ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান

HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।

1. ৫৪১

   ভেক্টর ইসহাক স্যার

   নিচের কোনটি একক ভেক্টর নির্দেশ করে?

   • ক a = AA
   • খ a = AA
   • গ a = AA²
   • ঘ a = AA
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) a = AA

   কোনো ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে ঐ ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টর পাওয়া যায়: a = AA = A|A|।
   একক ভেক্টরের মান 1 এবং এর কোনো একক বা মাত্রা নেই; এটি শুধু দিক নির্দেশ করে।
   তাই A = Aa, অর্থাৎ যেকোনো ভেক্টর = মান × ঐ দিকের একক ভেক্টর।
   ভেক্টর দিয়ে ভাগ সংজ্ঞায়িত নয়, তাই AA বা AA অর্থহীন; আর AA²-এর মান 1A, যা 1 নয়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

2. ৫৪২

   ভেক্টর ইসহাক স্যার

   
   ওপরের চিত্রের আলোকে |A + B| =?

   • ক 15.81 N
   • খ 14 N
   • গ 13.23 N
   • ঘ 11.23 N
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 13.23 N

   চিত্রে B (10 N) ঋণাত্মক X-অক্ষ বরাবর এবং A (15 N) ধনাত্মক X-অক্ষের সাথে 60° কোণে, তাই A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ α = 180° − 60° = 120°।
   এখানে, A = 15 N, B = 10 N, α = 120°
   আমরা জানি, |A + B| = A² + B² + 2AB cosα
   ∴ |A + B| = 225 + 100 + 2 × 15 × 10 × cos120° = 325 − 150 = 175 = 13.23 N

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

3. ৫৪৩

   ভেক্টর ইসহাক স্যার

   দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান সর্বোচ্চ হবে যখন এদের মধ্যবর্তী কোণ—

   • ক 0°
   • খ 45°
   • গ 60°
   • ঘ 180°
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) 0°

   লব্ধি R = P² + Q² + 2PQ cosα; cosα-এর সর্বোচ্চ মান 1, যখন α = 0°।
   তখন R_max = (P + Q)² = P + Q, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি একই দিকে ক্রিয়া করলে লব্ধি সর্বোচ্চ।
   α = 180° হলে লব্ধি সর্বনিম্ন: R_min = |P − Q|।
   α = 90° হলে R = P² + Q²। কোণ বাড়ার সাথে সাথে লব্ধির মান কমতে থাকে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

4. ৫৪৪

   ভেক্টর ইসহাক স্যার

   ভেক্টর যোগ—
   i. বিনিময় সূত্র মেনে চলে
   ii. বণ্টন সূত্র মেনে চলে
   iii. সংযোগ সূত্র মেনে চলে
   নিচের কোনটি সঠিক?

   • ক i ও ii
   • খ ii ও iii
   • গ i ও iii
   • ঘ i, ii ও iii
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

   ভেক্টর যোগ তিনটি সূত্রই মেনে চলে।
   i. বিনিময় সূত্র: A + B = B + A — সঠিক।
   ii. বণ্টন সূত্র: m(A + B) = mA + mB (m স্কেলার) — সঠিক।
   iii. সংযোগ সূত্র: (A + B) + C = A + (B + C) — সঠিক।
   ভেক্টর বিয়োগ বিনিময় ও সংযোগ সূত্র মানে না; ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না কিন্তু বণ্টন সূত্র মানে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

5. ৫৪৫

   ভেক্টর ইসহাক স্যার

   10 N-এর একটি বলকে লম্ব উপাংশে বিভাজিত করলে OY-এর মান কত?
   

   • ক 4 N
   • খ 9 N
   • গ 12 N
   • ঘ 14 N
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) 9 N

   চিত্রে 10 N বলের অনুভূমিক উপাংশ OX = 4 N; লম্ব উপাংশ দুটির মধ্যবর্তী কোণ 90°।
   এখানে, F = 10 N, F_x = 4 N
   আমরা জানি, F² = F_x² + F_y²
   ∴ F_y = F² − F_x² = 100 − 16 = 84 = 9.17 N ≈ 9 N

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

6. ৫৪৬

   ভেক্টর ইসহাক স্যার

   7 kg ভরের একটি বস্তুর ওপর প্রযুক্ত বল F = (2i − 3j + 6k) N হলে বস্তুটি কত ত্বরণ প্রাপ্ত হবে?

   • ক 1.0 ms⁻²
   • খ 1.4 ms⁻²
   • গ 1.57 ms⁻²
   • ঘ 7.0 ms⁻²
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) 1.0 ms⁻²

   এখানে, m = 7 kg, F = (2i − 3j + 6k) N
   আমরা জানি, |F| = F_x² + F_y² + F_z² এবং a = Fm
   ∴ |F| = 4 + 9 + 36 = 49 = 7 N
   ∴ a = 77 = 1.0 ms⁻²
   ত্বরণের দিক বলের দিকেই: a = Fm = (2i − 3j + 6k7) ms⁻²।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

7. ৫৪৭

   ভেক্টর ইসহাক স্যার

   দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল 20 একক এবং এদের ভেক্টর গুণফলের মান 62 একক। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

   • ক 30°
   • খ 22°59′
   • গ 24°2′
   • ঘ 22°14′
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) 22°59′

   এখানে, AB cosθ = 20 একক, AB sinθ = 62 একক
   আমরা জানি, tanθ = |A × B|A · B = AB sinθAB cosθ
   ∴ tanθ = 6220 = 8.48520 = 0.4243
   ∴ θ = tan⁻¹(0.4243) = 22.99° ≈ 22°59′

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

8. ৫৪৮

   ভেক্টর ইসহাক স্যার

   A · B = 0 হলে নিচের কোন চিত্রটি সঠিক?

   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ)

   A · B = AB cosθ = 0 হলে (A ≠ 0, B ≠ 0) cosθ = 0, অর্থাৎ θ = 90° — ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।
   গ-এর চিত্রে A অনুভূমিক ও B উল্লম্ব, মধ্যবর্তী কোণ 90°।
   ক ও ঘ-এর চিত্রে ভেক্টর দুটি একই দিকে (θ = 0°, A · B = AB); খ-এর চিত্রে বিপরীতমুখী (θ = 180°, A · B = −AB)।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

9. ৫৪৯

   ভেক্টর ইসহাক স্যার

   A ও B পরস্পর সমান্তরাল হয় তখন—

   • ক A · B = 1
   • খ A × B = 0
   • গ A · B = 0
   • ঘ |A| × |B| = 1
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) A × B = 0

   সমান্তরাল ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ θ = 0° (বা বিপরীত সমান্তরালে 180°), তাই |A × B| = AB sinθ = 0, অর্থাৎ A × B = 0।
   এক্ষেত্রে A · B = AB cos0° = AB (1 নয়)।
   A · B = 0 হয় ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হলে।
   দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত: A × B = 0 অথবা A_xB_x = A_yB_y = A_zB_z।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

10. ৫৫০

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    i এবং j যে তলে অবস্থিত সেই তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর হলো—

    • ক (j × k)
    • খ (i × j)
    • গ (k × i)
    • ঘ (i × k)
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) (i × j)

    i ও j xy-তলে অবস্থিত; এই তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর k, এবং i × j = k।
    j × k = i (yz-তলের লম্ব), k × i = j (zx-তলের লম্ব), i × k = −j।
    সাধারণভাবে দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল সবসময় ঐ ভেক্টরদ্বয়ের তলের ওপর লম্ব।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

11. ৫৫১

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    A ও B দুটি ভেক্টর—
    i. A × B = B × A
    ii. A + B = B + A
    iii. A · B = B · A
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i ও ii
    • খ i ও iii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) ii ও iii

    i. A × B = −(B × A) — ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না, তাই ভুল।
    ii. A + B = B + A — ভেক্টর যোগ বিনিময় সূত্র মানে, সঠিক।
    iii. A · B = B · A — ডট গুণন বিনিময় সূত্র মানে (AB cosθ = BA cosθ), সঠিক।
    সুতরাং ii ও iii সঠিক।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

12. ৫৫২

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    A ও B ভেক্টরদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে θ কোণে ক্রিয়াশীল। এদের স্কেলার গুণন A · B এবং ভেক্টর গুণন A × B দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
    
    A = −B হলে A × B-এর মান 0 (শূন্য) হবে, যখন ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ—

    • ক θ = π2
    • খ θ = π
    • গ θ > π
    • ঘ θ < π2
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) θ = π

    A = −B হলে ভেক্টর দুটি বিপরীতমুখী, তাই মধ্যবর্তী কোণ θ = π (180°)।
    তখন |A × B| = AB sinπ = 0।
    θ = π2 হলে ক্রস গুণফল সর্বোচ্চ (AB), θ = 0 বা π হলে শূন্য।
    দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ 0 থেকে π-এর মধ্যে ধরা হয়, তাই θ > π বিবেচ্য নয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

13. ৫৫৩

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    A ও B ভেক্টরদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে θ কোণে ক্রিয়াশীল। এদের স্কেলার গুণন A · B এবং ভেক্টর গুণন A × B দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
    
    চিত্রের A ও B ভেক্টর দুটি—
    i. ডট গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে
    ii. ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে
    iii. ডট ও ক্রস গুণন উভয়ই বিনিময় সূত্র মেনে চলে
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i
    • খ i ও ii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) i

    i. A · B = AB cosθ = BA cosθ = B · A — ডট গুণন বিনিময় সূত্র মানে, সঠিক।
    ii. A × B = −(B × A) — মান সমান হলেও দিক বিপরীত, তাই ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না; ভুল।
    iii. ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র না মানায় "উভয়ই মানে" কথাটি ভুল।
    সুতরাং শুধু i সঠিক।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

14. ৫৫৪

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    P ও Q ভেক্টর দ্বারা গঠিত তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর—

    • ক |P × Q|P × Q
    • খ P × Q|P · Q|
    • গ P × Q|P × Q|
    • ঘ |P · Q||P × Q|
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) P × Q|P × Q|

    P × Q ভেক্টরটি P ও Q-এর তলের ওপর লম্ব; একে তার মান দিয়ে ভাগ করলে লম্ব একক ভেক্টর পাওয়া যায়:
    n = P × Q|P × Q| = P × QPQ sinθ।
    ক-তে লব ও হর উল্টো (ভেক্টর দিয়ে ভাগ সংজ্ঞায়িত নয়); খ-এর হরে ডট গুণফল থাকায় মান 1 হয় না; ঘ একটি স্কেলার।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

15. ৫৫৫

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    i ও j দুইটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল কোনটি?

    • ক i × j = j × i
    • খ i × j = k
    • গ i × j = −k
    • ঘ i × j = 0
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) i × j = k

    i × j = |i||j| sin90° k = k — ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে i থেকে j-এর দিকে ঘোরালে স্ক্রু +z দিকে অগ্রসর হয়।
    j × i = −k, তাই i × j ≠ j × i।
    একই একক ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য: i × i = j × j = k × k = 0।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

16. ৫৫৬

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    চিত্রে A ও B যে তলে আছে POQ সেই তলের ওপর লম্ব। A × B এর দিক—
    

    • ক OP-এর দিকে
    • খ OQ-এর দিকে
    • গ A-এর সমান্তরালে
    • ঘ B-এর সমান্তরালে
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) OQ-এর দিকে

    A × B-এর দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ধারিত হয়: A থেকে ক্ষুদ্রতর কোণ θ দিয়ে B-এর দিকে ঘোরালে স্ক্রু যেদিকে অগ্রসর হয়।
    চিত্রে A থেকে B-এর দিকে ঘূর্ণন ওপর (P) থেকে দেখলে ঘড়ির কাঁটার দিকে, তাই স্ক্রু নিচের দিকে অর্থাৎ OQ-এর দিকে অগ্রসর হয়।
    B × A হতো উল্টো অর্থাৎ OP-এর দিকে।
    ক্রস গুণফল কখনো A বা B-এর সমান্তরাল নয়, সবসময় উভয়ের ওপর লম্ব।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

17. ৫৫৭

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত দুটি বাহু যদি দুটি ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত হয় তবে এর ক্ষেত্রফল—

    • ক ভেক্টর দুটির যোগফলের সমান
    • খ ভেক্টর দুটির বিয়োগফলের সমান
    • গ ভেক্টর দুটির স্কেলার গুণফলের সমান
    • ঘ ভেক্টর দুটির ভেক্টর গুণফলের সমান
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) ভেক্টর দুটির ভেক্টর গুণফলের সমান

    সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দুটি A ও B হলে ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা = A × B sinθ = |A × B|।
    অর্থাৎ ক্ষেত্রফল ভেক্টর দুটির ভেক্টর গুণফলের মানের সমান।
    ঐ বাহু দুটি দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12|A × B|।
    তিনটি সন্নিহিত বাহু A, B, C হলে সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন = A · (B × C)।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

18. ৫৫৮

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    কোনো গতিশীল কণার কোনো মুহূর্তের অবস্থান ভেক্টর r = i cos 5t + j sin 5t
    কণার তাৎক্ষণিক বেগ v হবে—

    • ক 5(j cos 5t − i sin 5t)
    • খ (j cos 5t + i sin 5t)
    • গ 5(i cos 5t + j sin 5t)
    • ঘ (j cos 5t + i sin 5t)
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) 5(j cos 5t − i sin 5t)

    এখানে, r = i cos5t + j sin5t
    আমরা জানি, v = drdt
    ∴ v = i(−5 sin5t) + j(5 cos5t) = 5(j cos5t − i sin5t)
    v · r = −5 sin5t cos5t + 5 sin5t cos5t = 0, অর্থাৎ বেগ অবস্থান ভেক্টরের লম্ব — কণাটি 1 একক ব্যাসার্ধের বৃত্তে ঘুরছে, দ্রুতি |v| = 5 একক।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

19. ৫৫৯

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    কোনো গতিশীল কণার কোনো মুহূর্তের অবস্থান ভেক্টর r = i cos 5t + j sin 5t
    r ভেক্টরের ক্ষেত্রটি হলো—
    i. সলিনয়ডাল
    ii. অঘূর্ণনশীল
    iii. ঘূর্ণনশীল
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i
    • খ i ও ii
    • গ i ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) i ও ii

    এখানে, r = i cos5t + j sin5t; উপাংশগুলো শুধু t-এর অপেক্ষক, x, y, z-এর ওপর নির্ভর করে না।
    আমরা জানি, ∇ · r = ∂r_x∂x + ∂r_y∂y + ∂r_z∂z
    ∴ ∇ · r = ∂(cos5t)∂x + ∂(sin5t)∂y + 0 = 0 — ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল (i সঠিক)।
    ∴ ∇ × r = i(0 − 0) − j(0 − 0) + k(∂(sin5t)∂x − ∂(cos5t)∂y) = 0 — ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (ii সঠিক, iii ভুল)।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

20. ৫৬০

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    কোনটি অপারেটর নয়?

    • ক sinθ
    • গ log
    • ঘ ddx
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) sinθ

    sinθ কোনো অপারেটর নয়, এটি θ কোণের ওপর sin অপারেটর প্রয়োগের ফলাফল (একটি সংখ্যা/অপেক্ষক)।
    অপারেটর হলো এমন গাণিতিক চিহ্ন যা কোনো রাশির ওপর প্রয়োগ করলে নতুন রাশি পাওয়া যায় — যেমন sin, cos, log, , ddx, ∫, ∇।
    বর্গমূল অপারেটর, log লগারিদম অপারেটর, ddx অন্তরীকরণ অপারেটর।
    ∇ = i(∂∂x) + j(∂∂y) + k∂∂z হলো ভেক্টর অপারেটর (ডেল/নাবলা)।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

অন্যান্য অধ্যায়

সব অধ্যায় দেখো →