
৯০
নিচের কোন ক্রিয়াটি বিনিময় সূত্র মেনে চলে না?
- ক ভেক্টর রাশির ডট গুণন
- খ ভেক্টর রাশির ক্রস গুণন
- গ ভেক্টর রাশির যোগ
- ঘ ওপরের কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) ভেক্টর রাশির ক্রস গুণন
ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না, কারণ A × B = −(B × A)। ক্রম বদলালে ফলের দিক উল্টে যায়, তাই দুটি ফল সমান নয়। উত্তর ক্রস গুণন।
ভেক্টর যোগ ও ডট গুণন দুটোই বিনিময় সূত্র মানে; A + B = B + A এবং A·B = B·A। কারণ ডট গুণফল AB cosθ কেবল মান ও কোণের উপর নির্ভর করে, ক্রম এতে কোনো প্রভাব ফেলে না। কিন্তু ক্রস গুণফলের দিক ডান হাতের নিয়মে ঠিক হয় বলে ক্রম বদলালে দিকও বদলায়। -
৯১
A=-B হলে A×B এর মান হবে-
- ক -A2
- খ 0
- গ -B2
- ঘ 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 0
A = −B মানে ভেক্টর দুটি বিপরীতমুখী, তাই মধ্যবর্তী কোণ ১৮০°। ক্রস গুণফলের মান AB sin180° = 0, অর্থাৎ শূন্য। উত্তর ০।
সমান্তরাল বা বিপরীতমুখী যেকোনো দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য হয়, কারণ দুই ক্ষেত্রেই sinθ শূন্য। অপশনে −A² ও −B² রাখা হয়েছে কারণ ঐ মানগুলো আসে ডট গুণফলে; A = −B হলে A·B = −A2। ডট আর ক্রস গুলিয়ে ফেললে ঐ ভুলটিই হয়। -
৯২
দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল 18 এবং ভেক্টর গুনফলের মান 63। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হবে-
- ক 60°
- খ 90°
- গ 30°
- ঘ 120°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 30°
ডট গুণফল AB cosθ = 18 এবং ক্রস গুণফলের মান AB sinθ = 63। দ্বিতীয়টিকে প্রথমটি দিয়ে ভাগ করলে AB কেটে যায় এবং পাওয়া যায় tanθ = 6318 = 13।
tanθ = 13 হলে θ = 30°। উত্তর ৩০°।
দুটি গুণফল একসাথে দেওয়া থাকলে ভাগ করাই সবচেয়ে দ্রুত পথ, কারণ তাতে ভেক্টর দুটির মান জানার দরকারই হয় না। এই কৌশলটি মনে রাখলে ভেক্টরের যেকোনো প্রশ্নে ডট ও ক্রস দুটোই দেওয়া থাকলে কোণ সেকেন্ডে বের করা যায়। -
৯৩
i এবং j যে তলে অবস্থিত সেই তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর হলো-
- ক (j×k)
- খ (i×j)
- গ (k×j)
- ঘ (i×k)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) (i×j)
i ও j যে তলে আছে সেটি XY তল, আর ঐ তলের উপর লম্ব দিক হলো Z-অক্ষ। ডান হাতের নিয়ম অনুযায়ী i × j = k, যা মান ১ বিশিষ্ট এবং Z-অক্ষ বরাবর। উত্তর i × j।
বাকি অপশনগুলো অন্য দিক নির্দেশ করে; j × k = i, k × j = −i আর i × k = −j। এদের কোনোটিই Z-অক্ষ বরাবর নয়। ক্রস গুণফলের ফল সবসময় দুটি ভেক্টরের তলের উপর লম্ব হয়, তাই কোন তলের উপর লম্ব চাওয়া হয়েছে দেখে ঐ তলের দুই একক ভেক্টরের ক্রস গুণন করলেই উত্তর পাওয়া যায়। -
৯৪
A = 3i − 4j + 2k এবং B = 6i + 2j − 3k হলে A × B-এর জন্য নিচের কোনটি সঠিক?
- ক 18i + 21j + 30k
- খ 8i + 21j + 18k
- গ 8i + 3j + 30k
- ঘ 8i + 21j + 30k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 8i + 21j + 30k
এখানে, A = 3i − 4j + 2k, B = 6i + 2j − 3k
আমরা জানি, A × B = i(AyBz − AzBy) − j(AxBz − AzBx) + k(AxBy − AyBx)
∴ A × B = i{(−4)(−3) − (2)(2)} − j{(3)(−3) − (2)(6)} + k{(3)(2) − (−4)(6)} = i(12 − 4) − j(−9 − 12) + k(6 + 24)
∴ A × B = 8i + 21j + 30k
A × B ভেক্টরটি A ও B উভয়ের ওপর লম্ব: (A × B) · A = 24 − 84 + 60 = 0। -
৯৫
A×B=?
- ক nABcosθ
- খ ABsinθ
- গ -B×A
- ঘ B×A
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) -B×A
ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না, ক্রম বদলালে ফলের দিক উল্টে যায়, তাই A × B = −(B × A)। উত্তর গ।
অপশন ক-তে দেওয়া nAB cosθ আসলে ভুল, কারণ ক্রস গুণনে sin বসে, cos নয়। অপশন খ-তে দেওয়া AB sinθ কেবল মান, পুরো ভেক্টরটি নয়; সঠিক পূর্ণরূপ A × B = AB sinθ n, যেখানে n হলো তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর। ফল ভেক্টর না স্কেলার সেটি খেয়াল রাখলে এ ধরনের অপশন সহজে বাদ দেওয়া যায়। -
৯৬
(j + k) × k = কত?
- ক 1
- খ i
- গ j
- ঘ k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) i
এখানে, ভেক্টর দুটি (j + k) ও k
আমরা জানি, j × k = i, k × k = 0 (একই দিকের একক ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য)
∴ (j + k) × k = j × k + k × k = i + 0 = i
চক্রক্রম i, j, k (চক্রাকারে) অনুসারে: i × j = k, j × k = i, k × i = j; উল্টো ক্রমে গুণ করলে ঋণাত্মক চিহ্ন আসে। -
৯৭
নিচের কোনটি x-অক্ষের সমান্তরাল?
- ক (i × j) × j
- খ (i × j) × i
- গ (i × j) × k
- ঘ (k × j) × k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) (i × j) × j
প্রতিটির মান বের করে দেখি কোনটি i বা −i-এর সমান (x-অক্ষের সমান্তরাল)।
আমরা জানি, i × j = k, j × k = i, k × i = j এবং বিপরীত ক্রমে ঋণাত্মক
∴ (i × j) × j = k × j = −i — x-অক্ষের সমান্তরাল
অন্যগুলো: (i × j) × i = k × i = j; (i × j) × k = k × k = 0; (k × j) × k = (−i) × k = j। -
৯৮
চিত্রের ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণন-
- ক A.B=ABcosθ
- খ |A×B|=ABcosθ
- গ A×B=ABsinθη
- ঘ A.B=ABsinθ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) A.B=ABcosθ
স্কেলার গুণন বা ডট গুণনের সংজ্ঞা A·B = AB cosθ, যেখানে θ হলো ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ এবং ফলটি একটি স্কেলার। উত্তর ক।
বাকি অপশনগুলোতে ডট ও ক্রস মিশিয়ে দেওয়া হয়েছে। ক্রস গুণফলের মান AB sinθ, cosθ নয়; আর A × B = AB sinθ n হলো ক্রস গুণনের পূর্ণরূপ, স্কেলার গুণন নয়। ডট গুণনে cos আর ক্রস গুণনে sin, এই একটি পার্থক্যই বেশিরভাগ প্রশ্নের ফয়সালা করে দেয়। -
৯৯
P ও Q ভেক্টর দুটি থেকে পাই-
i. P×Q≠Q×P
ii. P+Q=Q+P
iii. P.Q=Q.P
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i
- খ i ও ii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না, তাই P × Q ≠ Q × P, প্রথম বক্তব্য সঠিক। ভেক্টর যোগ বিনিময় সূত্র মানে, তাই দ্বিতীয়টিও সঠিক। ডট গুণনও বিনিময় সূত্র মানে, কারণ AB cosθ এ ক্রমের কোনো ভূমিকা নেই, তাই তৃতীয়টিও সঠিক। উত্তর i, ii ও iii।
অর্থাৎ ভেক্টরের তিনটি ক্রিয়ার মধ্যে কেবল ক্রস গুণনই ক্রম নিয়ে সংবেদনশীল। এর কারণ ক্রস গুণফলের দিক ডান হাতের নিয়মে নির্ধারিত হয়, আর ক্রম বদলালে ঐ দিক উল্টে যায়; মান কিন্তু একই থাকে। -
১০০
P ও Q পরস্পরের বিপরীত ভেক্টর হলে—
i. P + Q = 0
ii. P · Q = 0
iii. P × Q = 0
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i
- খ i ও ii
- গ i ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) i ও iii
বিপরীত ভেক্টর: মান সমান কিন্তু দিক বিপরীত, অর্থাৎ Q = −P, মধ্যবর্তী কোণ θ = 180°।
i. P + Q = P + (−P) = 0 (শূন্য ভেক্টর) — সঠিক।
ii. P · Q = PQ cos180° = −P2 ≠ 0 — ভুল।
iii. |P × Q| = PQ sin180° = 0 — সঠিক (সমান্তরাল/বিপরীত সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য)।
সুতরাং i ও iii সঠিক।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।