ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান

HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।

1. ৪১

   ভেক্টর তপন স্যার

   একটি ভেক্টর A, 30° কোণে ধনাত্মক X-অক্ষের দিকে ক্রিয়ারত। অপর একটি ভেক্টর B ঋণাত্মক Y-অক্ষের দিকে ক্রিয়ারত। |A|=4, |B|=8 হলে, লব্ধির ভেক্টর কোনটি?

   • ক 23 i+6 j
   • খ 7 i+3 j
   • গ 23 i-6j
   • ঘ None
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 23 i-6j

   A ভেক্টরটি ধনাত্মক X-অক্ষের সাথে ৩০° কোণে আছে, তাই এর উপাংশ 4cos30° = 23 এবং 4sin30° = 2, অর্থাৎ A = 23i + 2j। আর B ঋণাত্মক Y-অক্ষ বরাবর, তাই B = −8j।
   
   এখন উপাংশ ধরে ধরে যোগ করলে R = A + B = 23i + (2 − 8)j = 23i − 6j। উত্তর গ।
   
   উপাংশ পদ্ধতিতে ভেক্টর যোগ করার সবচেয়ে বড়ো সুবিধা হলো কোণ নিয়ে আলাদা হিসাব করতে হয় না; কেবল i বরাবর অংশগুলো নিজেদের মধ্যে আর j বরাবর অংশগুলো নিজেদের মধ্যে যোগ করলেই চলে। এখানে চিহ্নের দিকে নজর দেওয়া জরুরি, ঋণাত্মক অক্ষ বরাবর ভেক্টর হলে ঐ উপাংশের সামনে ঋণচিহ্ন বসবে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

2. ৪২

   ভেক্টর ইসহাক স্যার · তপন স্যার

   X-অক্ষ বরাবর থেকে 30° একটি ভেক্টর |A| = 2, Y-অক্ষ বরাবর হতে |B| = 3 তবে |A − B| =?

   • ক 2.628
   • খ 2.646
   • গ 3.6148
   • ঘ 1.5168
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) 2.646

   এখানে, A = 2, B = 3, A X-অক্ষের সাথে 30° এবং B Y-অক্ষ বরাবর, তাই মধ্যবর্তী কোণ α = 90° − 30° = 60°
   আমরা জানি, |A − B| = A² + B² − 2AB cosα
   ∴ |A − B| = 4 + 9 − 2 × 2 × 3 × cos60° = 13 − 6 = 7 ≈ 2.646

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

3. ৪৩

   ভেক্টর তপন স্যার

   4 km/h বেগে প্রবহমান স্রোতযুক্ত নদীতে কত কোণে নৌকা চালালে 5km/h বেগে নৌকা চালাতে সক্ষম একজন মাঝি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছাতে পারবে?

   • ক 120°
   • খ 90°
   • গ 136.37°
   • ঘ 143.1301°
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) 143.1301°

   ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছাতে হলে স্রোতের দিক বরাবর লব্ধি বেগ শূন্য হতে হবে। স্রোতের বেগ u = 4 এবং নৌকার বেগ v = 5 ধরলে শর্তটি দাঁড়ায় u + v cosθ = 0, অর্থাৎ cosθ = −45 = −0.8, ফলে θ = 143.13°। উত্তর ১৪৩.১৩০১°।
   
   কোণটি স্রোতের দিক থেকে মাপা হয়েছে, তাই ১৪৩.১৩° মানে নৌকাকে স্রোতের উজানে হেলিয়ে চালাতে হবে। নদীর তীরের সাথে লম্ব বরাবর ধরলে এই কোণ হতো 143.13° − 90° = 53.13°, অর্থাৎ উজানের দিকে ৫৩.১৩°। প্রশ্নে কোণটি কোথা থেকে মাপা হয়েছে তা না দেখলে এখানেই ভুল হয়ে যায়।
   
   লক্ষ করার বিষয়, নৌকার বেগ স্রোতের বেগের চেয়ে বড়ো হলেই কেবল সোজাসুজি পার হওয়া সম্ভব; ছোটো হলে cosθ এর মান ১ ছাড়িয়ে যেত, যা অসম্ভব। এখানে ৩, ৪, ৫ ত্রিভুজ কাজ করছে, তাই অতিক্রম করার প্রকৃত বেগ 5² − 4² = 3 km/h।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

4. ৪৪

   ভেক্টর তপন স্যার

   স্রোতযুক্ত নদীতে সর্বনিম্ন সময়ে ওপারে যেতে একজন সাঁতারুকে স্রোতের সাথে কত কোণে যাত্রা শুরু করতে হবে?

   • ক 45°
   • খ 60°
   • গ 90°
   • ঘ 120°
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 90°

   সর্বনিম্ন সময়ে পার হতে হলে নদীর প্রস্থ বরাবর বেগ যত বেশি সম্ভব হতে হবে। সাঁতারু যদি স্রোতের সাথে ৯০° কোণে অর্থাৎ তীরের সাথে লম্বভাবে সাঁতার কাটে, তাহলে তার পুরো বেগটাই প্রস্থ বরাবর কাজে লাগে এবং সময় সবচেয়ে কম হয়। উত্তর ৯০°।
   
   এ ক্ষেত্রে স্রোত সাঁতারুকে ভাটির দিকে ভাসিয়ে নিয়ে যায়, তাই তিনি ঠিক সামনের বিন্দুতে না পৌঁছে কিছুটা নিচে গিয়ে ওঠেন; কিন্তু প্রশ্নে সময় সর্বনিম্ন চাওয়া হয়েছে, দূরত্ব নয়। এখানে সময় t = dv, যেখানে d নদীর প্রস্থ ও v সাঁতারুর বেগ।
   
   এর বিপরীত ক্ষেত্রটিও আলাদা করে মনে রাখতে হয়। সর্বনিম্ন পথে বা সোজাসুজি পার হতে হলে স্রোতের উজানে হেলে সাঁতার কাটতে হয় এবং তখন কোণ হয় cosθ = −uv দিয়ে নির্ধারিত। সময় সর্বনিম্ন মানে ৯০°, আর পথ সর্বনিম্ন মানে ৯০° এর চেয়ে বড়ো কোণ, এই পার্থক্যটাই প্রশ্নের মূল বিষয়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

5. ৪৫

   ভেক্টর তপন স্যার

   নিচের কোনটি ভেক্টরের বণ্টন সূত্র?

   • ক P+Q=Q+P
   • খ (P+Q)+R=P+(Q+R)
   • গ m(P+Q)=mP+mQ
   • ঘ P-Q=P+(-Q)
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) m(P+Q)=mP+mQ

   বণ্টন সূত্র বলতে বোঝায় কোনো স্কেলার দিয়ে গুণ করার সময় গুণটি প্রতিটি পদের উপর আলাদা করে বসে, অর্থাৎ m(P + Q) = mP + mQ। উত্তর গ।
   
   বাকি অপশনগুলো অন্য সূত্র প্রকাশ করছে। ক হলো বিনিময় সূত্র, যেখানে পদের অবস্থান বদলানো হয়েছে। খ হলো সংযোগ সূত্র, যেখানে বন্ধনীর অবস্থান বদলানো হয়েছে। আর ঘ হলো ভেক্টর বিয়োগের সংজ্ঞা, কোনো সূত্র নয়।
   
   বণ্টন সূত্র ডট ও ক্রস গুণনের ক্ষেত্রেও খাটে, যেমন A·(B + C) = A·B + A·C। কিন্তু কেবল ভেক্টর যোগের ক্ষেত্রে বণ্টন সূত্রের প্রশ্নই আসে না, কারণ সেখানে গুণ নেই। প্রশ্নে যোগ না গুণ কোনটির কথা বলা হয়েছে সেটি আগে দেখে নিতে হয়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

6. ৪৬

   ভেক্টর তপন স্যার

   এক বিন্দুতে ক্রিয়াশীল P ও P এর ঋণ ভেক্টরের লব্ধির মান কত?

   • ক 0
   • খ 1
   • গ 2 P
   • ঘ 2 P
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) 0

   P এর ঋণ ভেক্টর হলো −P, যার মান সমান কিন্তু দিক ঠিক উল্টো। এদের যোগ করলে P + (−P) = 0, অর্থাৎ লব্ধি নাল ভেক্টর এবং এর মান শূন্য। উত্তর ০।
   
   অপশনে 2P রাখা হয়েছে কারণ ভেক্টর দুটি একই দিকে থাকলে ঐ মানটিই পাওয়া যেত, আর 2P আসত ৯০° কোণে। কিন্তু ঋণ ভেক্টরের কথা বলা হয়েছে বলে কোণ অবশ্যই ১৮০°, তাই লব্ধি শূন্য। এখান থেকেই বোঝা যায় কোনো বস্তুর উপর সমান ও বিপরীতমুখী দুটি বল কাজ করলে বস্তুটি সাম্যাবস্থায় থাকে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

7. ৪৭

   ভেক্টর তপন স্যার

   একটি ভেক্টর X-অক্ষের সাথে 30° কোণে ক্রিয়াশীল। Y-অক্ষ বরাবর উপাংশের মান 3 একক হলে X-অক্ষ বরাবর উপাংশের মান কত?

   • ক 3 একক
   • খ 3 একক
   • গ 33 একক
   • ঘ 6 একক
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 33 একক

   Y-অক্ষ বরাবর উপাংশ A sin30° = 3, তাই A × 12 = 3 এবং A = 6 একক। এবার X-অক্ষ বরাবর উপাংশ A cos30° = 6 × 32 = 33 একক। উত্তর 33 একক।
   
   উপাংশ দুটির অনুপাত থেকেও একই উত্তরে পৌঁছানো যায়, কারণ A_xA_y = cot30° = 3, তাই A_x = 3 × 3 = 33। কোণ ৩০° হলে অনুভূমিক উপাংশ সবসময় উল্লম্ব উপাংশের 3 গুণ হয়; ৬০° হলে ঠিক উল্টোটা ঘটে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

8. ৪৮

   ভেক্টর তপন স্যার

   সর্বনিম্ন কত সময়ে সাঁতারু নদী পাড়ি দিয়ে অপর পাড়ে পৌঁছাতে পারবে?

   • ক 89.44s
   • খ 100s
   • গ 115.47s
   • ঘ 200s
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) 100s

   সর্বনিম্ন সময়ে পার হতে হলে সাঁতারুকে তীরের সাথে লম্বভাবে অর্থাৎ স্রোতের সাথে ৯০° কোণে সাঁতার কাটতে হবে, তখন তার পুরো বেগটাই প্রস্থ বরাবর কাজে লাগে। সময় t = dv = 1200 m12 ms⁻¹ = 100 s। উত্তর ১০০ s।
   
   এখানে স্রোতের বেগ ৬ ms⁻¹ হিসাবের মধ্যে আসেনি, কারণ স্রোত সাঁতারুকে কেবল ভাটির দিকে সরিয়ে দেয়, প্রস্থ বরাবর এগোতে সাহায্য বা বাধা কোনোটাই করে না। এই ১০০ সেকেন্ডে স্রোত সাঁতারুকে ৬ × ১০০ = ৬০০ m ভাটিতে নিয়ে যাবে, ফলে তিনি সোজাসুজি বিন্দুর ৬০০ m নিচে গিয়ে উঠবেন।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

9. ৪৯

   ভেক্টর তপন স্যার

   সর্বনিম্ন পথে পাড়ি দিতে স্রোতের সাথে কত কোণে সাঁতার কাটতে হবে?

   • ক 60°
   • খ 90°
   • গ 120°
   • ঘ 150°
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 120°

   সর্বনিম্ন পথে পাড়ি দেওয়া মানে সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছানো, অর্থাৎ স্রোতের দিক বরাবর লব্ধি বেগ শূন্য হতে হবে। শর্ত u + v cosθ = 0 থেকে cosθ = −612 = −12, ফলে θ = 120°। উত্তর ১২০°।
   
   অর্থাৎ সাঁতারুকে স্রোতের উজানে হেলে সাঁতার কাটতে হবে। এই অবস্থায় প্রস্থ বরাবর প্রকৃত বেগ হয় v sin(180° − 120°) = 12 × 32 ≈ 10.39 ms⁻¹, তাই সময় লাগে প্রায় ১১৫.৪৭ সেকেন্ড, যা সর্বনিম্ন সময়ের চেয়ে বেশি।
   
   এখানেই সর্বনিম্ন সময় ও সর্বনিম্ন পথের পার্থক্য পরিষ্কার হয়। সর্বনিম্ন সময় চাইলে ৯০° কোণে সাঁতার কাটতে হয় কিন্তু ভাটিতে সরে যেতে হয়; সর্বনিম্ন পথ চাইলে উজানে হেলতে হয় কিন্তু বেশি সময় লাগে। দুটি একসাথে পাওয়া সম্ভব নয়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

10. ৫০

    ভেক্টর তপন স্যার

    40kg ভরের বস্তুকে উল্লম্বের সাথে ৪৫° কোণে দুটি সুতো দিয়ে ঝুলিয়ে রাখলে সুতার টান কত হবে?

    • ক 277.186 N
    • খ 288.576 N
    • গ 196 N
    • ঘ 554.372 N
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) 277.186 N

    বস্তুটির ওজন W = mg = 40 × 9.8 = 392 N। দুটি সুতো উল্লম্বের সাথে ৪৫° কোণে থাকায় প্রতিটির টানের উল্লম্ব উপাংশ T cos45°, আর দুটি মিলে ওজনকে ধরে রাখছে। তাই 2T cos45° = 392।
    
    সমাধান করে T = 3922 cos45° = 3922 ≈ 277.186 N। উত্তর ২৭৭.১৮৬ N।
    
    অপশনে ১৯৬ N রাখা হয়েছে, যা mg2 এর মান; সুতো দুটি উল্লম্ব বরাবর থাকলে ঐ উত্তরই হতো। আর ৫৫৪.৩৭২ N হলো 2T এর মান, অর্থাৎ দুই সুতোর টানের যোগফল। প্রশ্নে প্রতিটি সুতোর টান চাওয়া হয়েছে, তাই ঐ দুটি বাদ যায়। সাধারণভাবে T = mg2 cosθ, এখান থেকে বোঝা যায় সুতো দুটি যত বেশি ফাঁক করে বাঁধা হবে θ তত বড়ো হবে এবং টানও তত বাড়বে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

11. ৫১

    ভেক্টর তপন স্যার

    P=i-j-k হলে, P এর মান কত?

    • ক 3
    • খ 3
    • গ 1
    • ঘ -1
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 3

    P = i − j − k ভেক্টরের তিনটি উপাংশ ১, −১ ও −১। মান বের করতে হয় উপাংশগুলোর বর্গের যোগফলের বর্গমূল নিয়ে, তাই |P| = 1² + (−1)² + (−1)² = 3। উত্তর 3।
    
    ঋণচিহ্ন কেবল দিক বোঝায়, বর্গ করার পর তা মুছে যায়; তাই মান বের করার সময় চিহ্ন নিয়ে দুশ্চিন্তার কিছু নেই। অপশনে ৩ রাখা হয়েছে যাতে বর্গমূল নিতে ভুলে গেলে সেটাই বেছে নেওয়া হয়, আর −১ রাখা হয়েছে যাতে মনে হয় মান ঋণাত্মক হতে পারে; কোনো ভেক্টরের মান কখনো ঋণাত্মক হয় না।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

12. ৫২

    ভেক্টর তপন স্যার

    A=3i+2j+6k ভেক্টর রাশিটির মান কত?

    • ক 9
    • খ 7
    • গ 49
    • ঘ 7
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 7

    |A| = 3² + 2² + 6² = 9 + 4 + 36 = 49 = 7। উত্তর ৭।
    
    অপশনে ৪৯ রাখা হয়েছে, যা বর্গমূল নেওয়ার আগের ধাপ; আর 7 রাখা হয়েছে যাতে যোগ করতে ভুল হলে সেটাই মনে হয়। ৩, ২, ৬ উপাংশ থেকে মান ৭ পাওয়া যায়, এই ত্রিপুটিটি পরীক্ষায় বারবার আসে, ঠিক যেমন ১, ২, ২ থেকে ৩ এবং ২, ৩, ৬ থেকে ৭ পাওয়া যায়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

13. ৫৩

    ভেক্টর তপন স্যার

    সমতলে 3i+5j+4k ভেক্টরের দৈর্ঘ্য কত একক?

    • ক 5
    • খ 34
    • গ 41
    • ঘ 12
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) 5

    XZ সমতলে কোনো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বলতে ঐ সমতলের উপর ভেক্টরটির অভিক্ষেপ বোঝায়। XZ সমতলে Y-উপাংশ থাকে না, তাই 5j বাদ দিয়ে কেবল 3i ও 4k অংশ নিতে হবে। দৈর্ঘ্য = 3² + 4² = 25 = 5 একক। উত্তর ৫।
    
    কোন সমতলে অভিক্ষেপ চাওয়া হয়েছে সেটি দেখেই বোঝা যায় কোন উপাংশটি বাদ যাবে; XY সমতলে k বাদ, YZ সমতলে i বাদ আর XZ সমতলে j বাদ। পুরো ভেক্টরের মান এখানে 50, কিন্তু অভিক্ষেপ সবসময় মূল মানের চেয়ে ছোটো হয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

14. ৫৪

    ভেক্টর তপন স্যার

    সমতলে 5i+3j+4k ভেক্টরের দৈর্ঘ্য কত একক?

    • ক 25
    • খ 34
    • গ 41
    • ঘ 50
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) 25

    YZ সমতলে অভিক্ষেপ নিতে হলে X-উপাংশ বাদ যাবে, অর্থাৎ 5i বাদ দিয়ে 3j ও 4k অংশ থাকবে। দৈর্ঘ্য = 3² + 4² = 25 = 5 একক। উত্তর 25।
    
    আগের প্রশ্নের সাথে মিলিয়ে দেখলে ধারণাটি পাকা হয়ে যায়; সেখানে XZ সমতল ছিল বলে j বাদ গিয়েছিল আর এখানে YZ সমতল বলে i বাদ গেল। দুই ক্ষেত্রেই বাকি দুটি উপাংশ ৩ ও ৪ হওয়ায় উত্তর একই এসেছে, কিন্তু বাদ যাওয়া উপাংশ আলাদা।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

15. ৫৫

    ভেক্টর ইসহাক স্যার · তপন স্যার

    2i + 3j ভেক্টর—
    i. এর মান 13
    ii. XY তলে অবস্থান করে
    iii. Z অক্ষের সাথে 90° কোণ উৎপন্ন করে
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i ও ii
    • খ i ও iii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

    i. সঠিক — |2i + 3j| = 2² + 3² = 13।
    ii. সঠিক — k উপাংশ (z = 0) নেই, তাই ভেক্টরটি XY তলে অবস্থান করে।
    iii. সঠিক — cosγ = A_zA = 013 = 0 ⇒ γ = 90°, অর্থাৎ Z-অক্ষের সাথে লম্ব।
    X-অক্ষের সাথে কোণ tan⁻¹(32) ≈ 56.3°, Y-অক্ষের সাথে ≈ 33.7°।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

16. ৫৬

    ভেক্টর তপন স্যার

    ও Q এর স্থানাঙ্ক (3,-2,1) এবং (3,-4,5), PQ এর মান কত?

    • ক 20
    • খ 29
    • গ 56
    • ঘ 63
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) 20

    দুটি বিন্দুর মধ্যেকার ভেক্টর পাওয়া যায় শেষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে শুরুর বিন্দুর স্থানাঙ্ক বিয়োগ করে। এখানে PQ = (3 − 3)i + (−4 + 2)j + (5 − 1)k = −2j + 4k।
    
    তাই |PQ| = 0² + (−2)² + 4² = 20। উত্তর 20।
    
    স্থানাঙ্ক থেকে দূরত্ব বের করার এই পদ্ধতিটিই আসলে ত্রিমাত্রিক দূরত্বের সূত্র, (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²। বিয়োগের ক্রম উল্টে দিলে ভেক্টরের দিক উল্টে যায় কিন্তু মান একই থাকে, তাই দূরত্ব বের করার সময় ক্রম নিয়ে চিন্তা করতে হয় না।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

17. ৫৭

    ভেক্টর তপন স্যার

    ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি ভেক্টরের আদিবিন্দুর স্থানাঙ্ক (5, 4, 3) এবং শেষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (8, 6, 5)। ভেক্টরটির মান কত?

    • ক 14
    • খ 17
    • গ 19
    • ঘ 23
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 17

    ভেক্টরটির উপাংশ হবে শেষবিন্দু থেকে আদিবিন্দু বিয়োগ করে, অর্থাৎ (8 − 5), (6 − 4) ও (5 − 3), যা দাঁড়ায় 3i + 2j + 2k। মান = 3² + 2² + 2² = 17। উত্তর 17।
    
    এখানে আদিবিন্দু মূলবিন্দু নয়, তাই সরাসরি (5, 4, 3) বা (8, 6, 5) কে ভেক্টর ধরে মান বের করলে ভুল হবে; ঐ দুটি হলো অবস্থান ভেক্টর, আর প্রশ্নের ভেক্টরটি হলো এদের বিয়োগফল। অবস্থান ভেক্টর ও সরণ ভেক্টরের এই পার্থক্যটি এ ধরনের প্রশ্নে সবচেয়ে বেশি ভুলের কারণ হয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

18. ৫৮

    ভেক্টর তপন স্যার

    কোন ভেক্টরটি P=4i+2j -এর ওপর লম্ব?

    • ক 3i+4j
    • খ 6i
    • গ 5k
    • ঘ 4j
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 5k

    দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়। P = 4i + 2j এর সাথে প্রতিটি অপশনের ডট গুণফল দেখলে পাওয়া যায় ক-এর ক্ষেত্রে 12 + 8 = 20, খ-এর ক্ষেত্রে 24 এবং ঘ-এর ক্ষেত্রে 8; কোনোটিই শূন্য নয়।
    
    কিন্তু 5k ভেক্টরটির সাথে ডট গুণফল শূন্য, কারণ P ভেক্টরে k উপাংশ নেই। উত্তর 5k।
    
    এখান থেকে একটি কাজের কথা পাওয়া যায়, XY তলে থাকা যেকোনো ভেক্টর Z-অক্ষ বরাবর যেকোনো ভেক্টরের উপর লম্ব হবে। তাই অপশনে k থাকলে এবং মূল ভেক্টরে k অনুপস্থিত থাকলে হিসাব না করেই উত্তর বলে দেওয়া যায়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

19. ৫৯

    ভেক্টর তপন স্যার

    তিনটি ভেক্টর-
    (i) 1214i-37 j+27 k
    (ii) i+j+k
    (iii) A_xi+A_yj+A_zkA_x²+A_y²+A_z² একক ভেক্টরের ক্ষেত্রে
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক ii ও iii
    • খ i ও ii
    • গ i ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) i ও iii

    একক ভেক্টরের মান অবশ্যই ১ হতে হবে। প্রথমটির উপাংশ 1214, −37 ও 27, অর্থাৎ 67, −37 ও 27; এর মান (6/7)² + (3/7)² + (2/7)² = 497 = 1, তাই এটি একক ভেক্টর।
    
    তৃতীয়টিতে ভেক্টরটিকে তার নিজের মান দিয়ে ভাগ করা হয়েছে, যা একক ভেক্টরের সংজ্ঞাই, তাই এটিও সঠিক। কিন্তু দ্বিতীয়টির মান 3, ১ নয়; একে একক ভেক্টর বানাতে হলে 3 দিয়ে ভাগ করতে হতো। সঠিক উত্তর i ও iii।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

20. ৬০

    ভেক্টর তপন স্যার

    কোন ভেক্টরটি A=4i+3j এর ওপর লম্ব?

    • ক 4i+3j
    • খ 6i
    • গ 7k
    • ঘ 3j
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 7k

    লম্ব হওয়ার শর্ত হলো ডট গুণফল শূন্য। A = 4i + 3j এর সাথে ক-এর ডট গুণফল 16 + 9 = 25, খ-এর 24 এবং ঘ-এর 9; কোনোটিই শূন্য নয়। কিন্তু 7k এর সাথে ডট গুণফল শূন্য, কারণ A ভেক্টরে k উপাংশ নেই। উত্তর 7k।
    
    7k এর মান ৭ হওয়ায় কেউ কেউ ভাবতে পারে মান মিলিয়ে দেখা দরকার, কিন্তু লম্ব হওয়ার শর্তে মানের কোনো ভূমিকা নেই, কেবল দিকই গুরুত্বপূর্ণ। Z-অক্ষ বরাবর যেকোনো ভেক্টরই XY তলের যেকোনো ভেক্টরের উপর লম্ব হবে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

অন্যান্য অধ্যায়

সব অধ্যায় দেখো →