একটি ভেক্টর রাশি V কে দুটি লম্ব উপাংশ vx এবং vy তে চিত্র অনুযায়ী বিভাজন করা হলো।θ-এর মান 0° থেকে 90° পর্যন্ত বৃদ্ধি করা হলে vx এবং vy এর মানের কীরূপ পরিবর্তন হবে?

vx কমবে, vy বাড়বে

vx বাড়বে, vy কমবে

vx বাড়বে, vy বাড়বে

vx কমবে, vy কমবে

কোনটি স্কেলার রাশি?

ডাইভারজেন্স

গ্র্যাডিয়েন্ট

ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান

HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।

৭০০ প্রশ্ন ১ম পত্র অধ্যায় ২ পাতা ৩০/৩৫

৫৮১
ভেক্টর ইসহাক স্যার

ABC সমবাহু ত্রিভুজে Q ও R-এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 0°
- খ 60°
- গ 120°
- ঘ 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: গ) 120°

চিত্রে Q = BC (B থেকে C) এবং R = CA (C থেকে A)।
দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ মাপতে হয় পাদবিন্দু একত্র করে (tail to tail); এখানে Q-এর শীর্ষে R-এর পাদবিন্দু।
C বিন্দুতে ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ 60°, তাই Q-এর দিক (C থেকে সামনে বাড়ানো) ও R-এর মধ্যবর্তী কোণ = 180° − 60° = 120°।
সমবাহু ত্রিভুজে ক্রমান্বয়ে সাজানো যেকোনো দুই বাহু-ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ 120° এবং P + Q + R = 0।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৮২
ভেক্টর ইসহাক স্যার

A × B =?
- ক AB cosθ
- খ AB sinθ
- গ −B × A
- ঘ B × A
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: গ) −B × A

ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মানে না: A × B = −B × A (anti-commutative)।
A × B = AB sinθ n একটি ভেক্টর; শুধু AB sinθ হলো এর মান, আর AB cosθ হলো স্কেলার গুণফল A · B।
স্কেলার গুণন বিনিময় সূত্র মানে: A · B = B · A।
n-এর দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ধারিত হয়।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৮৩
ভেক্টর ইসহাক স্যার

|A × B|² = নিচের কোনটি?
- ক A²B² − (A · B)²
- খ A²B² − 2A · B
- গ A²B² − 2AB sinθ
- ঘ A²B² − 2AB cosθ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) A²B² − (A · B)²

এখানে, |A × B| = AB sinθ, A · B = AB cosθ
আমরা জানি, sin²θ = 1 − cos²θ
∴ |A × B|² = A²B² sin²θ = A²B² − A²B² cos²θ = A²B² − (A · B)²
এটি ল্যাগ্রাঞ্জের অভেদ নামে পরিচিত: |A × B|² + (A · B)² = A²B²।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৮৪
ভেক্টর ইসহাক স্যার

চিত্রে কর্ণদ্বয় হচ্ছে AC = i ও BD = j

AB ভেক্টরের সঠিক রূপ কোনটি?
- ক i + j4
- খ i − j2
- গ i + j2
- ঘ j − i2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: খ) i − j2

এখানে, AC = i, BD = j (ABCD সামান্তরিক)
আমরা জানি, AC = AB + BC এবং BD = BC − AB (কারণ AD = BC), তাই AC − BD = 2AB
∴ AB = AC − BD2 = i − j2
চিত্রেও দেখা যায়: কর্ণদ্বয় মধ্যবিন্দু O-তে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, AB = AO + OB = (12)AC − (12)BD।
একইভাবে BC = AC + BD2 = i + j2।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৮৫
ভেক্টর ইসহাক স্যার

চিত্রে কর্ণদ্বয় হচ্ছে AC = i ও BD = j

ABCD সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল কত?
- ক 0.5 একক
- খ 1.0 একক
- গ 1.5 একক
- ঘ 2.0 একক
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) 0.5 একক

এখানে, কর্ণ AC = i, BD = j
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = 12|AC × BD|
∴ ক্ষেত্রফল = 12|i × j| = 12|k| = 0.5 বর্গ একক
বাহু দিয়ে যাচাই: |AB × BC| = |{i − j2} × {i + j2}| = 14|2k| = 0.5।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৮৬
ভেক্টর ইসহাক স্যার

P ও Q ভেক্টরদ্বয় লম্ব হওয়ার শর্ত কোনটি?
- ক P · Q = 0
- খ P · Q = 1
- গ P × Q = 0
- ঘ P × Q = 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) P · Q = 0

দুটি ভেক্টর লম্ব হওয়ার শর্ত: P · Q = PQ cos90° = 0।
সমান্তরাল (বা বিপরীত সমান্তরাল) হওয়ার শর্ত: P × Q = 0, অর্থাৎ P_xQ_x = P_yQ_y = P_zQ_z।
P · Q = PQ হয় সমান্তরাল অবস্থায়; P · Q = 1 বা P × Q = 1 কোনো আদর্শ শর্ত নয়।
লম্ব একক ভেক্টরের উদাহরণ: i · j = j · k = k · i = 0।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৮৭
ভেক্টর ইসহাক স্যার

A = (px + y)i + (y − 2z)j + (x + 3z)k ভেক্টরটি সলিনয়েডাল হবে যদি p =
- ক 2
- খ 4
- গ 3
- ঘ −4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ঘ) −4

এখানে, A = (px + y)i + (y − 2z)j + (x + 3z)k
আমরা জানি, সলিনয়েডাল হলে ∇ · A = ∂A_x∂x + ∂A_y∂y + ∂A_z∂z = 0
∴ ∇ · A = p + 1 + 3 = 0 ⇒ p = −4
ডাইভারজেন্স শূন্য মানে ক্ষেত্রে কোনো উৎস বা শোষক sourcesink নেই; কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (irrotational)।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৮৮
ভেক্টর ইসহাক স্যার

(i × k) × (j × k) =
- ক 0
- খ s
- গ i
- ঘ k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ঘ) k

এখানে, i × k = −j এবং j × k = i
আমরা জানি, j × i = −k
∴ (i × k) × (j × k) = (−j) × i = −(j × i) = −(−k) = k
চক্রক্রম (i, j, k, i …) মেনে গুণ করলে ফল ধনাত্মক (i × j = k, j × k = i, k × i = j), উল্টো ক্রমে ঋণাত্মক।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৮৯
ভেক্টর ইসহাক স্যার

Y-অক্ষের সাথে r = 4i − 4k ভেক্টরের উৎপন্ন কোণ হবে—
- ক 0°
- খ 45°
- গ 90°
- ঘ 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: গ) 90°

এখানে, r = 4i + 0j − 4k, r = 16 + 0 + 16 = 42
আমরা জানি, Y-অক্ষের সাথে কোণ β হলে cosβ = r_yr
∴ cosβ = 042 = 0 ⇒ β = 90°
j উপাংশ নেই বলে ভেক্টরটি XZ তলে অবস্থিত, তাই Y-অক্ষের সাথে লম্ব। X-অক্ষের সাথে কোণ 45°, Z-অক্ষের সাথে 135°।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৯০
ভেক্টর ইসহাক স্যার

একটি ভেক্টর রাশি V কে দুটি লম্ব উপাংশ v_x এবং v_y তে চিত্র অনুযায়ী বিভাজন করা হলো।

θ-এর মান কত হলে v_x এবং v_y উপাংশগুলো সমান হবে?
- ক 45°
- খ 90°
- গ 120°
- ঘ 150°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) 45°

এখানে, v_x = V cosθ, v_y = V sinθ (θ = V ও X-অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ)
আমরা জানি, v_x = v_y হলে V cosθ = V sinθ
∴ tanθ = 1 ⇒ θ = 45°
θ = 90° হলে v_x = 0, সম্পূর্ণ ভেক্টরটি Y বরাবর।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৯১
ভেক্টর ইসহাক স্যার

একটি ভেক্টর রাশি V কে দুটি লম্ব উপাংশ v_x এবং v_y তে চিত্র অনুযায়ী বিভাজন করা হলো।

θ-এর মান 0° থেকে 90° পর্যন্ত বৃদ্ধি করা হলে v_x এবং v_y এর মানের কীরূপ পরিবর্তন হবে?
- ক v_x কমবে, v_y বাড়বে
- খ v_x বাড়বে, v_y কমবে
- গ v_x বাড়বে, v_y বাড়বে
- ঘ v_x কমবে, v_y কমবে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) v_x কমবে, v_y বাড়বে

এখানে, v_x = V cosθ, v_y = V sinθ (θ = V ও X-অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ)
θ = 0° থেকে 90° পর্যন্ত বাড়লে cosθ 1 থেকে 0-তে কমে, sinθ 0 থেকে 1-এ বাড়ে।
∴ v_x কমবে (V থেকে 0) এবং v_y বাড়বে (0 থেকে V)।
যেকোনো θ-তে v_x² + v_y² = V² অপরিবর্তিত থাকে।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৯২
ভেক্টর ইসহাক স্যার

P ও Q ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে (P + Q) × (P − Q) =?
- ক (P × Q)
- খ −2(Q × P)
- গ Q × P
- ঘ 2(Q × P)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ঘ) 2(Q × P)

এখানে, P ⊥ Q, P × P = Q × Q = 0
আমরা জানি, P × Q = −Q × P
∴ (P + Q) × (P − Q) = P × P − P × Q + Q × P − Q × Q = 0 + Q × P + Q × P − 0 = 2(Q × P)
লম্ব হওয়ায় এর মান 2PQ sin90° = 2PQ; −2(Q × P) = 2(P × Q) হলো বিপরীত দিকের ভেক্টর।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৯৩
ভেক্টর ইসহাক স্যার

একটি কণার ওপর F = (2i + 2j + k) N বল প্রয়োগে কণাটির সরণ r = (6i − 3j − 2k) m হয়। প্রয়োগকৃত বল কর্তৃক সম্পাদিত কাজের পরিমাণ হবে—
- ক 20 জুল
- খ 4 জুল
- গ (8i − j − k) জুল
- ঘ (−4i + 5j + 3k) জুল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: খ) 4 জুল

এখানে, F = (2i + 2j + k) N, r = (6i − 3j − 2k) m
আমরা জানি, W = F · r = F_xr_x + F_yr_y + F_zr_z
∴ W = (2 × 6) + (2 × −3) + (1 × −2) = 12 − 6 − 2 = 4 J
কাজ স্কেলার রাশি, তাই i, j, k যুক্ত ফল (ভেক্টর) কাজ হতে পারে না।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৯৪
ভেক্টর ইসহাক স্যার

একজন মাঝি স্রোতের বিপরীতে O বিন্দুতে রশি বেঁধে অনুভূমিকের সাথে θ কোণে নৌকাটিকে T বলে সামনের দিকে টানছে। রশির দৈর্ঘ্য OA হলে—
i. হাল দ্বারা T cosθ প্রশমিত হয়
ii. রশির দৈর্ঘ্য OB হলে নৌকা অপেক্ষাকৃত দ্রুত চলবে
iii. T sinθ-এর মান কম হলে নৌকা সামনের দিকে বেশি গতিশীল হবে
নিচের কোনটি সঠিক?
- ক i ও ii
- খ i ও iii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: গ) ii ও iii

গুণ টানার সময় টান T-কে দুটি উপাংশে ভাগ করা যায়: নৌকার গতির দিকে (অনুভূমিক) T cosθ এবং তার লম্ব দিকে T sinθ।
i. ভুল — T cosθ নৌকাকে সামনে এগিয়ে নেয়; হাল দিয়ে প্রশমিত করা হয় লম্ব উপাংশ T sinθ, যা নৌকাকে পাড়ের দিকে টানে।
ii. সঠিক — রশি দীর্ঘ (OB > OA) হলে θ কমে, cosθ বাড়ে, ফলে সামনের দিকের উপাংশ T cosθ বড় হয় ও নৌকা দ্রুত চলে।
iii. সঠিক — T sinθ কম মানে θ ছোট, তখন T cosθ বড়, তাই নৌকা সামনের দিকে বেশি গতিশীল হয়।
এজন্য গুণ টানার রশি লম্বা রাখা হয় এবং মাস্তুলের উঁচু স্থানে বাঁধা হয়।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৯৫
ভেক্টর ইসহাক স্যার

কোনটি স্কেলার রাশি?
- ক গ্র্যাডিয়েন্ট
- খ ডাইভারজেন্স
- গ কার্ল
- ঘ সরণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: খ) ডাইভারজেন্স

ডাইভারজেন্স স্কেলার রাশি: ∇ · V = ∂V_x∂x + ∂V_y∂y + ∂V_z∂z (ভেক্টর ক্ষেত্রের ওপর ডট অপারেশন)।
গ্রেডিয়েন্ট ∇φ ভেক্টর — স্কেলার ক্ষেত্রের সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হারের দিক ও মান নির্দেশ করে।
কার্ল ∇ × V ভেক্টর — ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণন নির্দেশ করে।
সরণ ভেক্টর রাশি (মান ও দিক উভয় আছে); দূরত্ব হলো স্কেলার।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৯৬
ভেক্টর ইসহাক স্যার

(A + B) ও (A − B) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে—
- ক A = 2B
- খ 2A = B
- গ A = B
- ঘ A = 3B
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: গ) A = B

এখানে, (A + B) ⊥ (A − B)
আমরা জানি, লম্ব হলে (A + B) · (A − B) = 0
∴ A · A − A · B + B · A − B · B = A² − B² = 0 ⇒ A = B
জ্যামিতিকভাবে: সমান বাহুর সামান্তরিক (রম্বস) এর কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৯৭
ভেক্টর ইসহাক স্যার

দুটি ভেক্টর রাশির প্রত্যেকের মান 5 একক। তারা একটি বিন্দুতে 120° কোণে ক্রিয়া করে। তাদের লব্ধির মান কত?
- ক 5 unit
- খ 0 unit
- গ 25 unit
- ঘ 15 unit
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) 5 unit

এখানে, P = Q = 5 একক, মধ্যবর্তী কোণ α = 120°
আমরা জানি, R = P² + Q² + 2PQ cosα
∴ R = 25 + 25 + 2 × 5 × 5 × cos120° = 50 − 25 = 25 = 5 একক
সমান মানের দুটি ভেক্টর 120° কোণে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান প্রতিটির মানের সমান হয়।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৯৮
ভেক্টর ইসহাক স্যার

দুটি সদৃশ ভেক্টর A ও B যদি একই সময় একই বিন্দুতে ক্রিয়া করে তাহলে—
i. A · B = 0
ii. A × B = 0
iii. |A| + |B| = A + B
নিচের কোনটি সঠিক?
- ক i
- খ i ও ii
- গ ii ও iii
- ঘ i ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: গ) ii ও iii

সদৃশ ভেক্টর মানে একই দিকে ক্রিয়াশীল (সমান্তরাল) ভেক্টর, অর্থাৎ মধ্যবর্তী কোণ θ = 0°।
i. ভুল — A · B = AB cos0° = AB, শূন্য নয়।
ii. সঠিক — A × B = AB sin0° n = 0।
iii. সঠিক — |A| = A ও |B| = B, তাই |A| + |B| = A + B; সদৃশ হওয়ায় লব্ধির মানও |A + B| = A + B (সর্বোচ্চ)।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৫৯৯
ভেক্টর ইসহাক স্যার

A = 2i + xj − 4k ও B = yi + 6j − 8k। x ও y-এর মান কত হলে A ও B পরস্পর সমান্তরাল হবে?
- ক x = 3, y = 4
- খ x = 4, y = 3
- গ x = 6, y = 2
- ঘ x = 12, y = 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) x = 3, y = 4

এখানে, A = 2i + xj − 4k, B = yi + 6j − 8k
আমরা জানি, সমান্তরাল হলে A_xB_x = A_yB_y = A_zB_z
∴ 2y = x6 = −4−8 = 12 ⇒ y = 4, x = 3
তখন A = (12)B, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি একই দিকে সমান্তরাল।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →
৬০০
ভেক্টর ইসহাক স্যার

দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল সম্পর্কে বলা যায়—
i. ক্রস গুণফল একটি ভেক্টর রাশি
ii. ক্রস গুণফলের দিক ভেক্টরদ্বয় যে সমতলে তার লম্ব বরাবর
iii. ক্রস গুণফল বিনিময় সূত্র মেনে চলে
নিচের কোনটি সঠিক?
- ক i ও ii
- খ ii ও iii
- গ i ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক) i ও ii

i. সঠিক — A × B = AB sinθ n; এর মান ও দিক দুটোই আছে, তাই ক্রস গুণফল ভেক্টর রাশি (যেমন টর্ক τ = r × F)।
ii. সঠিক — A × B-এর দিক A ও B যে সমতলে আছে তার লম্ব বরাবর, ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ধারিত।
iii. সঠিক নয় — A × B = −B × A, অর্থাৎ ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না; তবে বণ্টন সূত্র A × (B + C) = A × B + A × C মানে।
ডট গুণন বিনিময় ও বণ্টন দুই সূত্রই মেনে চলে এবং ফল স্কেলার।

এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও

শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।

এক্সাম বানাও →

অন্যান্য অধ্যায়

১ভৌত জগৎ ও পরিমাপ৩৩৬টি ৩গতিবিদ্যা৬৯৩টি ৪নিউটনীয় বলবিদ্যা৮৭০টি ৫কাজ, শক্তি ও ক্ষমতা৬৮২টি ৬মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ৬৮৪টি ৭পদার্থের গাঠনিক ধর্ম৬৮৮টি ৮পর্যাবৃত্ত গতি৫৮৬টি ৯তরঙ্গ৬৪২টি

সব অধ্যায় দেখো →