ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ৩৫/৩৫
-
৬৮১
5N এবং 10N মানের দুটি বল একটি কণার উপর আরোপিত হলে, নিম্নের কোন বলটি কণাটির উপর লব্ধি বল হতে পারে না?
- ক 5N
- খ 10N
- গ 15N
- ঘ 20N
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 20N
দুটি বলের লব্ধির সর্বোচ্চ মান হয় যখন তারা একই দিকে ক্রিয়া করে (F1+F2=5+10=15N) এবং সর্বনিম্ন মান হয় বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে (|F1−F2|=5N)। সুতরাং লব্ধি বল 5N থেকে 15N এর মধ্যে যেকোনো মান হতে পারে, 20N এই সীমার বাইরে বলে তা লব্ধি হতে পারে না। -
৬৮২
ভেক্টর A = i − 3j + 5k এবং B = ai + 6j − 10k — a এর মান কত হলে ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হবে?
- ক 0
- খ -2
- গ -1
- ঘ 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) -2
দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হতে হলে তাদের অনুরূপ উপাংশের অনুপাত সমান হতে হয়: a1=6−3=−105। যেহেতু 6−3=−2 এবং −105=−2, তাই a=−2। -
৬৮৩
A = B হলে A × B এর মান বের করো।
- ক −A2
- খ −B2
- গ 0
- ঘ 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 0
A×B=ABsinθ n। যেহেতু A=B, দুটি ভেক্টর একই দিকে ও একই মানের, তাই তাদের মধ্যবর্তী কোণ θ=0। ফলে sinθ=0 এবং A×B=0 (এটি একটি সাধারণ সূত্র: যেকোনো ভেক্টরের সাথে নিজের ক্রস গুণফল সর্বদা শূন্য ভেক্টর হয়)। -
৬৮৪
যদি A = i + j + k এবং B = 2i + 2j + 2k হয়, তবে A × B = ?
- ক 2i + 2j + 2k
- খ 12(i + j + k)
- গ i + j + k
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 0
B=2i+2j+2k=2A, অর্থাৎ A ও B পরস্পর সমান্তরাল। সমান্তরাল দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য হয়: A×B=A×(2A)=2(A×A)=0। -
৬৮৫
দুটি ভেক্টর A = 2i + 3j − 4k এবং B = xi + 6j − 8k দেওয়া আছে। x এর যে মানের জন্য ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হবে তা হলো —
- ক 3
- খ 4
- গ 5
- ঘ 6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 4
A=2i+3j−4k এবং B=xi+6j−8k সমান্তরাল হওয়ার শর্তে অনুরূপ উপাংশগুলোর অনুপাত সমান হতে হবে: x2=63=−8−4=2⇒x=4। -
৬৮৬
Y এর কোন মানের জন্য ভেক্টর 2ˆi + yˆj + ˆk, 4ˆi −2ˆj −2ˆk পরস্পরের উপর লম্ব হবে?
- ক 1
- খ 4
- গ 3
- ঘ 6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 3
দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়: (2)(4)+y(−2)+(1)(−2)=0, অর্থাৎ 8−2y−2=0⇒2y=6⇒y=3। -
৬৮৭
A = 3î + 4ĵ ভেক্টরটির মান কত?
- ক 5
- খ 7
- গ 12
- ঘ 25
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 5
মান = 32 + 42 = 25 = 5
ফাঁদ: উপাংশ দুটি যোগ করে 7 বা বর্গের যোগফল 25 লেখা — বর্গমূল নিতে ভুলে যাওয়া সবচেয়ে সাধারণ ভুল। -
৬৮৮
সমান মানের দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান যদি প্রত্যেকটির মানের সমান হয়, তবে এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
- ক 60°
- খ 90°
- গ 120°
- ঘ 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 120°
R = A2 + A2 + 2A2 cos θ = A ধরে বর্গ করে:
2A2(1 + cos θ) = A2 ⇒ cos θ = −12 ⇒ θ = 120°
ফাঁদ: 60° দিলে লব্ধি হয় A3, সমান নয়। -
৬৮৯
দুটি অশূন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্য হলে এরা পরস্পর—
- ক সমান্তরাল
- খ বিপরীতমুখী
- গ লম্ব
- ঘ সমান
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) লম্ব
A·B = AB cos θ = 0 এবং A, B ≠ 0 ⇒ cos θ = 0 ⇒ θ = 90°।
অন্যদিকে ভেক্টর গুণফল শূন্য হলে ভেক্টর দুটি সমান্তরাল বা বিপরীতমুখী হয়।
ফাঁদ: ডট ও ক্রস গুণফলের শর্ত দুটি উল্টে ফেলা। -
৬৯০
কোনো ভেক্টরকে ঋণাত্মক স্কেলার দিয়ে গুণ করলে কী পরিবর্তন হয়?
- ক শুধু মান
- খ শুধু দিক
- গ মান ও দিক উভয়ই
- ঘ কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) মান ও দিক উভয়ই
mA-এর মান |m|A, আর m ঋণাত্মক হলে দিক ঠিক বিপরীত হয়ে যায়।
যেমন −2A-এর মান 2A, দিক A-এর বিপরীত।
ফাঁদ: m = −1 হলে শুধু দিক বদলায় — কিন্তু সাধারণভাবে মানও বদলায়। -
৬৯১
দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান সর্বনিম্ন হয় যখন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ—
- ক 0°
- খ 90°
- গ 180°
- ঘ 270°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 180°
R = A2 + B2 + 2AB cos θ; cos θ সর্বনিম্ন (−1) হলে R সর্বনিম্ন = |A − B|।
cos θ = −1 ⇒ θ = 180°, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি বিপরীতমুখী।
ফাঁদ: 0° দিলে লব্ধি সর্বোচ্চ (A + B) হয়। -
৬৯২
î × ĵ-এর মান কোনটি?
- ক 0
- খ k̂
- গ 1
- ঘ −k̂
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) k̂
লম্ব একক ভেক্টরের ক্রস গুণফল চক্রাকারে: î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ।
ক্রম উল্টালে চিহ্ন বদলায়: ĵ × î = −k̂।
ফাঁদ: ফলাফল স্কেলার 1 নয়, এটি ভেক্টর k̂। -
৬৯৩
A·B = |A × B| হলে ভেক্টর দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
- ক 30°
- খ 45°
- গ 60°
- ঘ 90°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 45°
AB cos θ = AB sin θ ⇒ tan θ = 1 ⇒ θ = 45°।
এ অবস্থায় স্কেলার ও ভেক্টর গুণফলের মান সমান হয়।
ফাঁদ: 90° বসালে ডট গুণফল শূন্য হয়ে যায়, সমতা টেকে না। -
৬৯৪
A = 2î + 3ĵ এবং B = 4î + 6ĵ ভেক্টর দুটি পরস্পর—
- ক লম্ব
- খ সমান্তরাল
- গ 60° কোণে
- ঘ বিপরীতমুখী
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) সমান্তরাল
B = 2A — একটি ভেক্টর অন্যটির ধনাত্মক গুণিতক, তাই এরা সমান্তরাল (একই দিকে)।
যাচাই: A × B = (2×6 − 3×4) k̂ = 0।
ফাঁদ: গুণিতক ঋণাত্মক হলে তবেই বিপরীতমুখী হতো। -
৬৯৫
একটি ভেক্টরকে একই দিকের একক ভেক্টরে পরিণত করতে হলে একে ভাগ করতে হয়—
- ক নিজের মান দিয়ে
- খ উপাংশের যোগফল দিয়ে
- গ সর্ববৃহৎ উপাংশ দিয়ে
- ঘ তিন দিয়ে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) নিজের মান দিয়ে
â = AA — ভেক্টরকে তার নিজের মান দিয়ে ভাগ করলে দিক অপরিবর্তিত থাকে, মান হয় ঠিক ১।
ফাঁদ: উপাংশগুলোর যোগফল দিয়ে ভাগ করলে মান ১ হয় না। -
৬৯৬
A·(A × B) রাশিটির মান কত?
- ক A2B
- খ AB sin θ
- গ 0
- ঘ AB cos θ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 0
A × B ভেক্টরটি A-এর ওপর লম্ব, তাই এর সাথে A-এর ডট গুণফল শূন্য।
স্কেলার ট্রিপল গুণফলে একই ভেক্টর দুইবার থাকলে ফল সর্বদা শূন্য।
ফাঁদ: ক্রমে গুণ করে A2B লেখা — লম্বত্বের শর্ত খেয়াল না করা। -
৬৯৭
তিনটি সমান মানের ভেক্টর পরস্পর 120° কোণে থাকলে এদের লব্ধি কত?
- ক 3A
- খ A3
- গ 0
- ঘ 2A
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 0
120° ব্যবধানে তিনটি সমান ভেক্টর একটি বদ্ধ সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে, তাই লব্ধি শূন্য।
এটিই ভারসাম্যের শর্ত — যেমন তিনটি সমান বল সাম্যাবস্থা তৈরি করে।
ফাঁদ: মান যোগ করে 3A লেখা — ভেক্টর যোগ দিক বিবেচনা করে। -
৬৯৮
নিচের কোনটি X-অক্ষের সমান্তরাল?
- ক (i × j) × i
- খ (i × j) × k
- গ (i × j) × j
- ঘ (k × j) × k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) (i × j) × j
এখানে, i × j = k, k × j = −i
আমরা জানি, k × i = j, k × j = −i, k × k = 0, i × k = −j
∴ (i × j) × j = k × j = −i, যা X-অক্ষের সমান্তরাল (ঋণাত্মক দিকে)
∴ অন্যগুলো: (i × j) × i = k × i = j; (i × j) × k = k × k = 0; (k × j) × k = −i × k = j
চক্রক্রম i, j, k, i মেনে গুণ করলে পরের একক ভেক্টর ধনাত্মক আসে, উল্টো ক্রমে ঋণাত্মক। -
৬৯৯
|A × B| = A · B হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক π4
- খ π2
- গ π
- ঘ 2π
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) π4
এখানে, |A × B| = A · B
আমরা জানি, |A × B| = AB sinθ, A · B = AB cosθ
∴ AB sinθ = AB cosθ, বা tanθ = 1
∴ θ = 45° = π4
θ = π2 হলে ডট গুণফল শূন্য, θ = 0 বা π হলে ক্রস গুণফল শূন্য। -
৭০০
ব্যাসার্ধ ভেক্টর ও প্রযুক্ত বলের ভেক্টর গুণনকে বলে—
- ক জড়তার ভ্রামক
- খ টর্ক
- গ কৌণিক ভরবেগ
- ঘ চক্রগতির ব্যাসার্ধ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) টর্ক
ব্যাসার্ধ ভেক্টর ও বলের ভেক্টর গুণফল টর্ক: τ = r × F, একক N m, মাত্রা [ML2T−2]।
কৌণিক ভরবেগ L = r × p (ব্যাসার্ধ ভেক্টর ও রৈখিক ভরবেগের ভেক্টর গুণফল)।
জড়তার ভ্রামক I = Σmr2 একটি স্কেলার রাশি; চক্রগতির ব্যাসার্ধ K = IM।
রৈখিক বেগ v = ω × r — এটিও ভেক্টর গুণনের উদাহরণ।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।