ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান

HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।

1. ৫০১

   ভেক্টর মেডিকেল ভর্তি ২০০৯

   নিম্নের কোনটি স্কেলার রাশি?

   • ক তড়িৎ প্রাবল্য
   • খ তড়িৎ বিভব
   • গ ভরবেগ
   • ঘ বেগ
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) তড়িৎ বিভব

   তড়িৎ বিভব স্কেলার রাশি: অসীম থেকে একক ধনাত্মক আধানকে কোনো বিন্দুতে আনতে কৃত কাজ, V = Wq = kqr, একক V (= JC⁻¹)। বিভবের শুধু মান আছে, দিক নেই; একাধিক আধানের বিভব বীজগাণিতিকভাবে যোগ হয়।
   তড়িৎ প্রাবল্য E = Fq ভেক্টর (একক NC⁻¹ বা Vm⁻¹), E = −dVdr; ভরবেগ p = mv ভেক্টর; বেগ ভেক্টর।
   অন্যান্য স্কেলার: কাজ, শক্তি, ভর, তাপমাত্রা, চাপ, বিভব শক্তি, তড়িৎ আধান, ধারকত্ব।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

2. ৫০২

   ভেক্টর ডেন্টাল ২০০৮

   এক ব্যক্তি 3 ms⁻¹ বেগে দৌড়াচ্ছে। বৃষ্টি লম্বালম্বি ভাবে 3 ms⁻¹ বেগে পড়ছে। বৃষ্টি থেকে বাচতে হলে ঐ ব্যক্তিকে নিম্নের কত ডিগ্রি কোণে ছাতা ধরতে হবে?

   • ক 60
   • খ 30
   • গ 40
   • ঘ 45
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) 45

   এখানে, ব্যক্তির বেগ v_m = 3 ms⁻¹, বৃষ্টির বেগ v_r = 3 ms⁻¹ (উল্লম্ব)
   ব্যক্তির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ = v_r − v_m
   tanθ = v_mv_r = 33 = 1, θ = 45°
   উল্লম্বের সাথে 45° কোণে সামনের দিকে ছাতা ধরতে হবে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

3. ৫০৩

   ভেক্টর ডেন্টাল ২০০৬

   নিম্নের কোনটি রাশির জন্য সঠিক নয়?

   • ক একটি ভেক্টর রাশিকে দুই বা ততোধিক ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করা যায়
   • খ সরণ, ওজন, বেগ, ভর, ত্বরণ, বল, তড়িৎ প্রাবল্য ইত্যাদিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয়
   • গ যে সকল ভৌত রাশিকে শুধু মান দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা হয়, দিক নির্দেশের প্রয়োজন হয় না তাদেরকে স্কেলার রাশি বলে
   • ঘ সংযোগ সূত্র ভেক্টর বীজগণিতের কতিপয় সূত্রের একটি
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) সরণ, ওজন, বেগ, ভর, ত্বরণ, বল, তড়িৎ প্রাবল্য ইত্যাদিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয়

   স্কেলার রাশি: শুধু মান দ্বারা সম্পূর্ণ প্রকাশিত, ভর, দৈর্ঘ্য, সময়, তাপমাত্রা, কাজ, শক্তি, দ্রুতি, ঘনত্ব, বিভব।
   ভেক্টর রাশি: মান ও দিক উভয় প্রয়োজন, সরণ, বেগ, ত্বরণ, বল, ওজন, ভরবেগ, তড়িৎ প্রাবল্য, টর্ক।
   ভর স্কেলার রাশি, তাই "সরণ, ওজন, বেগ, ভর, ত্বরণ, বল, তড়িৎ প্রাবল্য" তালিকায় ভরকে ভেক্টর বলা সঠিক নয়।
   একটি ভেক্টরকে দুই বা ততোধিক উপাংশে বিভাজন করা যায় (লম্বাংশ Acosθ, Asinθ); ভেক্টর বীজগণিতের সূত্র: বিনিময় সূত্র A + B = B + A, সংযোগ সূত্র (A + B) + C = A + (B + C), বণ্টন সূত্র m(A + B) = mA + mB।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

4. ৫০৪

   ভেক্টর মেডিকেল ভর্তি ২০০৫

   একটি নদীতে স্রোতের বেগ 5 kmh⁻¹ এবং একটি নৌকার বেগ 10 kmh⁻¹। স্রোতের সাথে কত ডিগ্রী কোণ করে নৌকা চালালে নৌকাটি অপর পারে ঠিক সোজাসুজি পৌঁছাবে?

   • ক 150
   • খ 120
   • গ 100
   • ঘ 130
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) 120

   এখানে, u = 5 kmh⁻¹ (স্রোত), v = 10 kmh⁻¹ (নৌকা)
   সোজাসুজি পার হতে v cosθ + u = 0, cosθ = −uv = −510 = −12
   θ = 120° (স্রোতের সাথে)

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

5. ৫০৫

   ভেক্টর ডেন্টাল ২০০৫

   20 N এবং 60 N মানের দুটি ভেক্টর রাশির মধ্যকার কোণ 30° রাশি দুটির লব্ধির মান কত N হবে?

   • ক 69.77
   • খ 96.77
   • গ 77.95999999999999
   • ঘ 77.69
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 77.95999999999999

   এখানে, P = 20 N, Q = 60 N, α = 30°
   R = P² + Q² + 2PQ cosα = 400 + 3600 + 2 × 20 × 60 × 0.866 = 6078.46 = 77.96 N

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

6. ৫০৬

   ভেক্টর মেডিকেল ভর্তি ২০০৪

   কোনটি ভেক্টর রাশির বিয়োজনের সূত্র নয়?

   • ক সাধারণ
   • খ সমান্তরাল
   • গ সামান্তরিক
   • ঘ উপাংশ
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) সমান্তরাল

   ভেক্টর যোগ বা সংযোজনের সূত্র: সাধারণ সূত্র (ত্রিভুজ সূত্র), সামান্তরিক সূত্র, বহুভুজ সূত্র ও উপাংশ সূত্র; 'সমান্তরাল' নামে কোনো ভেক্টর সূত্র নেই।
   সামান্তরিক সূত্র: R = P² + Q² + 2PQ cosα, tanθ = Q sinαP + Q cosα।
   উপাংশ সূত্র: R_x = ΣA cosθ, R_y = ΣA sinθ, R = R_x² + R_y²; বিয়োগ A − B = A + (−B)।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

7. ৫০৭

   ভেক্টর মেডিকেল ভর্তি ২০০৪

   বিজ্ঞানী স্টেভিনাস কত সালে বল ত্রিভুজসূত্র প্রকাশ করেন?

   • ক 1586
   • খ 1568
   • গ 1686
   • ঘ 1768
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) 1586

   1586 সালে ডাচ বিজ্ঞানী সাইমন স্টেভিনাস বল ত্রিভুজ সূত্র (ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র) প্রকাশ করেন।
   ত্রিভুজ সূত্র: দুটি ভেক্টর ত্রিভুজের দুই সন্নিহিত বাহু দ্বারা একই ক্রমে সূচিত হলে তৃতীয় বাহু বিপরীত ক্রমে লব্ধি নির্দেশ করে।
   স্টেভিনাস আনত তলে বলের বিশ্লেষণ ও তরলস্থিতিবিদ্যাতেও (হাইড্রোস্ট্যাটিক প্যারাডক্স) অবদান রাখেন।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

8. ৫০৮

   ভেক্টর মেডিকেল ভর্তি ২০০৩

   কোনটি ভেক্টরের প্রকারভেদ নয়?

   • ক সমতলীয় ভেক্টর
   • খ সমান ভেক্টর
   • গ ঋণ ভেক্টর
   • ঘ ধন ভেক্টর
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) ধন ভেক্টর

   ভেক্টরের প্রকারভেদ: সমান ভেক্টর (মান ও দিক একই), ঋণ ভেক্টর (মান সমান, দিক বিপরীত), সমতলীয় ভেক্টর (একই তলে অবস্থিত), সমরেখ ভেক্টর, একক ভেক্টর (মান 1), শূন্য/নাল ভেক্টর (মান 0), অবস্থান ভেক্টর, সদৃশ ও বিসদৃশ ভেক্টর, স্বাধীন ও সীমাবদ্ধ ভেক্টর, অক্ষীয় ও মেরু ভেক্টর।
   'ধন ভেক্টর' বলে আলাদা কোনো প্রকার নেই, যেকোনো ভেক্টর A-এর ঋণ ভেক্টর −A, কিন্তু 'ধন ভেক্টর' শ্রেণিবিভাগে নেই।
   একক ভেক্টর a = A|A|; কার্তেসীয় একক ভেক্টর i, j, k।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

9. ৫০৯

   ভেক্টর ডেন্টাল ২০০২

   নীচের কোনটি ভেক্টর রাশি নয়?

   • ক কাজ
   • খ বল
   • গ ত্বরণ
   • ঘ সরণ
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) কাজ

   কাজ W = F·s = Fs cosθ, দুটি ভেক্টরের স্কেলার (ডট) গুণফল, তাই কাজ স্কেলার রাশি; একক J, মাত্রা ML²T⁻²।
   বল, ত্বরণ ও সরণ, প্রত্যেকের মান ও দিক দুটোই আছে এবং ভেক্টর যোগের নিয়ম মেনে চলে, তাই এরা ভেক্টর।
   অন্য পরিচিত স্কেলার: শক্তি, ক্ষমতা, ভর, সময়, তাপমাত্রা, ঘনত্ব, চাপ, বিভব; ভেক্টর: বেগ, ভরবেগ, টর্ক, তড়িৎ ক্ষেত্র, কৌণিক বেগ।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

10. ৫১০

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    কোন দুটি ভেক্টর রাশি?

    • ক গতিশক্তি, বেগ
    • খ তড়িৎ বিভব, ত্বরণ
    • গ কেন্দ্রমুখী ত্বরণ, তাপমাত্রা
    • ঘ তড়িৎ ক্ষেত্র, বল
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) তড়িৎ ক্ষেত্র, বল

    তড়িৎ ক্ষেত্র (E = Fq) ও বল (F = ma) — দুটিরই মান ও দিক আছে, তাই দুটিই ভেক্টর রাশি।
    গতিশক্তি, তড়িৎ বিভব ও তাপমাত্রা স্কেলার রাশি — শুধু মান আছে, দিক নেই।
    বেগ, ত্বরণ ও কেন্দ্রমুখী ত্বরণ ভেক্টর রাশি; তাই অন্য প্রতিটি জোড়ায় একটি স্কেলার ও একটি ভেক্টর।
    অন্যান্য ভেক্টর রাশি: সরণ, ভরবেগ, টর্ক, কৌণিক ভরবেগ, চৌম্বক ক্ষেত্র; স্কেলার: ভর, কাজ, শক্তি, ক্ষমতা, চাপ।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

11. ৫১১

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ θ এবং A-এর দিকে একটি একক ভেক্টর a হলে A-এর ওপর B-এর লম্ব অভিক্ষেপ হলো—
    i. A cosθ
    ii. B cosθ
    iii. B · a
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i
    • খ ii
    • গ i ও ii
    • ঘ ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) ii ও iii

    A-এর ওপর B-এর লম্ব অভিক্ষেপ = B cosθ = B · a, তাই ii ও iii সঠিক।
    i. A cosθ হলো B-এর ওপর A-এর অভিক্ষেপ — প্রশ্নের চাওয়া অভিক্ষেপ নয়।
    ii. B-এর পাদবিন্দু ও শীর্ষবিন্দু থেকে A-এর ওপর লম্ব টানলে যে অংশ কাটে তার দৈর্ঘ্য B cosθ।
    iii. B · a = B × 1 × cosθ = B cosθ, কারণ |a| = 1; তাই ii ও iii একই রাশি।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

12. ৫১২

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    যদি দুটি সমান ভেক্টরের লব্ধি এদের যেকোনো একটির সমান হয় তবে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হবে—

    • ক 0°
    • খ 180°
    • গ 90°
    • ঘ 120°
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) 120°

    এখানে, P = Q = A, লব্ধি R = A
    আমরা জানি, R² = P² + Q² + 2PQ cosα
    ∴ A² = A² + A² + 2A² cosα, বা cosα = −12
    ∴ α = 120°
    দুটি সমান ভেক্টর 60° কোণে থাকলে লব্ধি A3, 90°-এ A2, 120°-এ A এবং 180°-এ শূন্য।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

13. ৫১৩

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    একটি লন রোলার ঠেলা বা টানার সময় এর হাতলে অনুভূমিকের সাথে 30° কোণে 19.6 N বল প্রয়োগ করলে এর টানা অপেক্ষাকৃত সহজ হয় কারণ এর ওজন তখন কমে—

    • ক 0.5 kg
    • খ 1 kg
    • গ 3 kg
    • ঘ 9.8 kg
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 1 kg

    এখানে, F = 19.6 N, অনুভূমিকের সাথে কোণ θ = 30°, g = 9.8 m s⁻²
    আমরা জানি, টানার সময় বলের উল্লম্ব উপাংশ F_y = F sinθ ওপরের দিকে কাজ করে, এবং ওজনের হ্রাস = F_yg
    ∴ F_y = 19.6 × sin30° = 19.6 × 0.5 = 9.8 N
    ∴ ওজনের হ্রাস = 9.89.8 = 1 kg (অর্থাৎ 1 kg-wt)
    ঠেলার সময় উল্লম্ব উপাংশ নিচের দিকে কাজ করে, তাই তখন কার্যকর ওজন সমপরিমাণ বাড়ে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

14. ৫১৪

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    চিত্রানুসারে কোনটি সঠিক?
    

    • ক R = P + Q
    • খ P = R + Q
    • গ Q = R + P
    • ঘ P + Q + R = 0
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) P = R + Q

    চিত্রে R হলো A থেকে B, Q হলো B থেকে C এবং P হলো A থেকে C।
    ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রে AB + BC = AC, অর্থাৎ R + Q = P।
    ত্রিভুজের দুটি বাহু একই ক্রমে নিলে তৃতীয় বাহু বিপরীত ক্রমে তাদের লব্ধি নির্দেশ করে।
    তিনটি ভেক্টর একই ক্রমে (ঘুরে আসা ক্রমে) সাজানো থাকলে যোগফল শূন্য হতো; এখানে P বিপরীত ক্রমে বলে P + Q + R ≠ 0।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

15. ৫১৫

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    A = 2i + j − 3k ও B = 4j − k ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফল কত?

    • ক 3
    • খ 7
    • গ 9
    • ঘ 11
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 7

    এখানে, A = 2i + j − 3k, B = 0i + 4j − k
    আমরা জানি, A · B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z
    ∴ A · B = (2 × 0) + (1 × 4) + (−3 × −1) = 0 + 4 + 3 = 7
    স্কেলার গুণফল একটি স্কেলার রাশি; A · B = AB cosθ।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

16. ৫১৬

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    r = xi + yj + zk হলে ∇ · r কত?

    • ক 1
    • খ 2
    • গ 3
    • ঘ 4
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 3

    এখানে, r = xi + yj + zk
    আমরা জানি, ∇ · r = ∂x∂x + ∂y∂y + ∂z∂z
    ∴ ∇ · r = 1 + 1 + 1 = 3
    অবস্থান ভেক্টরের ডাইভারজেন্স 3 (ধনাত্মক), আর কার্ল ∇ × r = 0, অর্থাৎ r অঘূর্ণনশীল।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

17. ৫১৭

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    চিত্রটি একটি ভেক্টর ক্ষেত্রে ডাইভারজেন্স হলে কোনটি সঠিক?
    

    • ক ∇ × V = 0
    • খ ∇ · V = 0
    • গ ∇ · V = +ve
    • ঘ ∇ · V = −ve
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) ∇ · V = +ve

    চিত্রে সব তীর বৃত্তের বাইরের দিকে — ক্ষেত্ররেখা বিন্দুটি থেকে বেরিয়ে যাচ্ছে, তাই এটি উৎস (source) এবং ∇ · V ধনাত্মক।
    ∇ · V > 0: উৎস, নির্গত ফ্লাক্স আগত ফ্লাক্সের চেয়ে বেশি।
    ∇ · V < 0: সিঙ্ক (sink), তীর ভেতরের দিকে মুখ করা থাকে।
    ∇ · V = 0: সলিনয়ডাল ক্ষেত্র, আগত ও নির্গত ফ্লাক্স সমান; ∇ × V = 0 হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (irrotational)।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

18. ৫১৮

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    যদি C = A × B এবং D = B × A হয় তা হলে C এবং D-এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

    • ক 90°
    • খ 0°
    • গ 180°
    • ঘ 45°
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 180°

    ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মানে না: B × A = −(A × B)।
    তাই D = −C — মান সমান, দিক ঠিক বিপরীত, ফলে মধ্যবর্তী কোণ 180°।
    A × B-এর দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ধারিত হয়; গুণের ক্রম উল্টালে দিক উল্টে যায়।
    ডট গুণন বিনিময় সূত্র মানে: A · B = B · A।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

19. ৫১৯

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    ∇ · V = 0 হলে—
    i. কোনো পদার্থে আগত ও নির্গত ফ্লাক্স সমান হয়
    ii. তরল অসংকোচনীয় হয়
    iii. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল
    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i ও ii
    • খ i ও iii
    • গ ii ও iii
    • ঘ i, ii ও iii
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

    তিনটি বিবৃতিই সঠিক।
    i. ∇ · V হলো একক আয়তন থেকে নিট নির্গত ফ্লাক্স; শূন্য হলে আগত ও নির্গত ফ্লাক্স সমান।
    ii. প্রবাহী বেগক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য মানে কোথাও তরল জমছে বা কমছে না — তরলটি অসংকোচনীয়।
    iii. যে ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য তাকে সলিনয়ডাল ক্ষেত্র বলে; যেমন চৌম্বক ক্ষেত্র (∇ · B = 0)।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

20. ৫২০

    ভেক্টর ইসহাক স্যার

    A ও B-কে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলা হয় যখন—

    • ক A = 4i ও B = (14)i
    • খ A = 4i ও B = 8i
    • গ A = 8i ও B = 4i
    • ঘ A = 4i ও B = 4i
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) A = 4i ও B = (14)i

    যে দুটি ভেক্টর একই দিকে ক্রিয়াশীল এবং একটির মান অপরটির মানের বিপরীত সংখ্যা (A = 1B), তাদের বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে।
    A = 4i ও B = (14)i — দুটিই +X দিকে এবং 4 × 14 = 1, তাই এরা বিপ্রতীপ।
    4i ও 8i বা 8i ও 4i শুধু সমান্তরাল (সমমুখী) ভেক্টর; 4i ও 4i সমান ভেক্টর।
    বিপরীত ভেক্টর: মান সমান কিন্তু দিক বিপরীত, যেমন A ও −A।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

অন্যান্য অধ্যায়

সব অধ্যায় দেখো →