ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান

HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।

1. ১

   ভেক্টর তপন স্যার

   স্কেলার রাশি হচ্ছে –
   i. শক্তি
   ii. সরণ
   iii. বিভব
   নিচের কোনটি সঠিক?

   • ক i ও ii
   • খ i ও iii
   • গ ii ও iii
   • ঘ i, ii ও iii
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) i ও iii

   যে রাশিকে পুরোপুরি প্রকাশ করতে কেবল মান ও একক লাগে, দিক বলার দরকার হয় না, তাকে বলা হয় স্কেলার রাশি; আর যেটি প্রকাশ করতে মানের পাশাপাশি দিকও জানাতে হয়, সেটি ভেক্টর রাশি। শক্তি কত জুল সেটুকু বললেই বোঝা যায়, কোন দিকে আছে তা বলার প্রয়োজন হয় না। বিভবের বেলাতেও একই কথা, কোনো বিন্দুর বিভব কত ভোল্ট সেটাই যথেষ্ট। কিন্তু সরণ বলতে বোঝায় নির্দিষ্ট দিকে অবস্থানের পরিবর্তন, দিক না বললে সরণ অসম্পূর্ণ থেকে যায়। তাই শক্তি ও বিভব স্কেলার, সরণ ভেক্টর, এবং সঠিক উত্তর i ও iii।
   
   এই ভাগটা ভেক্টর অধ্যায়ে বারবার কাজে লাগে। ভর, সময়, দূরত্ব, দ্রুতি, কাজ, ক্ষমতা, শক্তি, তাপমাত্রা, আধান, রোধ, ঘনত্ব, বিভব ও বিভব প্রভেদ সবই স্কেলার। অন্যদিকে সরণ, বেগ, ত্বরণ, বল, ভরবেগ, ঘাত, টর্ক, তড়িৎ প্রাবল্য ও চৌম্বক ক্ষেত্র সবই ভেক্টর। বিশেষভাবে খেয়াল রাখতে হয় দূরত্ব ও সরণ, দ্রুতি ও বেগ, এবং তড়িৎ বিভব ও তড়িৎ প্রাবল্য, এই তিন জোড়ায় প্রথমটি স্কেলার আর দ্বিতীয়টি ভেক্টর।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

2. ২

   ভেক্টর তপন স্যার

   নিচের কোনটি ভেক্টর রাশি?

   • ক আয়তন
   • খ চাপ
   • গ ক্ষেত্রফল
   • ঘ কাজ
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) ক্ষেত্রফল

   আয়তন, চাপ ও কাজ তিনটিরই কেবল মান আছে, দিক নেই, তাই এগুলো স্কেলার রাশি। ক্ষেত্রফলকে অবশ্য ভেক্টর হিসেবে ধরা হয়। কোনো তলের ক্ষেত্রফল ভেক্টরের মান হলো ঐ তলের ক্ষেত্রফল আর দিক হলো তলের উপর অঙ্কিত অভিলম্ব বরাবর। তাই সঠিক উত্তর ক্ষেত্রফল।
   
   ক্ষেত্রফলকে দিকসহ ধরার প্রয়োজন পড়ে ফ্লাক্সের হিসাবে। তড়িৎ ফ্লাক্স Φ = E·A বা চৌম্বক ফ্লাক্স Φ = B·A বের করতে হলে তলটি কোন দিকে মুখ করে আছে তা জানা লাগে, নইলে ঐ তলের ভেতর দিয়ে কতটা ক্ষেত্র যাচ্ছে সেটা বলা যায় না। এই প্রয়োজন থেকেই ক্ষেত্রফলকে ভেক্টর ধরা হয়। তবে চাপ ভেক্টর নয়, যদিও চাপের সংজ্ঞায় বল আছে; কারণ প্রবাহীর ভেতরে চাপ সব দিকে সমানভাবে ক্রিয়া করে, এর কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

3. ৩

   ভেক্টর তপন স্যার

   নিচের কোনটি একক ভেক্টর নির্দেশ করে?

   • ক a=AA
   • খ a=AA
   • গ a=AA
   • ঘ a=AA
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) a=AA

   একক ভেক্টর বলতে বোঝায় এমন ভেক্টর যার দিক মূল ভেক্টরের দিকেই থাকে কিন্তু মান কমিয়ে ঠিক ১ করে ফেলা হয়। এই কাজটা করা হয় ভেক্টরটিকে তার নিজের মান দিয়ে ভাগ করে, অর্থাৎ a = AA। এখানে লবে আছে ভেক্টর আর হরে আছে ঐ ভেক্টরের মান, যা একটি স্কেলার। তাই সঠিক উত্তর গ।
   
   অপশনগুলো দেখতে প্রায় এক হলেও চিহ্নে পার্থক্য আছে। ক-তে লবে স্কেলার ও হরে ভেক্টর বসানো হয়েছে, অর্থাৎ সম্পর্কটি উল্টে গেছে। খ-তে লব ও হর দুটোতেই ভেক্টর, অথচ একটি ভেক্টরকে আরেকটি ভেক্টর দিয়ে ভাগ করার কোনো নিয়ম নেই। ঘ-এর ডান পাশ ঠিক থাকলেও বাম পাশে হ্যাট চিহ্ন নেই, ফলে ওটি একক ভেক্টর বোঝাচ্ছে না।
   
   এই সম্পর্ক থেকেই আরেকটি রূপ পাওয়া যায়, A = A·a। অর্থাৎ যেকোনো ভেক্টরকে তার মান ও একক ভেক্টরের গুণফল হিসেবে লেখা যায়। উপাংশ বের করা, দিক নির্দেশ করা কিংবা ভেক্টরকে A_xi + A_yj + A_zk আকারে লেখার প্রশ্নে এই রূপটি বারবার লাগে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

4. ৪

   ভেক্টর তপন স্যার

   নিচের কোন ভেক্টরের পাদবিন্দু বা আদিবিন্দু ও শীর্ষবিন্দু বা শেষ বিন্দু একই?

   • ক সমরেখ ভেক্টর
   • খ নাল ভেক্টর
   • গ একক ভেক্টর
   • ঘ সমতলীয় ভেক্টর
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) নাল ভেক্টর

   যে ভেক্টরের আদিবিন্দু ও শেষবিন্দু একই বিন্দুতে পড়ে, তার সরণ শূন্য। মান শূন্য হয়ে যাওয়ায় দিকও অনির্দিষ্ট হয়ে পড়ে। এমন ভেক্টরকেই বলা হয় নাল ভেক্টর বা শূন্য ভেক্টর, তাই উত্তর খ।
   
   সমরেখ ভেক্টর একই সরলরেখা বা সমান্তরাল রেখা বরাবর থাকে, একক ভেক্টরের মান ১, আর সমতলীয় ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান করে; এদের কারও সংজ্ঞাতেই আদি ও শেষ বিন্দু এক হওয়ার শর্ত নেই।
   
   নাল ভেক্টরের ধর্মগুলো একসাথে মনে রাখলে অনেক প্রশ্ন সহজ হয়ে যায়। এর মান শূন্য, দিক নির্দিষ্ট নয়, যেকোনো ভেক্টরের সাথে যোগ করলে ঐ ভেক্টর অপরিবর্তিত থাকে, আর যেকোনো ভেক্টর থেকে সেই একই ভেক্টর বিয়োগ করলে নাল ভেক্টর পাওয়া যায়। বৃত্তাকার পথে এক পাক ঘুরে শুরুর জায়গায় ফিরে আসা বস্তুর সরণ নাল ভেক্টরের সবচেয়ে চেনা উদাহরণ।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

5. ৫

   ভেক্টর তপন স্যার

   দুটি ভেক্টর A ও B পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করছে। ভেক্টরদ্বয় হবে-
   (i) সমরেখ ভেক্টর
   (ii) সমতলীয় ভেক্টর
   (iii) পরস্পর বিপরীত ভেক্টর
   নিচের কোনটি সঠিক?

   • ক i
   • খ i ও ii
   • গ i ও iii
   • ঘ i, ii ও iii
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) i ও ii

   দুটি ভেক্টর সমান্তরালে ক্রিয়া করছে মানে এরা একই সরলরেখা বা পরস্পর সমান্তরাল রেখা বরাবর আছে, ফলে এরা সমরেখ ভেক্টর। আবার যেকোনো দুটি ভেক্টর দিয়ে সবসময়ই একটি সমতল নির্ধারণ করা যায়, তাই এরা সমতলীয়ও বটে। কিন্তু সমান্তরাল বলতে একই দিক বোঝায়, বিপরীত দিক নয়, তাই তৃতীয় বক্তব্যটি খাটে না এবং উত্তর i ও ii।
   
   এখানে মনে রাখার মতো কথা হলো, দুটি ভেক্টর সর্বদাই সমতলীয়। সমতলীয় না হওয়ার প্রশ্ন ওঠে তিন বা ততোধিক ভেক্টরের ক্ষেত্রে। আবার একই সরলরেখা বরাবর থাকা ভেক্টরগুলোর মধ্যে যেগুলোর দিক এক তাদের বলা হয় সদৃশ ভেক্টর আর যেগুলোর দিক উল্টো তাদের বলা হয় বিসদৃশ ভেক্টর; দুই ধরনের ভেক্টরই কিন্তু সমরেখ।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

6. ৬

   ভেক্টর তপন স্যার

   A=-2B হলে A ও B ভেক্টরদ্বয়-
   (i) সদৃশ
   (ii) বিসদৃশ
   (iii) সমরেখ
   নিচের কোনটি সঠিক?

   • ক i ও ii
   • খ i ও iii
   • গ ii ও iii
   • ঘ i, ii ও iii
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) ii ও iii

   A = −2B সম্পর্কটিতে ঋণাত্মক চিহ্নই দিকের কথা বলে দেয়। ঋণাত্মক হওয়ায় A এর দিক B এর ঠিক উল্টো, সেই কারণে এরা বিসদৃশ ভেক্টর। আবার একটি ভেক্টর অন্যটির সংখ্যাগুণিতক হওয়ায় এরা একই সরলরেখা বরাবর, অর্থাৎ সমরেখও। দিক উল্টো বলে এরা সদৃশ হতে পারে না, তাই উত্তর ii ও iii।
   
   সংখ্যা ২ কেবল মানের কথা বলছে, এটি জানাচ্ছে A এর মান B এর দ্বিগুণ; দিক নির্ধারণে সংখ্যার কোনো ভূমিকা নেই। সাধারণভাবে A = kB আকারের সম্পর্ক থাকলে ভেক্টর দুটি সবসময় সমরেখ হবে; k ধনাত্মক হলে সদৃশ আর ঋণাত্মক হলে বিসদৃশ।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

7. ৭

   ভেক্টর ইসহাক স্যার · তপন স্যার

   A ও A-এর বিপরীত ভেক্টরের লব্ধির মান—

   • ক 0
   • খ 1
   • গ A
   • ঘ 2A
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) 0

   A-এর বিপরীত ভেক্টর −A (মান সমান, দিক বিপরীত)।
   ∴ লব্ধি A + (−A) = 0, মান 0।
   দুটি সমান মানের বিপরীতমুখী ভেক্টরের লব্ধি শূন্য ভেক্টর; শূন্য ভেক্টরের মান শূন্য এবং দিক অনির্দিষ্ট।
   একই দিকে হলে লব্ধি 2A হতো।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

8. ৮

   ভেক্টর তপন স্যার

   A=5i হলে এর বিপ্রতীপ ভেক্টর নিচের কোনটি?

   • ক -5 i
   • খ 15i
   • গ 51i
   • ঘ 15i
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) 15i

   বিপ্রতীপ ভেক্টর এমন একটি ভেক্টর যার দিক মূল ভেক্টরের দিকেই থাকে কিন্তু মান হয় মূল মানের বিপরীত, অর্থাৎ A⁻¹ = AA। এখানে A = 5i, তাই এর মান ৫ এবং দিক i বরাবর। ফলে বিপ্রতীপ ভেক্টরের মান হবে 15 এবং দিক থাকবে i বরাবরই, অর্থাৎ 15i। উত্তর খ।
   
   এখানে বিপ্রতীপ ও বিপরীত ভেক্টর গুলিয়ে ফেলার সুযোগ আছে। অপশন ক-তে দেওয়া −5i আসলে বিপরীত ভেক্টর, বিপ্রতীপ নয়। বিপরীত ভেক্টরে দিক উল্টায় কিন্তু মান একই থাকে, আর বিপ্রতীপ ভেক্টরে দিক একই থাকে কিন্তু মান উল্টে যায়। উত্তর ঠিক হয়েছে কিনা যাচাই করার সহজ উপায় হলো মূল ভেক্টর ও তার বিপ্রতীপের মানের গুণফল দেখা, এই গুণফল সবসময় ১ হবে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

9. ৯

   ভেক্টর তপন স্যার

   একটি বস্তু নির্দিষ্ট দিকে যে দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে কী বলে?

   • ক অবস্থান ভেক্টর
   • খ সরণ ভেক্টর
   • গ একক ভেক্টর
   • ঘ নাল ভেক্টর
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) সরণ ভেক্টর

   নির্দিষ্ট দিকে অতিক্রান্ত দূরত্ব বলতে দিকসহ অবস্থানের পরিবর্তন বোঝায়, আর এটাই সরণের সংজ্ঞা। সরণ একটি ভেক্টর রাশি, তাই উত্তর সরণ ভেক্টর।
   
   দূরত্ব ও সরণের পার্থক্যটাই এখানে মূল কথা। বস্তু যে পুরো পথ পাড়ি দেয় তার দৈর্ঘ্যই দূরত্ব, এতে দিকের প্রশ্ন আসে না, তাই এটি স্কেলার। আর শুরু ও শেষ বিন্দুর মধ্যেকার সরলরৈখিক ব্যবধান দিকসহ ধরলে পাওয়া যায় সরণ। এ কারণেই সরণের মান কখনো দূরত্বের চেয়ে বেশি হতে পারে না, সোজা পথে চললে দুটি সমান হয়।
   
   অবস্থান ভেক্টর আবার আলাদা জিনিস, এটি মূলবিন্দু থেকে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করে, অতিক্রান্ত দূরত্ব বোঝায় না। কোনো বস্তুর অবস্থান ভেক্টর যদি প্রথমে r₁ ও পরে r₂ হয়, তাহলে সরণ হবে r₂ − r₁। অর্থাৎ সরণ আসলে অবস্থান ভেক্টরের পরিবর্তন।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

10. ১০

    ভেক্টর তপন স্যার

    কোনটি সঠিক ভেক্টর নয়?

    • ক একক ভেক্টর
    • খ নাল ভেক্টর
    • গ ঋণ ভেক্টর
    • ঘ অবস্থান ভেক্টর
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) নাল ভেক্টর

    যে ভেক্টরের মান ও দিক দুটোই সুনির্দিষ্ট, তাকেই সঠিক ভেক্টর বলা হয়। নাল ভেক্টরের মান শূন্য এবং দিক অনির্দিষ্ট, তাই এটি সঠিক ভেক্টর নয়, একে বলা হয় অসঠিক ভেক্টর। উত্তর খ।
    
    একক ভেক্টরের মান ১ ও দিক নির্দিষ্ট, ঋণ ভেক্টরের মান মূল ভেক্টরের সমান ও দিক ঠিক উল্টো, আর অবস্থান ভেক্টর মূলবিন্দু থেকে নির্দিষ্ট বিন্দুর দিকে নির্দেশ করে; তিনটিরই মান ও দিক সুনির্দিষ্ট বলে তিনটিই সঠিক ভেক্টর। লক্ষ করার বিষয়, সঠিক ভেক্টর নয় কোনটি এবং কোন ভেক্টরের দিক নির্দিষ্ট নয়, দুই প্রশ্নের উত্তরই একই, নাল ভেক্টর।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

11. ১১

    ভেক্টর তপন স্যার

    সমান ভেক্টরের বৈশিষ্ট্য –
    i. সমজাতীয় রাশি
    ii. মান সমান
    iii. দিক একই
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i ও ii
    • খ i ও iii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

    দুটি ভেক্টর সমান হতে হলে তিনটি শর্তই একসাথে পূরণ হতে হয়। প্রথমত এদের সমজাতীয় রাশি হতে হবে, দ্বিতীয়ত মান সমান হতে হবে এবং তৃতীয়ত দিক একই হতে হবে। তিনটি বক্তব্যই সঠিক, তাই উত্তর i, ii ও iii।
    
    সমজাতীয় হওয়ার শর্তটি সহজেই চোখ এড়িয়ে যায়। ৫ N বল আর ৫ m/s বেগের মান সমান, দিকও এক হতে পারে, কিন্তু রাশি দুটি ভিন্ন জাতের বলে এরা কখনোই সমান ভেক্টর নয়; একই কারণে ভিন্ন জাতের ভেক্টর যোগও করা যায় না।
    
    আরেকটি বিষয় হলো, সমান ভেক্টরের পাদবিন্দু এক হওয়ার প্রয়োজন নেই। সমতলের যেকোনো জায়গায় থাকলেও মান ও দিক মিললে ভেক্টর দুটি সমান। এ কারণেই ভেক্টর যোগ করার সময় ভেক্টরকে সমান্তরালে সরিয়ে নিয়ে ত্রিভুজ বা সামান্তরিক আঁকা যায়, তাতে ভেক্টরটি বদলে যায় না।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

12. ১২

    ভেক্টর তপন স্যার

    কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু যদি ইচ্ছেমতো স্থানান্তর করতে না দেওয়া হয়, তাহলে সেই ভেক্টর হচ্ছে-

    • ক স্বাধীন ভেক্টর
    • খ বিপরীত ভেক্টর
    • গ সীমাবদ্ধ ভেক্টর
    • ঘ সমরেখ ভেক্টর
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) সীমাবদ্ধ ভেক্টর

    কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু ইচ্ছেমতো সরানো যায় না মানে ভেক্টরটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে বাঁধা আছে। এমন ভেক্টরকে বলা হয় সীমাবদ্ধ ভেক্টর, তাই উত্তর গ।
    
    এর বিপরীত ধারণাটি হলো স্বাধীন ভেক্টর, যার পাদবিন্দু নির্দিষ্ট নয় এবং মান ও দিক ঠিক রেখে যাকে সমান্তরালে যেকোনো জায়গায় সরিয়ে নেওয়া যায়। দৃঢ় বস্তুর কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে প্রযুক্ত বল সীমাবদ্ধ ভেক্টরের ভালো উদাহরণ, কারণ বলটি বস্তুর কোথায় প্রয়োগ করা হচ্ছে তার উপর টর্ক নির্ভর করে, ফলে প্রয়োগবিন্দু বদলানো যায় না। অন্যদিকে সরণ ভেক্টরকে স্বাধীন ভেক্টর হিসেবে ধরা যায়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

13. ১৩

    ভেক্টর তপন স্যার

    A=5j এবং B ভেক্টর A ভেক্টরের বিপ্রতীপ হলে-

    • ক B=15i
    • খ B=15j
    • গ B=5j
    • ঘ B=5 i
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) B=15j

    A = 5j, অর্থাৎ এর মান ৫ এবং দিক j বরাবর। বিপ্রতীপ ভেক্টরে দিক একই থাকে, কেবল মান উল্টে যায়। তাই B = 15j। উত্তর খ।
    
    অপশনগুলো ধরে ধরে দেখলে বোঝা যায় কোথায় ভুল। ক-তে j এর জায়গায় i বসানো হয়েছে, ফলে দিক বদলে গেছে। গ-তে মান ৫-ই রয়ে গেছে, উল্টায়নি। ঘ-তে দিক ও মান দুটোই ভুল। কেবল খ-ই দুটি শর্ত মানছে। সংক্ষেপে, বিপ্রতীপ ভেক্টরে দিক একই ও মান উল্টো, আর বিপরীত ভেক্টরে মান একই ও দিক উল্টো।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

14. ১৪

    ভেক্টর তপন স্যার

    দুটি সমান ভেক্টরের লব্ধি নাল ভেক্টর হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

    • ক 90°
    • খ 180°
    • গ 0°
    • ঘ 270°
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 180°

    লব্ধি নাল ভেক্টর হওয়া মানে ভেক্টর দুটি একে অপরকে সম্পূর্ণভাবে নাকচ করে দিচ্ছে। সমান মানের দুটি ভেক্টরের ক্ষেত্রে এটি সম্ভব কেবল তখনই যখন এরা পরস্পর বিপরীতমুখী, অর্থাৎ মধ্যবর্তী কোণ ১৮০°। উত্তর খ।
    
    হিসাব করেও একই ফল মেলে। R² = A² + A² + 2A²cosθ = 0 থেকে 2A²(1 + cosθ) = 0, ফলে cosθ = −১ এবং θ = 180°। বাকি কোণগুলোতে লব্ধি শূন্য হয় না; ০° এ লব্ধি সর্বোচ্চ 2A আর ৯০° এ A2। ভেক্টর যোগে মধ্যবর্তী কোণ সবসময় ০° থেকে ১৮০° এর মধ্যে ধরা হয়, তাই ২৭০° কখনো উত্তর হয় না।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

15. ১৫

    ভেক্টর তপন স্যার

    কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে তাকে কী বলে?

    • ক সমরেখ ভেক্টর
    • খ স্বাধীন ভেক্টর
    • গ নাল ভেক্টর
    • ঘ সীমাবদ্ধ ভেক্টর
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) সীমাবদ্ধ ভেক্টর

    পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা থাকলে ভেক্টরটি ঐ বিন্দুতেই আবদ্ধ থাকে, একে বলা হয় সীমাবদ্ধ ভেক্টর। উত্তর ঘ।
    
    একই ধারণা প্রশ্নে নানাভাবে আসে। পাদবিন্দু সরাতে দেওয়া হয় না কিংবা পাদবিন্দু নির্দিষ্ট করা আছে বললে বোঝাতে হবে সীমাবদ্ধ ভেক্টর, আর পাদবিন্দু সুনির্দিষ্ট নয় বললে বোঝাতে হবে স্বাধীন ভেক্টর। প্রশ্নের ভাষা বদলালেও ধারণাটি একটাই, তাই পাদবিন্দুর কথা এলে প্রথমে দেখতে হবে সেটি বাঁধা আছে না মুক্ত আছে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

16. ১৬

    ভেক্টর তপন স্যার

    পাদবিন্দু সুনির্দিষ্ট নয় এমন ভেক্টরকে কী বলে?

    • ক সীমাবদ্ধ ভেক্টর
    • খ স্বাধীন ভেক্টর
    • গ সমরেখ ভেক্টর
    • ঘ নাল ভেক্টর
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) স্বাধীন ভেক্টর

    পাদবিন্দু কোথায় হবে তা নির্দিষ্ট না থাকলে ভেক্টরটিকে মান ও দিক অপরিবর্তিত রেখে সমান্তরালে যেকোনো জায়গায় সরানো যায়। এমন ভেক্টরকে বলা হয় স্বাধীন ভেক্টর, তাই উত্তর খ।
    
    সীমাবদ্ধ ভেক্টর এর ঠিক বিপরীত ধারণা, সেখানে পাদবিন্দু বাঁধা থাকে। সমরেখ ভেক্টর একই সরলরেখা বরাবর থাকার প্রশ্ন আর নাল ভেক্টর মান শূন্য হওয়ার প্রশ্ন, পাদবিন্দুর সাথে এদের সরাসরি সম্পর্ক নেই। ভেক্টর যোগ করার সময় ত্রিভুজ বা সামান্তরিক আঁকতে গেলে ভেক্টরকে সমান্তরালে সরাতে হয়, সেখানে ভেক্টরগুলোকে স্বাধীন ধরেই কাজ করা হয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

17. ১৭

    ভেক্টর তপন স্যার

    দুটি ভেক্টর একই দিকে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান হবে-

    • ক সর্বাধিক
    • খ সর্বনিম্ন
    • গ শূন্য
    • ঘ কোনোটিই নয়
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) সর্বাধিক

    দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান R = P² + Q² + 2PQ cosθ। এখানে P ও Q স্থির থাকলে R কেবল θ এর উপর নির্ভর করে, আর cosθ যত বড় হবে R তত বড় হবে। cosθ এর সর্বোচ্চ মান ১, যা পাওয়া যায় θ = 0° এ, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি একই দিকে থাকলে। তখন R = P + Q, যা সর্বাধিক। উত্তর সর্বাধিক।
    
    একইভাবে θ = 180° এ cosθ = −১ হয় এবং তখন R = |P − Q|, যা সর্বনিম্ন। ভেক্টর দুটি সমান হলে এই সর্বনিম্ন মান শূন্য হয়ে যায়। লব্ধির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান দেওয়া থাকলে P + Q এবং P − Q এর দুটি সমীকরণ পাওয়া যায়, সেগুলো সমাধান করে ভেক্টর দুটির মান বের করা যায়; এ ধরনের প্রশ্ন ভর্তি পরীক্ষায় প্রায়ই আসে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

18. ১৮

    ভেক্টর তপন স্যার

    দুটি বলের লব্ধির সর্বোচ্চ মান 28N এবং সর্বনিম্ন মান 4N। বল দুটি পরস্পরের সাথে 90° কোণে কোনো একটি কণার ওপর ক্রিয়া করলে লব্ধি বল হবে-

    • ক 400N
    • খ 32N
    • গ 28.8N
    • ঘ 20N
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) 20N

    সর্বোচ্চ লব্ধি পাওয়া যায় ০° কোণে, তাই P + Q = 28। সর্বনিম্ন লব্ধি পাওয়া যায় ১৮০° কোণে, তাই P − Q = 4। সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই 2P = 32, অর্থাৎ P = 16 N এবং Q = 12 N।
    
    এবার ৯০° কোণে লব্ধি বের করতে হবে। লম্ব হওয়ায় R = P² + Q² = 16² + 12² = 400 = 20 N। উত্তর ২০ N।
    
    অপশনে ৪০০ রাখা হয়েছে যাতে বর্গমূল নিতে ভুলে গেলে সেটাই বেছে নেওয়া হয়, আর ৩২ হলো মাঝপথে পাওয়া 2P এর মান। এ ধরনের প্রশ্নে ৩, ৪, ৫ এর গুণিতক ত্রিভুজগুলো চিনে রাখলে হিসাব দ্রুত হয়; এখানে ১২, ১৬ ও ২০ আসলে ৩, ৪, ৫ এর চার গুণ।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

19. ১৯

    ভেক্টর তপন স্যার

    ভেক্টর A, B ও C এর মান যথাক্রমে 12, 5 এবং 13 এবং A+B=C । ভেক্টর A ও B এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

    • ক π
    • খ π2
    • গ শূন্য
    • ঘ π4
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) π2

    এখানে A, B ও C এর মান যথাক্রমে ১২, ৫ ও ১৩ এবং A + B = C। লক্ষ করলে দেখা যায় 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13², অর্থাৎ পিথাগোরাসের সম্পর্ক মিলে যাচ্ছে। এর অর্থ ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব, কোণ ৯০° বা π2। উত্তর π2।
    
    সূত্র দিয়েও যাচাই করা যায়। C² = A² + B² + 2AB cosθ থেকে 169 = 144 + 25 + 120 cosθ, ফলে cosθ = 0 এবং θ = 90°। কোণ শূন্য হলে C হতো ১৭ আর কোণ π হলে C হতো ৭, দুটির কোনোটিই ১৩ নয়। তিনটি ভেক্টরের মান দিয়ে এভাবে কোণ বের করার পদ্ধতিটি অনেক প্রশ্নেই কাজে লাগে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

20. ২০

    ভেক্টর তপন স্যার

    5N এবং 10N মানের দুটি বল একটি কণার ওপর প্রযুক্ত হলে নিম্নের কোন বলটি কণাটির ওপর লব্ধি হতে পারে না?

    • ক 5N
    • খ 10N
    • গ 15N
    • ঘ 20N
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) 20N

    দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান সর্বনিম্ন |10 − 5| = 5 N এবং সর্বোচ্চ 10 + 5 = 15 N হতে পারে। অর্থাৎ লব্ধি অবশ্যই ৫ N থেকে ১৫ N এর মধ্যে থাকবে। ২০ N এই সীমার বাইরে, তাই এটি লব্ধি হতে পারে না। উত্তর ২০ N।
    
    ৫ N পাওয়া যাবে ১৮০° কোণে, ১৫ N পাওয়া যাবে ০° কোণে আর ১০ N পাওয়া যাবে মাঝামাঝি কোনো কোণে, তাই বাকি তিনটি সম্ভব। সাধারণভাবে |P − Q| ≤ R ≤ P + Q, একে বলা হয় ত্রিভুজ অসমতা। তিনটি ভেক্টর দিয়ে বদ্ধ ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব কিনা সেই প্রশ্নেও একই শর্ত খাটে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

অন্যান্য অধ্যায়

সব অধ্যায় দেখো →