ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ৪/৩৫
-
৬১
ভেক্টর A=2i-j+2k এর সমান্তরাল একক ভেক্টর-
- ক 29i-19j-29k
- খ 23i-13j+23k
- গ 25i-15j+25k
- ঘ i-j+k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 23i-13j+23k
A = 2i − j + 2k এর মান 22 + (−1)2 + 22 = 9 = 3। সমান্তরাল একক ভেক্টর মানে একই দিকে মান ১ বিশিষ্ট ভেক্টর, তাই A দিয়ে ভাগ করতে হবে।
তাই a = 23i − 13j + 23k। উত্তর খ।
অপশন ক-তে ৯ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে, অর্থাৎ মানের বদলে মানের বর্গ দিয়ে; এটিই এখানে সবচেয়ে সাধারণ ভুল। ঘ-তে কেবল চিহ্ন বদলানো হয়েছে, ভাগই করা হয়নি। উত্তর ঠিক হয়েছে কিনা যাচাই করতে উপাংশগুলোর বর্গের যোগফল দেখতে হয়, একক ভেক্টরের ক্ষেত্রে তা সবসময় ১ হবে। -
৬২
যদি A ও B কে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলা হয় যখন-
- ক A=4i ও B=14i
- খ A=4i ও B=8i
- গ A=8i ও B=4i
- ঘ A=4i ও B=4i
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) A=4i ও B=14i
বিপ্রতীপ ভেক্টরের শর্ত দুটি, দিক একই থাকবে এবং মান হবে মূল মানের বিপরীত। A = 4i এবং B = 14i এ দুটোই মানছে, কারণ দুটোরই দিক i বরাবর এবং মানের গুণফল 4 × 14 = 1। উত্তর ক।
বাকি অপশনগুলোতে দিক একই থাকলেও মান উল্টানো হয়নি; খ-তে মান দ্বিগুণ, গ-তে অর্ধেক আর ঘ-তে সমান। মান দ্বিগুণ বা অর্ধেক হলেই বিপ্রতীপ হয় না, গুণফল ঠিক ১ হতে হবে। আর ঘ-এর মতো দুটি ভেক্টর সমান হলে তারা সমান ভেক্টর, বিপ্রতীপ নয়। -
৬৩
|A+B|=|A-B| হলে A ও B এর মধ্যবর্তী কোণ হবে-
- ক O°
- খ 30°
- গ 90°
- ঘ 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 90°
|A + B| = |A − B| দুই পাশে বর্গ করলে A² + B² + 2AB cosθ = A² + B² − 2AB cosθ পাওয়া যায়, অর্থাৎ 4AB cosθ = 0। A ও B শূন্য নয়, তাই cosθ = 0 এবং θ = 90°। উত্তর ৯০°।
জ্যামিতিকভাবে দেখলে, দুটি ভেক্টর দিয়ে আঁকা সামান্তরিকের কর্ণ দুটি হলো যোগফল ও বিয়োগফল। কর্ণ সমান হলে সামান্তরিক আয়তক্ষেত্র হয়ে যায় এবং সন্নিহিত বাহু দুটি লম্ব হয়। শর্তটি যেভাবেই লেখা হোক, উত্তর সবসময় ৯০°। -
৬৪
|a+b|=3 হলে a ও b এর মধ্যবর্তী কোণ-
- ক 30°
- খ 45°
- গ 60°
- ঘ 75°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 60°
a ও b দুটোই একক ভেক্টর, তাই এদের মান ১। শর্ত অনুযায়ী |a + b| = 3, দুই পাশে বর্গ করে পাই 1 + 1 + 2cosθ = 3, অর্থাৎ cosθ = 12 এবং θ = 60°। উত্তর ৬০°।
একক ভেক্টরের সুবিধা হলো মান ১ হওয়ায় সূত্রটি অনেক সরল হয়ে যায়, |a + b|² = 2 + 2cosθ। এখান থেকে সরাসরি বলা যায় যোগফলের মান ০° এ ২, ৬০° এ 3, ৯০° এ 2, ১২০° এ ১ এবং ১৮০° এ শূন্য। মান দেখেই তখন কোণ বলে দেওয়া যায়। -
৬৫
- সমতলে একটি ভেক্টর X-অক্ষের সাথে 130° কোণ তৈরি করে। ভেক্টরটি ঋণাত্মক Y-অক্ষের সাথে কত কোণ তৈরি করবে?
- ক -130°
- খ 40°
- গ 140°
- ঘ -140°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 140°
ধনাত্মক X-অক্ষ থেকে ঘড়ির উল্টো দিকে মাপলে ধনাত্মক Y-অক্ষ থাকে ৯০° এ এবং ঋণাত্মক Y-অক্ষ থাকে ২৭০° এ। ভেক্টরটি আছে ১৩০° এ, তাই ঋণাত্মক Y-অক্ষের সাথে এর কোণ 270° − 130° = 140°। উত্তর ১৪০°।
অন্যভাবেও দেখা যায়; ভেক্টরটি ধনাত্মক Y-অক্ষের সাথে 130° − 90° = 40° কোণ তৈরি করে, আর ধনাত্মক ও ঋণাত্মক Y-অক্ষের মধ্যে কোণ ১৮০°, তাই ঋণাত্মক Y-অক্ষের সাথে কোণ 180° − 40° = 140°। অপশনে ৪০° রাখা হয়েছে কারণ ঐটিই ধনাত্মক Y-অক্ষের সাথে কোণ; প্রশ্নে কোন অক্ষের কথা বলা হয়েছে তা না দেখলে ঐটিই বেছে নেওয়া হয়।
দুটি দিকের মধ্যবর্তী কোণ সবসময় ০° থেকে ১৮০° এর মধ্যে ধরা হয়, তাই ঋণাত্মক কোণ লেখা অপশনগুলো এমনিতেই বাদ যায়। -
৬৬
নিচের কোন ভেক্টরটি A = i + j এর সমান্তরাল?
- ক i + k
- খ j + k
- গ 2i + 2j
- ঘ 2i + 2k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 2i + 2j
দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে একটি অপরটির স্কেলার গুণিতক হয় (B = mA), অর্থাৎ উপাংশগুলোর অনুপাত সমান।
2i + 2j = 2(i + j) = 2A, তাই এটি A-এর সমান্তরাল (A × B = 0)।
i + k, j + k ও 2i + 2k-এ k উপাংশ আছে কিন্তু A-এ নেই, তাই এগুলো A-এর স্কেলার গুণিতক নয়। -
৬৭
A এর OX ও OY বরাবর উপাংশ যথাক্রমে 53 ও 5 একক। A এর মান কত?
- ক 103
- খ 10
- গ 53
- ঘ 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 10
OX ও OY বরাবর উপাংশ দুটি পরস্পর লম্ব, তাই ভেক্টরের মান = (53)2 + 52 = 75 + 25 = 100 = 10 একক। উত্তর ১০।
উপাংশ থেকে মান বের করার এই নিয়মটিই ভেক্টর বিভাজনের উল্টো কাজ। এখানে উপাংশ দুটির অনুপাত 553 হওয়ায় ভেক্টরটি X-অক্ষের সাথে ৩০° কোণ তৈরি করে, কারণ tan30° = 13। অর্থাৎ মান ও দিক দুটোই কেবল উপাংশ থেকে বের করা যায়। -
৬৮
তিনটি ভেক্টর A=6i-8j, B=-8i+3j এবং C=26i+19j দেওয়া আছে। যদি aA+bB+C=0 হয় তবে a ও b এর সম্ভাব্য মানগুলো হবে-
- ক a=7, b=5
- খ a=5, b=7
- গ a=5, b=8
- ঘ a=3, b=7
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) a=5, b=7
aA + bB + C = 0 শর্তে উপাংশ ধরে ধরে দুটি সমীকরণ পাওয়া যায়। i বরাবর: 6a − 8b + 26 = 0, আর j বরাবর: −8a + 3b + 19 = 0।
প্রথম সমীকরণকে সরল করে পাই 3a − 4b = −13 এবং দ্বিতীয়টি থেকে 8a − 3b = 19। এই দুটি সমাধান করলে b = 7 ও a = 5 পাওয়া যায়। উত্তর a = 5, b = 7।
ভেক্টর সমীকরণে সমতা মানে প্রতিটি অক্ষ বরাবর আলাদা আলাদা সমতা; তাই একটি ভেক্টর সমীকরণ থেকে দুই মাত্রায় দুটি এবং তিন মাত্রায় তিনটি স্কেলার সমীকরণ পাওয়া যায়। এই ধারণাটি সাম্যাবস্থার প্রশ্নেও সরাসরি কাজে লাগে, কারণ সেখানে লব্ধি শূন্য হওয়া মানেই প্রতিটি দিকে বলের যোগফল শূন্য। -
৬৯
স্কেলার গুণনের উদাহরণ—
- ক কাজ
- খ বল
- গ টর্ক
- ঘ কৌণিক ভরবেগ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) কাজ
কাজ দুটি ভেক্টরের স্কেলার (ডট) গুণফল: W = F · s = Fs cosθ, তাই কাজ একটি স্কেলার রাশি।
স্কেলার গুণনের অন্যান্য উদাহরণ: ক্ষমতা P = F · v, তড়িৎ ফ্লাক্স φ = E · A, চৌম্বক ফ্লাক্স φ = B · A।
টর্ক τ = r × F ও কৌণিক ভরবেগ L = r × p হলো ভেক্টর (ক্রস) গুণনের উদাহরণ।
বল F = ma একটি ভেক্টর রাশি, এটি স্কেলার (m) ও ভেক্টরের (a) গুণফল — স্কেলার গুণন নয়। -
৭০
A=2i+j-3k ও B=4j-k ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফল কত?
- ক 3
- খ 7
- গ 9
- ঘ 11
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 7
ডট গুণফল বের করতে একই অক্ষের উপাংশগুলো গুণ করে যোগ করতে হয়। এখানে A = 2i + j − 3k এবং B = 0i + 4j − k।
তাই A·B = (2)(0) + (1)(4) + (−3)(−1) = 0 + 4 + 3 = 7। উত্তর ৭।
এখানে দুটি জায়গায় ভুল হওয়ার সুযোগ আছে। B ভেক্টরে i উপাংশ নেই, তাই সেটিকে শূন্য ধরতে হবে, বাদ দিয়ে দিলে হবে না। আর দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল ধনাত্মক হয়, তাই (−3)(−1) = +3; চিহ্ন ভুল করলে উত্তর ১ আসত। -
৭১
A.B=0 হলে বোঝায়-
- ক A=0
- খ B=0
- গ A ও B একে অপরের ওপর লম্ব
- ঘ A ও B পরস্পর সমান্তরাল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) A ও B একে অপরের ওপর লম্ব
ডট গুণফলের সংজ্ঞা A·B = AB cosθ। এই গুণফল শূন্য হতে পারে তিনভাবে; A শূন্য হলে, B শূন্য হলে, অথবা cosθ শূন্য হলে। প্রশ্নে ভেক্টর দুটিকে শূন্য বলা হয়নি, তাই cosθ = 0 এবং θ = 90°, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব। উত্তর গ।
এর ঠিক উল্টো ঘটনা ঘটে ক্রস গুণনে; A × B = 0 হলে ভেক্টর দুটি সমান্তরাল বা বিপরীতমুখী হয়, কারণ তখন sinθ = 0। এই দুটি শর্ত একসাথে মনে রাখলে লম্ব ও সমান্তরাল যাচাইয়ের যেকোনো প্রশ্ন সহজেই করা যায়। -
৭২
m-এর মান কত হলে P = 4i + mj এবং Q = 8i − 4j + 9k পরস্পর লম্ব হবে?
- ক 8
- খ 6
- গ 4
- ঘ −4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 8
এখানে, P = 4i + mj + 0k, Q = 8i − 4j + 9k
আমরা জানি, লম্ব হলে P · Q = PxQx + PyQy + PzQz = 0
∴ (4 × 8) + (m × −4) + (0 × 9) = 0 ⇒ 32 − 4m = 0 ⇒ m = 8 -
৭৩
কোনো বল দ্বারা কৃতকাজ, W=F.S । কোনো এক ক্ষেত্রে F এবং S শূন্য না হলেও কৃতকাজ শূন্য। এ থেকে আমরা বলতে পারি-
- ক F এবং S এর দিক একই
- খ F এবং S বিপরীতমুখী
- গ F এবং S পরস্পরের ওপর লম্ব
- ঘ F এবং S পরস্পর সমান্তরাল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) F এবং S পরস্পরের ওপর লম্ব
W = F·S = FS cosθ, যেখানে θ হলো বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ। বল ও সরণ কোনোটিই শূন্য না হয়েও কাজ শূন্য হচ্ছে, তাই cosθ অবশ্যই শূন্য, অর্থাৎ θ = 90°। ফলে বল ও সরণ পরস্পরের উপর লম্ব। উত্তর গ।
বাস্তবে এমন উদাহরণ অনেক। মাথায় বোঝা নিয়ে সমান্তরালে হাঁটলে বোঝার উপর প্রযুক্ত বল উল্লম্ব কিন্তু সরণ অনুভূমিক, তাই কাজ শূন্য হয়। বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণনরত বস্তুর উপর কেন্দ্রমুখী বলও কোনো কাজ করে না, কারণ ঐ বল সবসময় বেগের উপর লম্ব থাকে।
ভেক্টর দুটি একই দিকে থাকলে কাজ সর্বোচ্চ FS হতো, আর বিপরীতমুখী হলে কাজ হতো ঋণাত্মক, −FS; দুটি ক্ষেত্রেই কাজ শূন্য হতো না। -
৭৪
চিত্রানুসারে চিত্র Q এর ওপরে P এর লম্ব অভিক্ষেপ-
- ক Qcosθ
- খ Pcosθ
- গ Psinθ
- ঘ Qsinθ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) Pcosθ
কোনো ভেক্টরের অভিক্ষেপ বের করতে হলে ঐ ভেক্টরের মানকে মধ্যবর্তী কোণের cos দিয়ে গুণ করতে হয়। Q এর উপর P এর লম্ব অভিক্ষেপ = P cosθ। উত্তর P cosθ।
ডট গুণফলের সাথে এর সরাসরি সম্পর্ক আছে, কারণ P·Q = PQ cosθ। অর্থাৎ Q এর উপর P এর অভিক্ষেপ = P·QQ। এ কারণেই ডট গুণনকে অভিক্ষেপ গুণন বলা হয়।
কোন ভেক্টরের উপর কোনটির অভিক্ষেপ চাওয়া হয়েছে সেটি খেয়াল করা জরুরি। Q এর উপর P এর অভিক্ষেপ P cosθ, কিন্তু P এর উপর Q এর অভিক্ষেপ হতো Q cosθ; অপশনে দুটোই রাখা হয়েছে। -
৭৫
A=3i+2j+k;B=6i-mj+4k, m এর মান কত হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের ওপর লম্ব হবে?
- ক 9
- খ 11
- গ 12
- ঘ 13
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 11
লম্ব হওয়ার শর্ত ডট গুণফল শূন্য। A = 3i + 2j + k এবং B = 6i − mj + 4k, তাই ডট গুণফল = (3)(6) + (2)(−m) + (1)(4) = 18 − 2m + 4 = 22 − 2m।
শূন্য বসিয়ে 22 − 2m = 0, ফলে m = 11। উত্তর ১১।
এখানে mj এর সামনে ঋণচিহ্ন আছে, তাই (2)(−m) = −2m; চিহ্ন খেয়াল না করলে 18 + 2m + 4 = 0 লিখে ভুল উত্তরে পৌঁছানো যায়। ডট গুণনের প্রশ্নে ভুলের সবচেয়ে বড়ো কারণই হলো চিহ্ন, তাই প্রতিটি পদ আলাদা করে লিখে যোগ করা নিরাপদ। -
৭৬
যদি A=i+2j-3k এবং B=3i-j+2k হয়, তাহলে A+B এবং A-B এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 60°
- খ 30°
- গ 90°
- ঘ 120°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 90°
প্রথমে যোগফল ও বিয়োগফল বের করি। A + B = 4i + j − k এবং A − B = −2i + 3j − 5k।
এবার এদের ডট গুণফল = (4)(−2) + (1)(3) + (−1)(−5) = −8 + 3 + 5 = 0। ডট গুণফল শূন্য মানে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব, তাই কোণ ৯০°। উত্তর ৯০°।
এখানে একটি সুন্দর ফল লুকিয়ে আছে। A + B এবং A − B লম্ব হয় কেবল তখনই যখন |A| = |B|, কারণ (A + B)·(A − B) = A² − B²। এই প্রশ্নে দুটোরই মান 14, তাই ফলটি মিলে গেছে। একই কারণে সমান বাহুর সামান্তরিক অর্থাৎ রম্বসের কর্ণ দুটি সবসময় পরস্পর লম্ব হয়। -
৭৭
j.(2i-3j+k) এর মান কত?
- ক -2
- খ 3
- গ 1
- ঘ -3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) -3
ডট গুণফলে একই অক্ষের উপাংশগুলো গুণ হয়। j ভেক্টরের কেবল y-উপাংশ আছে এবং তার মান ১, তাই j·(2i − 3j + k) = (0)(2) + (1)(−3) + (0)(1) = −3। উত্তর −৩।
এর ভিত্তি হলো আয়ত একক ভেক্টরের ধর্ম, i·i = j·j = k·k = 1 আর i·j = j·k = k·i = 0। অর্থাৎ কোনো ভেক্টরকে j দিয়ে ডট করলে সরাসরি ঐ ভেক্টরের y-উপাংশ পাওয়া যায়। একইভাবে i দিয়ে ডট করলে x-উপাংশ আর k দিয়ে করলে z-উপাংশ পাওয়া যায়, এটি উপাংশ বের করার দ্রুততম উপায়। -
৭৮
যদি P=2i+4j-5k এবং Q=i+2j+3k হয় তবে এদের মধ্যবর্তী কোণ-
- ক 78.51°
- খ 105.25°
- গ 11.49°
- ঘ 101.59°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 101.59°
ডট গুণফল P·Q = (2)(1) + (4)(2) + (−5)(3) = 2 + 8 − 15 = −5। মান দুটি |P| = 4 + 16 + 25 = 45 এবং |Q| = 1 + 4 + 9 = 14।
তাই cosθ = −545 × 14 ≈ −0.199, ফলে θ ≈ 101.5°। কাছাকাছি অপশন ১০১.৫৯°, উত্তর ঘ।
cosθ ঋণাত্মক আসা মানেই কোণ ৯০° এর বেশি, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি স্থূলকোণে আছে; এটুকু দেখেই ৭৮.৫১° ও ১১.৪৯° বাদ দেওয়া যায়। অপশনে ৭৮.৫১° রাখা হয়েছে কারণ ডট গুণফলের চিহ্ন ভুল করে ধনাত্মক ধরলে ঐ মানটিই আসে, আর ৭৮.৫১° ও ১০১.৪৯° পরস্পরের সম্পূরক কোণ। -
৭৯
A=i, B=2i+k, A ও B এর মধ্যবর্তী কোণ-
- ক 25.12°
- খ 26.57°
- গ 90.67°
- ঘ 180.25°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 26.57°
A = i এবং B = 2i + k। ডট গুণফল = (1)(2) + (0)(0) + (0)(1) = 2। মান দুটি |A| = 1 এবং |B| = 22 + 12 = 5।
তাই cosθ = 25 ≈ 0.894, ফলে θ ≈ 26.57°। উত্তর ২৬.৫৭°।
B ভেক্টরটি XZ তলে আছে এবং এর x-উপাংশ ২ ও z-উপাংশ ১, তাই এটি X-অক্ষের সাথে যে কোণ তৈরি করে তার tan হলো 12। এখান থেকেও সরাসরি θ = tan−1(0.5) = 26.57° পাওয়া যায়। কোনো ভেক্টর ও একটি অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ বের করার সহজ উপায় হলো ঐ অক্ষের একক ভেক্টরের সাথে ডট গুণন। -
৮০
দুটি ভেক্টর A=3i-3j এবং B=5i+5k এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 60°
- খ 30°
- গ 45°
- ঘ 90°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 60°
ডট গুণফল A·B = (3)(5) + (−3)(0) + (0)(5) = 15। মান দুটি |A| = 9 + 9 = 18 এবং |B| = 25 + 25 = 50।
তাই cosθ = 1518 × 50 = 15900 = 12, ফলে θ = 60°। উত্তর ৬০°।
এখানে হিসাব সহজ হয়ে গেছে কারণ 18 × 50 = 900 = 30, একটি পূর্ণসংখ্যা। বর্গমূলের গুণফলকে একত্র করে AB আকারে লেখা অভ্যাস করলে এ ধরনের প্রশ্নে সময় অনেক বাঁচে।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।