ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ২৯/৩৫
-
৫৬১
ভেক্টর অপারেটরগুলোর নিম্নরূপ বৈশিষ্ট্য রয়েছে—
i. স্কেলার রাশির গ্রেডিয়েন্ট একটি ভেক্টর রাশি
ii. কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য হলে ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল
iii. কোনো ভেক্টরের কার্ল ওই ভেক্টরের ঘূর্ণন নির্দেশ করে
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ i ও iii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) i ও iii
i. স্কেলার ক্ষেত্র φ-এর গ্রেডিয়েন্ট ∇φ একটি ভেক্টর, যা φ-এর সর্বাধিক বৃদ্ধির হারের মান ও দিক দেয় — সঠিক।
ii. ডাইভারজেন্স শূন্য (∇ · V = 0) হলে ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল; অঘূর্ণনশীল হয় কার্ল শূন্য (∇ × V = 0) হলে — ভুল।
iii. কার্ল ∇ × V কোনো বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণন (আবর্তন) নির্দেশ করে — সঠিক।
সুতরাং i ও iii সঠিক। -
৫৬২
কোনো অন্তরীকরণযোগ্য ভেক্টর অপেক্ষকের কার্ল হলো—
- ক ∇ × V
- খ ∇V
- গ ∇ · V
- ঘ V · ∇
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) ∇ × V
ভেক্টর অপেক্ষক V-এর কার্ল = ∇ × V (ডেল অপারেটর ও ভেক্টরের ক্রস গুণন), এটি একটি ভেক্টর রাশি।
ডাইভারজেন্স = ∇ · V (স্কেলার), গ্রেডিয়েন্ট = ∇φ (স্কেলার অপেক্ষকের ওপর, ফল ভেক্টর)।
V · ∇ = Vx(∂∂x) + Vy(∂∂y) + Vz(∂∂z) একটি স্কেলার অপারেটর, কার্ল নয়।
∇ × V = 0 হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (সংরক্ষণশীল)। -
৫৬৩
কোনো অন্তরীকরণযোগ্য স্কেলার অপেক্ষকের গ্রেডিয়েন্ট হলো—
- ক ∇ · V
- খ ∇φ
- গ ∇ × V
- ঘ ∇ · φ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) ∇φ
স্কেলার অপেক্ষক φ-এর গ্রেডিয়েন্ট = ∇φ = i(∂φ∂x) + j(∂φ∂y) + k∂φ∂z, যা একটি ভেক্টর।
গ্রেডিয়েন্টের দিক φ-এর সর্বাধিক বৃদ্ধির দিক, মান ঐ বৃদ্ধির হার; যেমন E = −∇V।
∇ · V ডাইভারজেন্স, ∇ × V কার্ল — দুটিই ভেক্টর অপেক্ষকের ওপর প্রযোজ্য।
φ স্কেলার বলে ∇ · φ লেখা অর্থহীন। -
৫৬৪
একটি ভেক্টর ক্ষেত্র B অঘূর্ণনশীল হবে যখন—
i. ∇ × B = 0
ii. ∇ × B ≠ 0
iii. ∇ · B ≠ 0
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i
- খ i ও ii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) i
ভেক্টর ক্ষেত্র অঘূর্ণনশীল হওয়ার শর্ত কার্ল শূন্য: ∇ × B = 0।
i. ∇ × B = 0 — অঘূর্ণনশীল ক্ষেত্রের শর্ত, সঠিক।
ii. ∇ × B ≠ 0 হলে ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল — ভুল।
iii. ডাইভারজেন্স দিয়ে ঘূর্ণন নির্ধারিত হয় না; ∇ · B = 0 হলে ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল — ভুল। -
৫৬৫
|A + B| = |A − B| হলে A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ হবে—
- ক 0°
- খ 90°
- গ 45°
- ঘ 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 90°
এখানে, |A + B| = |A − B|, মধ্যবর্তী কোণ θ
আমরা জানি, |A + B|2 = A2 + B2 + 2AB cosθ, |A − B|2 = A2 + B2 − 2AB cosθ
∴ A2 + B2 + 2AB cosθ = A2 + B2 − 2AB cosθ বা, 4AB cosθ = 0 বা, cosθ = 0
∴ θ = 90°
জ্যামিতিকভাবে: আয়তক্ষেত্রের দুই কর্ণ সমান, তাই সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সমান হলে বাহু দুটি পরস্পর লম্ব। -
৫৬৬
একই পাদবিন্দুবিশিষ্ট ভেক্টরসমূহকে কী বলে?
- ক সম-প্রারম্ভিক ভেক্টর
- খ সমতলীয় ভেক্টর
- গ সমরেখ ভেক্টর
- ঘ সীমাবদ্ধ ভেক্টর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) সম-প্রারম্ভিক ভেক্টর
একই পাদবিন্দু (আদি বিন্দু) থেকে শুরু হওয়া ভেক্টরসমূহকে সম-প্রারম্ভিক ভেক্টর বলে।
সমতলীয় ভেক্টর: যেসব ভেক্টর একই তলে অবস্থিত।
সমরেখ ভেক্টর: যেসব ভেক্টর একই রেখায় বা সমান্তরাল রেখায় ক্রিয়া করে।
সীমাবদ্ধ ভেক্টর: যে ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট (যেমন অবস্থান ভেক্টর); পাদবিন্দু নির্দিষ্ট না হলে স্বাধীন ভেক্টর। -
৫৬৭
A = −2B হলে, A ও B-এর ভেক্টর দুটি—
i. সদৃশ
ii. বিসদৃশ
iii. সমরেখ
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ ii ও iii
- গ i ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) ii ও iii
A = −2B অর্থাৎ A-এর মান B-এর দ্বিগুণ এবং দিক B-এর বিপরীত।
i. সদৃশ ভেক্টর একই দিকে ক্রিয়া করে (মান ভিন্ন হতে পারে); এখানে দিক বিপরীত — ভুল।
ii. বিসদৃশ ভেক্টর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে — সঠিক।
iii. একটি অপরটির স্কেলার গুণিতক হওয়ায় ভেক্টর দুটি একই/সমান্তরাল রেখায় অবস্থিত, অর্থাৎ সমরেখ — সঠিক। -
৫৬৮
P ও Q-এর স্থানাঙ্ক (3, −2, 1) এবং (3, −4, 5)। PQ-এর মান কত?
- ক 29
- খ 20
- গ 56
- ঘ 63
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 20
এখানে, P(3, −2, 1), Q(3, −4, 5)
আমরা জানি, PQ = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
∴ PQ = (3 − 3)2 + (−4 + 2)2 + (5 − 1)2 = 0 + 4 + 16 = 20 একক
PQ = 0i − 2j + 4k। -
৫৬৯
P · Q = −PQ হলে—
i. P ও Q পরস্পর সমান্তরাল
ii. P ও Q পরস্পর বিপরীতমুখী
iii. P ও Q-এর মধ্যবর্তী কোণ 0°
নিচের কোনটি সঠিক?- ক ii ও iii
- খ i ও iii
- গ i ও ii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) i ও ii
এখানে, P · Q = −PQ
আমরা জানি, P · Q = PQ cosθ
∴ PQ cosθ = −PQ বা, cosθ = −1 বা, θ = 180°
i. θ = 180° হলে ভেক্টর দুটি একই/সমান্তরাল রেখায় (বিপরীত সমান্তরাল), তাই সমান্তরাল — সঠিক।
ii. বিপরীতমুখী — সঠিক; iii. কোণ 0° নয়, 180° — ভুল। -
৫৭০
যদি A একটি ভেক্টর ক্ষেত্র হয় এবং |A|-এর একক m2 হয় তবে ∇ · (∇ × A) রাশিটির মাত্রা—
- ক m−4
- খ m−3
- গ m−2
- ঘ m−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) m−4
প্রশ্নে |A|-এর একক m2 ছাপা; উত্তর ক (m−4) মেলে একক m−2 ধরলে, তাই সেভাবে হিসাব দেখানো হলো।
এখানে, |A|-এর একক = m−2, ∇-এর একক = m−1
আমরা জানি, ∇ = i(∂∂x) + j(∂∂y) + k(∂∂z), তাই প্রতিবার ∇ প্রয়োগে একক m−1 গুণ হয়
∴ ∇ · (∇ × A)-এর একক = m−1 × m−1 × m−2 = m−4
মান হিসেবে ∇ · (∇ × A) = 0 একটি অভেদ — যেকোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স সবসময় শূন্য; তবে রাশিটির একক m−4।
একক m2 ধরলে ফল হতো m−1 × m−1 × m2 = m0 (মাত্রাহীন), যা কোনো অপশনে নেই। -
৫৭১
ভেক্টর A, B ও C এর মান যথাক্রমে 12, 15, 13 এবং A + B = C, A ও B ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক π3
- খ π4
- গ π6
- ঘ π2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) π2
এখানে, A = 12, B = 5 (ছাপায় 15), C = 13, A + B = C
আমরা জানি, C2 = A2 + B2 + 2AB cosα
∴ 169 = 144 + 25 + 2 × 12 × 5 × cosα ⇒ 120 cosα = 0 ⇒ cosα = 0 ⇒ α = π2
A2 + B2 = C2 হলে (122 + 52 = 132) লব্ধি ও উপাংশ সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, তাই A ⊥ B।
B = 15 ধরলে cosα = 169 − 144 − 2252 × 12 × 15 = −0.556, α ≈ 123.7° — কোনো অপশনের সাথে মেলে না। -
৫৭২
φ একটি স্কেলার হলে ∇ × (φA) =?
- ক (∇φ) × A + φ(∇ × A)
- খ φ∇ × A
- গ ∇ · (φ × A)
- ঘ কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) (∇φ) × A + φ(∇ × A)
স্কেলার ও ভেক্টরের গুণফলের কার্ল: ∇ × (φA) = (∇φ) × A + φ(∇ × A)।
এটি গুণের অন্তরজের নিয়মের (product rule) মতো — একবার φ-কে, একবার A-কে অন্তরীকরণ করা হয়।
শুধু φ(∇ × A) লিখলে (∇φ) × A পদটি বাদ পড়ে; φ ধ্রুবক হলেই কেবল সেটি সঠিক।
অনুরূপ সম্পর্ক: ∇ · (φA) = (∇φ) · A + φ(∇ · A)।
∇ · (φ × A) অর্থহীন, কারণ স্কেলার φ-এর সাথে ক্রস গুণন হয় না। -
৫৭৩
ভেক্টর A = ai − 3j + 5k এবং B = 9i + 6j − 10k। a-এর মান কত হলে ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হবে?
- ক 0
- খ −1
- গ 1
- ঘ −92
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) −92
এখানে, A = ai − 3j + 5k, B = 9i + 6j − 10k
আমরা জানি, সমান্তরাল হলে AxBx = AyBy = AzBz
∴ a9 = −36 = 5−10 = −12 ⇒ a = −92
এখানে অনুপাত ঋণাত্মক, তাই A ও B সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী (A = −(12)B)। -
৫৭৪
(i − j) এবং (i + k)-এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 30°
- খ 60°
- গ 90°
- ঘ 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 60°
এখানে, A = i − j, B = i + k
আমরা জানি, cosθ = A · BAB
∴ cosθ = 1 × 1 + (−1) × 0 + 0 × 12 × 2 = 12 ⇒ θ = 60° -
৫৭৫
যদি A = 4i + 3j − k হয় তা হলে A-এর মান নির্ণয় কর।
- ক 26
- খ 24
- গ 26
- ঘ 6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 26
এখানে, A = 4i + 3j − k
আমরা জানি, A = Ax2 + Ay2 + Az2
∴ A = 42 + 32 + (−1)2 = 16 + 9 + 1 = 26 একক -
৫৭৬
2i + 3j ভেক্টরটি X-অক্ষের সাথে কত কোণে আনত?
- ক tan−1(23)
- খ cos−1(213)
- গ sin−1(23)
- ঘ cos−1(23)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) cos−1(213)
এখানে, A = 2i + 3j, Ax = 2, Ay = 3, A = 22 + 32 = 13
আমরা জানি, X-অক্ষের সাথে কোণ α হলে দিক-কোসাইন cosα = AxA
∴ cosα = 213, α = cos−1(213) ≈ 56.3°
একই কোণ tan−1(AyAx) = tan−1(32) আকারেও লেখা যায়; Y-অক্ষের সাথে কোণ cos−1(313) = tan−1(23) ≈ 33.7°। -
৫৭৭
দুটি একক ভেক্টরের সমষ্টি একটি একক ভেক্টর। এদের বিয়োগফল কত?
- ক 2
- খ 3
- গ 4
- ঘ 7
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 3
এখানে, a = b = 1, লব্ধি R = |a + b| = 1
আমরা জানি, R2 = a2 + b2 + 2ab cosθ এবং |a − b| = a2 + b2 − 2ab cosθ
∴ 1 = 1 + 1 + 2cosθ ⇒ cosθ = −12 ⇒ θ = 120°
∴ |a − b| = 1 + 1 − 2 × cos120° = 1 + 1 + 1 = 3 -
৫৭৮
C = A − B ভেক্টরটির মান (A + B)। A এবং B ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ—
- ক 0
- খ π2
- গ π
- ঘ 2π
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) π
এখানে, |C| = |A − B| = A + B
আমরা জানি, |A − B|2 = A2 + B2 − 2AB cosθ
∴ (A + B)2 = A2 + B2 − 2AB cosθ ⇒ 2AB = −2AB cosθ ⇒ cosθ = −1 ⇒ θ = π
বিয়োগফলের মান সর্বোচ্চ (A + B) হয় যখন ভেক্টর দুটি বিপরীতমুখী; যোগফলের মান সর্বোচ্চ (A + B) হয় θ = 0 হলে। -
৫৭৯
(a · b)2 = a2b2 হলে a ও b ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 90°
- খ 60°
- গ 45°
- ঘ 0°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 0°
এখানে, (a · b)2 = a2b2
আমরা জানি, a · b = ab cosθ
∴ a2b2 cos2θ = a2b2 ⇒ cos2θ = 1 ⇒ θ = 0° (অথবা 180°)
অর্থাৎ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল; অপশনে 0° আছে। লম্ব (90°) হলে a · b = 0 হতো। -
৫৮০
একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু P = i − j + k এবং Q = i + j − k নির্দেশ করে তবে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
- ক 22
- খ 1
- গ 2
- ঘ 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 22
এখানে, P = i − j + k, Q = i + j − k
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = |P × Q|
∴ P × Q = i{(−1)(−1) − (1)(1)} − j{(1)(−1) − (1)(1)} + k{(1)(1) − (−1)(1)} = 0i + 2j + 2k
∴ ক্ষেত্রফল = 02 + 22 + 22 = 8 = 22 বর্গ একক
একই দুই বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হতো 12|P × Q| = 2।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।