দুটি ভেক্টর রাশির বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর লব্ধিদ্বয় যথাক্রমে 28 একক এবং 4 একক। রাশি দুটি পরস্পরের সাথে 90° কোণে কোনো একটি কণার ওপর ক্রিয়া করল। লব্ধির মান কত?

কোনোটিই নয়

স্কেলার ফাংশনকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তরিত করে কোনটি?

গ্র্যাডিয়েন্ট

ডাইভারজেন্স

সমকোণে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান রাশিদ্বয়ের—

বর্গের যোগফলের বর্গমূলের সমান

যোগফলের বর্গের সমানুপাতিক

বর্গের যোগফলের সমান

বর্গের বিয়োগফলের সমান

ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান

HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।

৭০০ প্রশ্ন ১ম পত্র অধ্যায় ২ পাতা ৩১/৩৫

৬০১
ভেক্টর ইসহাক স্যার

নিচের চিত্রানুযায়ী Q-এর ওপর P-এর অভিক্ষেপ কত?
- ক P · QQ
- খ P × QQ
- গ P · QP
- ঘ P × QP
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) P · QQ

এখানে, P ও Q-এর মধ্যবর্তী কোণ θ
আমরা জানি, Q-এর ওপর P-এর অভিক্ষেপ = P cosθ এবং P · Q = PQ cosθ
∴ Q-এর ওপর P-এর অভিক্ষেপ = P cosθ = PQ cosθQ = P · QQ
একইভাবে P-এর ওপর Q-এর অভিক্ষেপ = Q cosθ = P · QP।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬০২
ভেক্টর ইসহাক স্যার

একটি কণার ওপর F = (5i − 6j + 3k) N বল প্রয়োগ করার ফলে কণাটির d = (3i + d_yj + 5k) m সরণ হয়। d_y-এর মান কত হলে সম্পাদিত কাজের পরিমাণ শূন্য হবে?
- ক 0
- খ 5
- গ 6
- ঘ −6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: খ) 5

এখানে, F = (5i − 6j + 3k) N, d = (3i + d_yj + 5k) m, কাজ W = 0
আমরা জানি, W = F · d = F_xd_x + F_yd_y + F_zd_z
∴ 0 = (5 × 3) + (−6 × d_y) + (3 × 5) = 30 − 6d_y
∴ d_y = 306 = 5
কাজ শূন্য হওয়ার অর্থ বল ও সরণ পরস্পর লম্ব।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬০৩
ভেক্টর ইসহাক স্যার

A = 2i + 2j + k এবং B = 6i − 3j + 2k হলে B বরাবর A-এর অভিক্ষেপ হবে—
- ক 87
- খ 83
- গ 38
- ঘ 78
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) 87

এখানে, A = 2i + 2j + k, B = 6i − 3j + 2k
আমরা জানি, B বরাবর A-এর অভিক্ষেপ = A cosθ = A · BB
∴ A · B = (2 × 6) + (2 × −3) + (1 × 2) = 12 − 6 + 2 = 8, B = 36 + 9 + 4 = 49 = 7
∴ অভিক্ষেপ = 87 একক

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬০৪
ভেক্টর ইসহাক স্যার

ভেক্টর A = 2i + 3j − k এবং B = 6i − 3j + 2k-এর মধ্যকার কোণ নির্ণয় কর।
- ক 82°2′
- খ 78°54′
- গ 79°1′
- ঘ 87°48′
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ঘ) 87°48′

এখানে, A = 2i + 3j − k, B = 6i − 3j + 2k
আমরা জানি, cosθ = A · BAB
∴ A · B = (2 × 6) + (3 × (−3)) + ((−1) × 2) = 12 − 9 − 2 = 1, A = 4 + 9 + 1 = 14, B = 36 + 9 + 4 = 7
∴ cosθ = 1714 = 0.0382, θ = cos⁻¹(0.0382) ≈ 87.81° ≈ 87°48′
ডট গুণফল প্রায় শূন্য বলে ভেক্টর দুটি প্রায় পরস্পর লম্ব।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬০৫
ভেক্টর ইসহাক স্যার

দুটি ভেক্টর রাশির বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর লব্ধিদ্বয় যথাক্রমে 28 একক এবং 4 একক। রাশি দুটি পরস্পরের সাথে 90° কোণে কোনো একটি কণার ওপর ক্রিয়া করল। লব্ধির মান কত?
- ক 28 unit
- খ 24 unit
- গ 20 unit
- ঘ কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: গ) 20 unit

এখানে, বৃহত্তর লব্ধি P + Q = 28 একক, ক্ষুদ্রতর লব্ধি P − Q = 4 একক, α = 90°
আমরা জানি, R = P² + Q² + 2PQ cosα
∴ P = 28 + 42 = 16 একক, Q = 28 − 42 = 12 একক
∴ R = 16² + 12² + 2 × 16 × 12 × cos90° = 256 + 144 = 400 = 20 একক

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬০৬
ভেক্টর ইসহাক স্যার

স্কেলার ফাংশনকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তরিত করে কোনটি?
- ক সলিনয়েড
- খ গ্র্যাডিয়েন্ট
- গ ক্রমগুনি
- ঘ ডাইভারজেন্স
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: খ) গ্র্যাডিয়েন্ট

গ্রেডিয়েন্ট স্কেলার ফাংশনকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে: ∇φ = i(∂φ∂x) + j(∂φ∂y) + k∂φ∂z।
∇φ-এর দিক φ-এর সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হারের দিক এবং মান সেই সর্বোচ্চ হার; যেমন বিভব থেকে তড়িৎক্ষেত্র E = −∇V।
ডাইভারজেন্স (∇ · V) ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে স্কেলার দেয়; কার্ল (∇ × V) ভেক্টর থেকে ভেক্টর দেয়।
সলিনয়ডাল বলতে এমন ভেক্টর ক্ষেত্র বোঝায় যার ডাইভারজেন্স শূন্য।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬০৭
ভেক্টর ইসহাক স্যার

নিচের চিত্রে কোনটি সঠিক?
- ক −∇ · v
- খ + ∇ · v
- গ ∇v
- ঘ −∇v
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) −∇ · v

চিত্রে ক্ষেত্র রেখাগুলো চারদিক থেকে বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে প্রবেশ করছে — অর্থাৎ বিন্দুটি একটি সিঙ্ক (অভিসারী ক্ষেত্র), তাই ডাইভারজেন্স ঋণাত্মক: −∇ · v।
ক্ষেত্র রেখা কোনো বিন্দু থেকে বাইরের দিকে বের হলে (উৎস/source) ∇ · v ধনাত্মক।
যতটুকু প্রবেশ করে ততটুকুই বের হলে ∇ · v = 0 — এমন ক্ষেত্র সলিনয়ডাল (যেমন চৌম্বক ক্ষেত্র, ∇ · B = 0)।
অপশনের Δ চিহ্নটি আসলে ডেল অপারেটর ∇।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬০৮
ভেক্টর ইসহাক স্যার

A + B + C = 0 ভেক্টর ত্রয়ের সম্পর্কটিকে কোন চিত্র দ্বারা প্রকাশ করা যায়?
- ঘ কোনটিই নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক)

A + B + C = 0 হলে তিনটি ভেক্টরকে একটি ত্রিভুজের তিন বাহু দ্বারা একই ক্রমে (একটির শীর্ষ থেকে পরেরটির পাদবিন্দু) নির্দেশ করা যায় এবং শেষ ভেক্টরের শীর্ষ প্রথমটির পাদবিন্দুতে মিলে যায় — ত্রিভুজটি বদ্ধ।
ক-এর চিত্রে A-এর শীর্ষ থেকে B, B-এর শীর্ষ থেকে C শুরু হয়ে A-এর পাদবিন্দুতে শেষ — এটিই A + B + C = 0।
খ-এর চিত্রে C A-এর পাদবিন্দু থেকে B-এর শীর্ষ পর্যন্ত, অর্থাৎ A + B = C।
গ-এর চিত্রে C ও B পরপর গিয়ে A-এর শীর্ষে মিলেছে, অর্থাৎ C + B = A।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬০৯
ভেক্টর ইসহাক স্যার

দুটি ভেক্টর A এবং B-এর যোগফল তাদের পার্থক্যের ওপর লম্ব। নিচের কোন বিবৃতিটি অবশ্যই সম্ভব?
- ক |A| = |B|
- খ A · B = 0
- গ A × B = 0
- ঘ A = −2B
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) |A| = |B|

এখানে, (A + B) ⊥ (A − B)
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য
∴ (A + B) · (A − B) = A² − A · B + B · A − B² = A² − B² = 0
∴ A² = B², অর্থাৎ |A| = |B|
এক্ষেত্রে A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ যেকোনো হতে পারে, তাই A · B = 0 বা A × B = 0 অবশ্যই সত্য নয়; A = −2B হলে |A| = 2|B|, যা শর্তের সাথে মেলে না।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬১০
ভেক্টর ইসহাক স্যার

4 kmh⁻¹ বেগে প্রবাহমান স্রোতযুক্ত নদীতে কত কোণে নৌকা চালালে 5 kmh⁻¹ বেগে নৌকা চালাতে সক্ষম একজন মাঝি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছাতে পারবে?
- ক 120°
- খ 90°
- গ 136.37°
- ঘ 143.130°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ঘ) 143.130°

এখানে, স্রোতের বেগ u = 4 kmh⁻¹, নৌকার বেগ v = 5 kmh⁻¹, স্রোতের সাথে নৌকার কোণ α
আমরা জানি, ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছাতে হলে লব্ধি বেগ স্রোতের লম্ব বরাবর হবে, অর্থাৎ u + v cosα = 0
∴ cosα = −uv = −45 = −0.8
∴ α = cos⁻¹(−0.8) ≈ 143.13°
অর্থাৎ স্রোতের বিপরীত দিকের সাথে 36.87° কোণে (অপর পাড়ের লম্বের সাথে উজানে) নৌকা চালাতে হবে।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬১১
ভেক্টর ইসহাক স্যার

একটি বিন্দুতে একই সময় ক্রিয়ারত তিনটি সমতলীয় ভেক্টর রাশিকে কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একইক্রমে নির্দেশ করলে এদের লব্ধি হবে—
- ক কম
- খ বেশি
- গ অপরিবর্তিত
- ঘ শূন্য
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ঘ) শূন্য

একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সমতলীয় ভেক্টরকে কোনো ত্রিভুজের তিন বাহু দ্বারা একই ক্রমে নির্দেশ করা গেলে তাদের লব্ধি শূন্য (A + B + C = 0)।
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী দুটি বাহু একই ক্রমে নিলে তৃতীয় বাহু বিপরীত ক্রমে লব্ধি নির্দেশ করে; তৃতীয়টিও একই ক্রমে নিলে বদ্ধ ত্রিভুজ হয়, লব্ধি শূন্য।
এ অবস্থায় বস্তুকণাটি সাম্যাবস্থায় থাকে (বলের ত্রিভুজ সূত্র)।
একইভাবে বহুভুজের বাহু দ্বারা একই ক্রমে নির্দেশিত বহু ভেক্টরের লব্ধিও শূন্য।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬১২
ভেক্টর ইসহাক স্যার

(i + j) এবং i এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 0°
- খ 180°
- গ 90°
- ঘ 45°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ঘ) 45°

এখানে, A = i + j, B = i
আমরা জানি, cosθ = A · BAB
∴ cosθ = 1 × 1 + 1 × 02 × 1 = 12
∴ θ = 45°
i + j ভেক্টরটি XY তলে X ও Y অক্ষের ঠিক মাঝে, অর্থাৎ দুই অক্ষের সাথেই 45°।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬১৩
ভেক্টর ইসহাক স্যার

A = −B হলে A × B এর মান কত?
- ক −A²
- খ 0
- গ −B²
- ঘ 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: খ) 0

এখানে, A = −B
আমরা জানি, |A × B| = AB sinθ এবং সমান্তরাল বা বিপরীত সমান্তরাল ভেক্টরের জন্য θ = 0 বা 180°
∴ A × B = (−B) × B = −(B × B) = 0
∴ |A × B| = AB sin180° = 0
অন্যদিকে A · B = AB cos180° = −A² = −B² হয়; তাই −A² বা −B² ডট গুণফলের মান, ক্রস গুণফলের নয়।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬১৪
ভেক্টর ইসহাক স্যার

সমকোণে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান রাশিদ্বয়ের—
- ক যোগফলের বর্গের সমানুপাতিক
- খ বর্গের যোগফলের সমান
- গ বর্গের যোগফলের বর্গমূলের সমান
- ঘ বর্গের বিয়োগফলের সমান
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: গ) বর্গের যোগফলের বর্গমূলের সমান

সমকোণে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান রাশিদ্বয়ের বর্গের যোগফলের বর্গমূলের সমান: R = P² + Q²।
সাধারণ সূত্র R = P² + Q² + 2PQ cosα-এ α = 90° বসালে cos90° = 0, তাই R = P² + Q²।
লব্ধির দিক: P-এর সাথে কোণ θ হলে tanθ = QP।
যেমন 3 ও 4 মানের দুটি ভেক্টর সমকোণে ক্রিয়া করলে R = 9 + 16 = 5।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬১৫
ভেক্টর ইসহাক স্যার

(j + k) × k?
- ক 1
- খ i
- গ j
- ঘ k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: খ) i

এখানে, ভেক্টর (j + k) এবং k
আমরা জানি, j × k = i এবং k × k = 0
∴ (j + k) × k = j × k + k × k = i + 0 = i
চক্রক্রম i × j = k, j × k = i, k × i = j; উল্টো ক্রমে নিলে ঋণাত্মক চিহ্ন আসে।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬১৬
ভেক্টর ইসহাক স্যার

দুটি সমান ভেক্টরের লব্ধি নাল ভেক্টর হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 90°
- খ 180°
- গ 0°
- ঘ 270°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: খ) 180°

এখানে, P = Q, লব্ধি R = 0
আমরা জানি, R² = P² + Q² + 2PQ cosα
∴ 0 = P² + P² + 2P² cosα = 2P²(1 + cosα)
∴ cosα = −1, α = 180°
অর্থাৎ সমান মানের দুটি ভেক্টর বিপরীতমুখী হলেই লব্ধি নাল ভেক্টর হয়; α = 0° হলে লব্ধি সর্বোচ্চ 2P।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬১৭
ভেক্টর ইসহাক স্যার

|a + b| = 3 হলে a এবং b এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 30°
- খ 45°
- গ 60°
- ঘ 75°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: গ) 60°

এখানে, |a| = |b| = 1, |a + b| = 3
আমরা জানি, |a + b|² = a² + b² + 2ab cosθ
∴ 3 = 1 + 1 + 2 × 1 × 1 × cosθ, cosθ = 3 − 22 = 12
∴ θ = 60°

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬১৮
ভেক্টর ইসহাক স্যার

a এবং b দুটি সমান ভেক্টর সমকোণে ক্রিয়া করলে (a + b) এবং (a − b) এর ডট গুণফল কত?
- ক 0
- খ 4a
- গ 2a
- ঘ None
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) 0

এখানে, |a| = |b| = a, মধ্যবর্তী কোণ 90°
আমরা জানি, (a + b) · (a − b) = a · a − a · b + b · a − b · b = |a|² − |b|²
∴ (a + b) · (a − b) = a² − a² = 0
সমান মানের দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল সবসময় পরস্পর লম্ব (রম্বসের কর্ণদ্বয় লম্ব); এখানে সমকোণের তথ্যটি অতিরিক্ত।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬১৯
ভেক্টর ইসহাক স্যার

20 এবং 50 মানবিশিষ্ট দুটি ভেক্টর যোগ করা হলো। নিচের কোনটি এদের লব্ধির মান—
- ক 10
- খ 20
- গ 40
- ঘ 80
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: গ) 40

এখানে, P = 50, Q = 20
আমরা জানি, |P − Q| ≤ R ≤ P + Q
∴ 50 − 20 ≤ R ≤ 50 + 20, অর্থাৎ 30 ≤ R ≤ 70
∴ অপশনের মধ্যে কেবল 40 এই সীমার ভেতরে; 10 ও 20 সর্বনিম্ন মানের চেয়ে কম, 80 সর্বোচ্চ মানের চেয়ে বেশি।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬২০
ভেক্টর ইসহাক স্যার

5 ms⁻¹ বেগে প্রবাহমান স্রোতবিশিষ্ট একটি নদীতে 10 ms⁻¹ বেগে চলমান নৌকা 1 hour যাত্রা করে সোজা অপর পাড়ে গিয়ে পৌঁছায়। তাহলে নদীর প্রস্থ কত হবে?
- ক 30 km
- খ 31 km
- গ 32 km
- ঘ 29 km
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: খ) 31 km

এখানে, স্রোতের বেগ u = 5 ms⁻¹, নৌকার বেগ v = 10 ms⁻¹, সময় t = 1 hour = 3600 s
আমরা জানি, সোজা অপর পাড়ে গেলে লব্ধি বেগ w = v² − u² এবং নদীর প্রস্থ d = wt
∴ w = 10² − 5² = 75 ≈ 8.66 ms⁻¹
∴ d = 8.66 × 3600 ≈ 31177 m ≈ 31 km

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও

শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।

এক্সাম বানাও →

অন্যান্য অধ্যায়

১ভৌত জগৎ ও পরিমাপ৩৩৬টি ৩গতিবিদ্যা৬৯৩টি ৪নিউটনীয় বলবিদ্যা৮৭০টি ৫কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা৬৮২টি ৬মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ৬৮৪টি ৭পদার্থের গাঠনিক ধর্ম৬৮৮টি ৮পর্যাবৃত্ত গতি৫৮৬টি ৯তরঙ্গ৬৪২টি

সব অধ্যায় দেখো →