ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান

HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।

৭০০ প্রশ্ন ১ম পত্র অধ্যায় ২ পাতা ৩৩/৩৫
  1. ৬৪১
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    P = 2i + 3j − k এবং Q = −4i + mj + 4k ভেক্টর দুটি লম্ব হবে যখন m এর মান হবে—

    • ক 12
    • খ 10
    • গ 8
    • ঘ 4
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) 4

    এখানে, P = 2i + 3j − k, Q = −4i + mj + 4k
    আমরা জানি, লম্ব হলে P · Q = PxQx + PyQy + PzQz = 0
    ∴ (2 × (−4)) + (3 × m) + ((−1) × 4) = 0 বা −8 + 3m − 4 = 0 বা 3m = 12
    ∴ m = 4
    দুটি অশূন্য ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হলেই তারা পরস্পর লম্ব।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  2. ৬৪২
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    চিত্রটি দেখ—
    চিত্র
    চিত্র থেকে কোনটি সঠিক?

    • ক P − Q − R = 0
    • খ P + Q − R = 0
    • গ P + Q + R = 0
    • ঘ P − Q + R = 0
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) P − Q − R = 0

    চিত্রে P ও Q একই বিন্দু (নিচের বাম কোণ) থেকে শুরু; Q-এর শীর্ষ থেকে R শুরু হয়ে P-এর শীর্ষে শেষ হয়েছে।
    ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী, Q-এর শীর্ষে R-এর পাদবিন্দু, তাই Q + R = লব্ধি = Q-এর পাদ থেকে R-এর শীর্ষ পর্যন্ত = P।
    ∴ P = Q + R বা P − Q − R = 0
    তিনটি ভেক্টর একই ক্রমে (শীর্ষ-পাদ মিলিয়ে) ত্রিভুজ গঠন করলে তবেই যোগফল শূন্য হয়; এখানে P বিপরীত ক্রমে, তাই P + Q + R ≠ 0।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  3. ৬৪৩
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    যেসব ভেক্টরের পাদবিন্দু অভিন্ন তাকে কী ভেক্টর বলে?

    • ক অবস্থান
    • খ সঠিক
    • গ সমপ্রারম্ভিক
    • ঘ সমতলীয়
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) সমপ্রারম্ভিক

    যেসব ভেক্টরের পাদবিন্দু বা আদিবিন্দু একই, তাদের সমপ্রারম্ভিক (co-initial) ভেক্টর বলে।
    অবস্থান ভেক্টর: মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশক ভেক্টর (r = xi + yj + zk)।
    সমতলীয় ভেক্টর: একই তলে অবস্থিত ভেক্টর। সমরেখ ভেক্টর: একই রেখায় বা সমান্তরাল রেখায় ক্রিয়াশীল ভেক্টর।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  4. ৬৪৪
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    n-এর মান কত হলে P = 2i + nj − 5k এবং Q = 10i − 5j − 25k পরস্পর সমান্তরাল হবে?

    • ক 1
    • খ −1
    • গ 12
    • ঘ −12
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) −1

    এখানে, P = 2i + nj − 5k, Q = 10i − 5j − 25k
    আমরা জানি, সমান্তরাল হলে PxQx = PyQy = PzQz
    ∴ 210 = n−5 = −5−25 = 15
    ∴ n = −55 = −1
    তখন Q = 5P, অর্থাৎ P × Q = 0।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  5. ৬৪৫
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির যোগ সূত্রসংখ্যা কতটি?

    • ক 5
    • খ 4
    • গ 3
    • ঘ 2
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 4

    জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টর যোগের সূত্র চারটি: সাধারণ সূত্র, ত্রিভুজ সূত্র, সামান্তরিক সূত্র ও বহুভুজ সূত্র।
    সাধারণ সূত্র: প্রথম ভেক্টরের শীর্ষে দ্বিতীয়টির পাদবিন্দু বসালে প্রথমটির পাদ থেকে দ্বিতীয়টির শীর্ষ পর্যন্ত রেখা লব্ধি।
    ত্রিভুজ সূত্র: দুটি ভেক্টরকে ত্রিভুজের দুই সন্নিহিত বাহু দিয়ে একই ক্রমে নির্দেশ করলে তৃতীয় বাহু বিপরীত ক্রমে লব্ধি।
    সামান্তরিক সূত্র: একই বিন্দু থেকে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টর সামান্তরিকের দুই সন্নিহিত বাহু হলে ঐ বিন্দুগামী কর্ণ লব্ধি; বহুভুজ সূত্র দুইয়ের বেশি ভেক্টরের জন্য।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  6. ৬৪৬
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    যদি A = Aa এবং A′ = (1A)a হয় তবে A এবং A′ পরস্পর—

    • ক বিপরীত ভেক্টর
    • খ বিসদৃশ ভেক্টর
    • গ সমান ভেক্টর
    • ঘ বিপ্রতীপ ভেক্টর
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) বিপ্রতীপ ভেক্টর

    A = Aa ও A′ = (1A)a — উভয়ের দিক a বরাবর একই, কিন্তু মান পরস্পরের বিপ্রতীপ (A ও 1A); এরকম ভেক্টরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে।
    বিপ্রতীপ ভেক্টরের মানের গুণফল A × 1A = 1।
    বিপরীত ভেক্টর: মান সমান কিন্তু দিক বিপরীত (A ও −A)। সমান ভেক্টর: মান ও দিক উভয়ই সমান।
    বিসদৃশ ভেক্টর: ভিন্ন জাতীয় বা ভিন্ন দিকের ভেক্টর।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  7. ৬৪৭
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    4 km প্রস্থবিশিষ্ট একটি নদীতে একটি ট্রলারের বেগ 20 kmh−1 এবং স্রোতের বেগ 12 kmh−1।
    ট্রলারটিকে ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হতে কত সময় লাগবে?

    • ক 0.17 h
    • খ 0.20 h
    • গ 0.25 h
    • ঘ 0.33 h
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 0.25 h

    ন্যূনতম দূরত্বে (সোজা অপর পাড়ে) পার হতে ট্রলারকে উজানের দিকে কোণ করে চালাতে হয়, তখন লব্ধি বেগ নদীর প্রস্থ বরাবর।
    এখানে, d = 4 km, ট্রলারের বেগ v = 20 kmh−1, স্রোতের বেগ u = 12 kmh−1
    আমরা জানি, t = dv2 − u2
    ∴ t = 4202 − 122 = 4256 = 416 = 0.25 h
    ন্যূনতম সময়ে পার হতে লাগত dv = 420 = 0.20 h।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  8. ৬৪৮
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    ক্রস গুণন—
    i. বণ্টন সূত্র মেনে চলে
    ii. ডান হাতি স্ক্রু নিয়ম অনুসরণ করে
    iii. বিনিময় সূত্র মেনে চলে
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i ও ii
    • খ i ও iii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) i ও ii

    i. ক্রস গুণন বণ্টন সূত্র মেনে চলে: A × (B + C) = A × B + A × C — সঠিক।
    ii. A × B-এর দিক ডান হাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ধারিত (A থেকে B-এর দিকে স্ক্রু ঘোরালে যেদিকে অগ্রসর হয়) — সঠিক।
    iii. ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না: A × B = −B × A — ভুল।
    ডট গুণন বিনিময় ও বণ্টন উভয় সূত্র মেনে চলে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  9. ৬৪৯
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    A(3, 2, 2) এবং B(3, 2, −1) বিন্দুদ্বয় সংযোগকারী AB ভেক্টরটির মান কত?

    • ক 1
    • খ 3
    • গ 3
    • ঘ 4
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 3

    এখানে, A(3, 2, 2), B(3, 2, −1)
    আমরা জানি, AB = (x2 − x1)i + (y2 − y1)j + (z2 − z1)k, |AB| = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
    ∴ AB = 0i + 0j − 3k, |AB| = 0 + 0 + 9 = 3 একক

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  10. ৬৫০
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হবে যদি—
    i. A · (B × C) = 0
    ii. B · (C × A) = 0
    iii. C · (A × B) = 0
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i
    • খ i ও ii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

    তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হলে তাদের স্কেলার ত্রিগুণন (তিন ভেক্টর দিয়ে গঠিত সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন) শূন্য।
    চক্রাকার ক্রমে স্কেলার ত্রিগুণন অপরিবর্তিত থাকে: A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)।
    তাই i, ii ও iii তিনটি শর্তই একই অর্থ বহন করে — সবগুলো সঠিক।
    ক্রম উল্টালে চিহ্ন বদলায়: A · (C × B) = −A · (B × C)।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  11. ৬৫১
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    P ও Q ভেক্টরদ্বয়ের ক্ষেত্রে—
    i. |P × Q| একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে
    ii. P × Q গুণফল একটি নতুন ভেক্টর নির্দেশ করে
    iii. |P × Q| = 0 হলে P⊥Q হবে
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i ও
    • খ i ও ii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) i ও ii

    i. |P × Q| = PQ sinθ, যা P ও Q সন্নিহিত বাহুবিশিষ্ট সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল — সঠিক।
    ii. P × Q একটি নতুন ভেক্টর, যার দিক P ও Q-এর তলের লম্ব বরাবর — সঠিক।
    iii. |P × Q| = 0 হলে sinθ = 0 বা θ = 0° বা 180°, অর্থাৎ P ∥ Q (লম্ব নয়) — ভুল।
    P ⊥ Q-এর শর্ত হলো P · Q = 0।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  12. ৬৫২
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    A = 2i + 2j − k, B = 6i − 3j + 2k। A-এর উপর B-এর লম্ব অভিক্ষেপের মান কত?

    • ক 3.33
    • খ 2.33
    • গ 1.33
    • ঘ 0.33
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 1.33

    এখানে, A = 2i + 2j − k, B = 6i − 3j + 2k
    আমরা জানি, A-এর উপর B-এর লম্ব অভিক্ষেপ = B cosθ = A · BA
    ∴ A · B = (2 × 6) + (2 × −3) + (−1 × 2) = 12 − 6 − 2 = 4, A = 4 + 4 + 1 = 3
    ∴ অভিক্ষেপ = 43 = 1.33 একক
    B-এর উপর A-এর অভিক্ষেপ হতো A · BB = 47 = 0.57।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  13. ৬৫৩
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    যে ভেক্টরের প্রাথমিক ও চূড়ান্ত বিন্দু একই তাকে বলে—

    • ক একক ভেক্টর
    • খ শূন্য ভেক্টর
    • গ অবস্থান ভেক্টর
    • ঘ সম ভেক্টর
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) শূন্য ভেক্টর

    যে ভেক্টরের আদিবিন্দু ও শেষবিন্দু একই, তাকে শূন্য বা নাল ভেক্টর (0) বলে; এর মান শূন্য।
    শূন্য ভেক্টরের দিক অনির্দিষ্ট; যেমন A + (−A) = 0।
    একক ভেক্টর: মান 1। অবস্থান ভেক্টর: মূলবিন্দু থেকে কোনো বিন্দুর দিকে টানা ভেক্টর।
    সম ভেক্টর: মান ও দিক উভয়ই সমান।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  14. ৬৫৪
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    যদি |A + B| = |A − B| হয়, তবে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

    • ক 0°
    • খ 30°
    • গ 90°
    • ঘ 180°
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 90°

    এখানে, |A + B| = |A − B|
    আমরা জানি, |A + B|2 = A2 + B2 + 2AB cosθ, |A − B|2 = A2 + B2 − 2AB cosθ
    ∴ A2 + B2 + 2AB cosθ = A2 + B2 − 2AB cosθ বা 4AB cosθ = 0 বা cosθ = 0
    ∴ θ = 90°
    অর্থাৎ সামান্তরিকের দুই কর্ণ সমান হলে সেটি আয়তক্ষেত্র।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  15. ৬৫৫
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    তিনটি ভেক্টর P, Q এবং R একই তলে অবস্থান করবে, যদি—

    • ক P · (Q × R) = 0
    • খ P · (Q × R) = 1
    • গ P(Q · R) = 0
    • ঘ P × (Q × R) = 0
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) P · (Q × R) = 0

    তিনটি ভেক্টর একই তলে (সমতলীয়) থাকার শর্ত: স্কেলার ত্রিগুণন P · (Q × R) = 0।
    Q × R ভেক্টরটি Q ও R-এর তলের লম্ব; P ঐ তলে থাকলে P তার উপর লম্ব হয়, ফলে ডট গুণফল শূন্য।
    |P · (Q × R)| হলো তিন ভেক্টর দিয়ে গঠিত সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন; সমতলীয় হলে আয়তন শূন্য।
    P × (Q × R) হলো ভেক্টর ত্রিগুণন, যার মান ভেক্টর — এটি সমতলীয়তার শর্ত নয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  16. ৬৫৬
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    A = 2j এবং B = (12)j হয় তবে দুটি ভেক্টর—
    i. সদৃশ ভেক্টর
    ii. বিপ্রতীপ ভেক্টর
    iii. পরস্পর লম্ব
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i ও ii
    • খ i ও iii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) i ও ii

    i ও ii সঠিক।
    i. A = 2j ও B = (12)j উভয়ই +j দিকে, তাই সদৃশ ভেক্টর — সঠিক।
    ii. A = 2 ও B = 12 পরস্পরের বিপ্রতীপ এবং দিক একই, তাই একটি অপরটির বিপ্রতীপ ভেক্টর — সঠিক।
    iii. A · B = 2 × 12 = 1 ≠ 0, এরা সমান্তরাল — পরস্পর লম্ব নয়, ভুল।
    বিপ্রতীপ ভেক্টরের মানের গুণফল সবসময় 1।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  17. ৬৫৭
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    নিচের কোনটি ভেক্টর রাশি?

    • ক তড়িৎ প্রবাহ
    • খ বিভব
    • গ ক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল
    • ঘ কাজ
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) ক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল

    ক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল ভেক্টর রাশি — dA = dA n, যার দিক তলের লম্ব বরাবর (বহির্মুখী)।
    ফ্লাক্স নির্ণয়ে এটি ব্যবহৃত হয়: φ = E · dA বা B · dA।
    তড়িৎ প্রবাহের দিক থাকলেও ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে না বলে এটি স্কেলার; বিভব ও কাজ স্কেলার রাশি।
    তড়িৎ প্রবাহ ঘনত্ব J অবশ্য ভেক্টর রাশি।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  18. ৬৫৮
    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    দুইটি ভেক্টর A ও B কোন শর্তে A + B = A − B হবে?

    • ক A = B
    • খ A = 0
    • গ B = 1
    • ঘ B = 0
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) B = 0

    এখানে, A + B = A − B
    আমরা জানি, উভয় পাশ থেকে A বাদ দিলে B = −B
    ∴ 2B = 0 বা B = 0
    অর্থাৎ B শূন্য ভেক্টর হলে A-এর মান যা-ই হোক সমীকরণটি সত্য।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  19. ৬৫৯
    ভেক্টর ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ২০২৩

    দুটি ভেক্টর A এবং B-এর যোগফল তাদের পার্থক্যের ওপর লম্ব। নিচের কোন বিবৃতিটি অবশ্যই সত্য?

    • ক |A| = |B|
    • খ A · B = 0
    • গ A × B = 0
    • ঘ A = −2B
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) |A| = |B|

    শর্তানুসারে যোগফল ও পার্থক্য পরস্পর লম্ব, তাই (A+B)⋅(A−B)=0⇒A2−B2=0। ফলে |A|=|B|।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

  20. ৬৬০
    ভেক্টর ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ২০২২

    q মানের পাঁচটি ধনাত্মক চার্জ r ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের পরিধি বরাবর প্রতিসমভাবে সাজানো হলো। বৃত্তের কেন্দ্রে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের মান কত?

    • ক q44πε0r2
    • খ q54πε0r2
    • গ 0
    • ঘ 5q4πε0r2
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 0

    সমমানের ৫টি ধনাত্মক চার্জ বৃত্তের পরিধিতে প্রতিসমভাবে বিন্যস্ত থাকায় প্রতিটির সৃষ্ট ক্ষেত্র ভেক্টরীয়ভাবে একে অপরকে বাতিল করে দেয়, তাই কেন্দ্রে লব্ধি বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র শূন্য।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও

শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।

এক্সাম বানাও →

অন্যান্য অধ্যায়

১ভৌত জগৎ ও পরিমাপ৩৩৬টি৩গতিবিদ্যা৬৯৩টি৪নিউটনীয় বলবিদ্যা৮৭০টি৫কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা৬৮২টি৬মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ৬৮৪টি৭পদার্থের গাঠনিক ধর্ম৬৮৮টি৮পর্যাবৃত্ত গতি৫৮৬টি৯তরঙ্গ৬৪২টি

সব অধ্যায় দেখো →

পরীক্ষা ও প্র্যাকটিস

লিখিত ও সমাধান

শেখা ও রেফারেন্স

প্রিমিয়াম

ল্যাব ও গেম

বেশিরভাগ ফিচার একদম ফ্রি · প্রিমিয়াম শুধু বাড়তি প্রস্তুতির জন্য হোমপেজে ফিরি