ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান

HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।

1. ৪৬১

   ভেক্টর রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ২০২৩

   অবস্থান ভেক্টর r = xi+yj+zk-এর কার্ল (∇×r) কত?

   • ক 3
   • খ i+j+k
   • গ 0
   • ঘ x+y+z
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 0

   ∇ × r-এর নির্ণায়ক খুললে i উপাংশ = ∂z∂y − ∂y∂z = 0 − 0 = 0; একইভাবে j ও k উপাংশও 0। কারণ x, y, z প্রতিটি চলক কেবল নিজের উপরই নির্ভরশীল, অন্য চলকের সাপেক্ষে অন্তরকলজ শূন্য। ∴ ∇ × r = 0, অর্থাৎ অবস্থান ভেক্টর ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল এবং সেই সূত্রে সংরক্ষণশীলও।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

2. ৪৬২

   ভেক্টর জগন্নাথ বিশ্ববিদ্যালয় ২০২৪

   একটি সংরক্ষণশীল বল F-এর জন্য কোন সম্পর্কটি সঠিক?

   • ক ∇·F=0
   • খ ∇×F=0
   • গ ∇·F≠0
   • ঘ ∇×F≠0
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) ∇×F=0

   সংরক্ষণশীল বলের ক্ষেত্রে কাজ কেবল শুরু ও শেষ অবস্থানের উপর নির্ভর করে, পথের উপর নয়; বদ্ধ পথে মোট কাজ শূন্য। গাণিতিকভাবে এর অর্থ ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল, অর্থাৎ শর্তটি ∇ × F = 0। মনে রেখো, ∇·F = 0 হলে ক্ষেত্রটি সলিনয়েডাল (উৎস-শূন্য) হয়, যা সংরক্ষণশীলতার শর্ত নয়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

3. ৪৬৩

   ভেক্টর চট্টগ্রাম বিশ্ববিদ্যালয় ২০২৪

   কোনো ভেক্টরক্ষেত্রে ভেক্টর অপেক্ষকের ডাইভারজেন্স হলো—

   • ক ∇×∇
   • খ ∇·∇
   • গ ∇∇
   • ঘ ∇·∇
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) ∇·∇

   ডাইভারজেন্স মানে ∇ অপারেটরের সাথে ভেক্টর অপেক্ষকের ডট গুণ: ∇·V = ∂V_x∂x + ∂V_y∂y + ∂V_z∂z। ফল একটি স্কেলার, যা কোনো বিন্দু থেকে ক্ষেত্ররেখার নিট নির্গমন (উৎস না সিঙ্ক) বোঝায়। তাই ডট চিহ্নওয়ালা বিকল্পটিই সঠিক; ক্রস চিহ্নে (∇ × V) পাওয়া যায় কার্ল, যার ফল ভেক্টর।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

4. ৪৬৪

   ভেক্টর শাবিপ্রবি ২০২৪

   কোনো ভেক্টরের ডাইভারজেন্স 2(x+y+z) হলে ভেক্টরটি কী?

   • ক xi+yj+zk
   • খ x²i+y²j+zk
   • গ x²i+y²j+z²k
   • ঘ xi+y²j+z²k
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) x²i+y²j+z²k

   ডাইভারজেন্স = নিজ নিজ চলকের সাপেক্ষে উপাংশগুলোর আংশিক অন্তরকলজের যোগফল। ∇·(x²i + y²j + z²k) = ∂(x²)∂x + ∂(y²)∂y + ∂(z²)∂z = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) — চাওয়া মানের সাথে মিলে যাচ্ছে। যাচাই করো: (ক)-এর ডাইভারজেন্স 3, (খ)-এর 2x + 2y + 1, (ঘ)-এর 1 + 2y + 2z — কোনোটিই মেলে না।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

5. ৪৬৫

   ভেক্টর বিইউপি (BUP) ২০২৪

   অবস্থান ভেক্টর r=3xi+2yj+4zk-এর ডাইভারজেন্স কত?

   • ক 9
   • খ 24
   • গ 5
   • ঘ 9xyz
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) 9

   ডাইভারজেন্স = উপাংশগুলোর নিজ নিজ চলকের সাপেক্ষে আংশিক অন্তরকলজের যোগফল। ∇·r = ∂(3x)∂x + ∂(2y)∂y + ∂(4z)∂z = 3 + 2 + 4 = 9। সহজ নিয়ম: উপাংশগুলো ax, by, cz আকারের হলে ডাইভারজেন্স সরাসরি a + b + c — আলাদা করে অন্তরকলন করার দরকার নেই।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

6. ৪৬৬

   ভেক্টর রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ২০২৩

   যদি B=x²yi+y²zj+z²xk হয়, তবে (1,1,0) বিন্দুতে ∇·B-এর মান নির্ণয় কর।

   • ক 2
   • খ 1
   • গ 0
   • ঘ 6
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) 2

   ∇·B = ∂(x²y)∂x + ∂(y²z)∂y + ∂(z²x)∂z = 2xy + 2yz + 2zx। এবার (1, 1, 0) বিন্দু বসাও: 2(1)(1) + 2(1)(0) + 2(0)(1) = 2 + 0 + 0 = 2। সতর্কতা: প্রতিটি পদে কেবল নিজের চলকের সাপেক্ষে অন্তরকলন করতে হবে, বাকি চলকগুলো তখন ধ্রুবক হিসেবে থাকবে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

7. ৪৬৭

   ভেক্টর রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ২০২৩

   m-এর মান কত হলে r=(x+z³)i+(my+x³)j+(z−xy)k সলিনয়েডাল হবে?

   • ক 1
   • খ 2
   • গ −1
   • ঘ −2
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) −2

   সলিনয়েডাল হওয়ার শর্ত ∇·r = 0। এখানে ∇·r = ∂(x + z³)∂x + ∂(my + x³)∂y + ∂(z − xy)∂z = 1 + m + 1 = 2 + m। ∴ 2 + m = 0 ⇒ m = −2। খেয়াল করো, z³, x³ ও −xy পদগুলো সংশ্লিষ্ট চলকের সাপেক্ষে ধ্রুবক হওয়ায় অন্তরকলনে হারিয়ে যায়।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

8. ৪৬৮

   ভেক্টর জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় ২০২১ · রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ২০২২

   সদৃশ r=x i+y j+z k হলে এর ডাইভারজেন্স কত?

   • ক 1
   • খ 2
   • গ 3
   • ঘ 4
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 3

   ডাইভারজেন্স = উপাংশগুলোর নিজ নিজ চলকের সাপেক্ষে আংশিক অন্তরকলজের যোগফল। ∇·r = ∂x∂x + ∂y∂y + ∂z∂z = 1 + 1 + 1 = 3। ত্রিমাত্রিক স্থানে অবস্থান ভেক্টরের ডাইভারজেন্স সবসময় 3 — এটি মনে রাখার মতো একটি ফল (n মাত্রার স্থানে হতো n)।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

9. ৪৬৯

   ভেক্টর রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৯

   কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল (Curl) শূন্য হলে ক্ষেত্রটি কেমন হবে?

   • ক ঘূর্ণনশীল ও অসংরক্ষণশীল
   • খ ঘূর্ণনশীল ও সংরক্ষণশীল
   • গ অঘূর্ণনশীল ও সংরক্ষণশীল
   • ঘ অঘূর্ণনশীল ও অসংরক্ষণশীল
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) অঘূর্ণনশীল ও সংরক্ষণশীল

   কার্ল কোনো ক্ষেত্রের ঘূর্ণন-প্রবণতা মাপে। ∇ × F = 0 হলে ক্ষেত্রে কোথাও ঘূর্ণন নেই, অর্থাৎ ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (irrotational)। আবার কার্ল শূন্য হলেই F-কে একটি স্কেলার বিভবের গ্রেডিয়েন্ট আকারে লেখা যায়, ফলে বদ্ধ পথে মোট কাজ শূন্য — অর্থাৎ ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীলও।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

10. ৪৭০

    ভেক্টর চট্টগ্রাম বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৮

    অবস্থান ভেক্টর r=3xi−2yj+4zk হলে ∇·r =?

    • ক 9
    • খ 5
    • গ 10
    • ঘ 12
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 5

    ∇·r = ∂(3x)∂x + ∂(−2y)∂y + ∂(4z)∂z = 3 + (−2) + 4 = 5। ফাঁদ: j উপাংশের ঋণাত্মক চিহ্ন বাদ দিয়ে 3 + 2 + 4 = 9 করলে (ক) বেছে ভুল হবে — সহগগুলো চিহ্নসহ যোগ করতে হয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

11. ৪৭১

    ভেক্টর রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৭

    নিচের কোনটির ক্ষেত্রে ∇·V=0 সত্য?

    • ক (চিত্রভিত্তিক বিকল্প—বাইরের দিকে ক্ষেত্ররেখা)
    • খ (চিত্রভিত্তিক বিকল্প—ভেতরের দিকে ক্ষেত্ররেখা)
    • গ (চিত্রভিত্তিক বিকল্প—সমান্তরালভাবে প্রবেশ/বের হওয়া ক্ষেত্ররেখা)
    • ঘ সবগুলোই সত্য
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) (চিত্রভিত্তিক বিকল্প—সমান্তরালভাবে প্রবেশ/বের হওয়া ক্ষেত্ররেখা)

    ∇·V = 0 মানে ক্ষেত্রটি সলিনয়েডাল — কোনো বন্ধ তলের ভেতরে উৎস বা সিঙ্ক নেই, তাই যতগুলো ক্ষেত্ররেখা ঢোকে ঠিক ততগুলোই বের হয়, নিট ফ্লাক্স শূন্য। বাইরের দিকে ছড়ানো রেখা মানে উৎস (∇·V > 0) আর ভেতরের দিকে জড়ো হওয়া রেখা মানে সিঙ্ক (∇·V < 0)। তাই সমান্তরালভাবে প্রবেশ ও নির্গমনের চিত্রটিই (গ) সঠিক।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

12. ৪৭২

    ভেক্টর তপন স্যার

    নিচের কোন ভেক্টরের দিক নির্দিষ্ট নয়?

    • ক বিপ্রতীপ ভেক্টর
    • খ শূন্য ভেক্টর
    • গ সমান ভেক্টর
    • ঘ বিপরীত ভেক্টর
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) শূন্য ভেক্টর

    শূন্য বা নাল ভেক্টরের মান শূন্য, আর মান শূন্য হলে তীরটি কোন দিকে আঁকা হবে তা বলার উপায় থাকে না — তাই এর দিক অনির্দিষ্ট, গাণিতিকভাবে একে যেকোনো দিকের বলে ধরা যায়। সমান দুটি ভেক্টরের বিয়োগফলে, অর্থাৎ A + (−A) = 0 ভাবে এটি তৈরি হয়; বদ্ধ বহুভুজ বরাবর সরণের লব্ধিও নাল ভেক্টর। বাকি তিনটির দিক সুনির্দিষ্ট — ক-এর বিপ্রতীপ ভেক্টরের মান মূলটির ব্যস্ত (1A) হলেও দিক মূল ভেক্টরের দিকেই থাকে, গ-এর সমান ভেক্টরের মান ও দিক দুটোই মূলটির সমান, আর ঘ-এর বিপরীত ভেক্টরের দিক মূলটির ঠিক ১৮০° উল্টো — সেটিও একটি নির্দিষ্ট দিক।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

13. ৪৭৩

    ভেক্টর চট্টগ্রাম বিশ্ববিদ্যালয় ২০২৩

    F = 8i − 2j এবং r = 6i + 8k হলে F·r এর মান কত হবে?

    • ক 48
    • খ 32
    • গ 8
    • ঘ 6
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) 48

    এখানে, F = 8i − 2j + 0k, r = 6i + 0j + 8k
    F·r = (8)(6) + (−2)(0) + (0)(8) = 48

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

14. ৪৭৪

    ভেক্টর চট্টগ্রাম বিশ্ববিদ্যালয় ২০২২

    A = 2i + 3j এবং B = ai + 2j দুটি ভেক্টর। a এর কোন মানের জন্য ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?

    • ক 8
    • খ 7
    • গ −3
    • ঘ 12
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) −3

    এখানে, A = 2i + 3j, B = ai + 2j
    লম্ব হলে A·B = 0 ⇒ 2a + 3 × 2 = 0 ⇒ 2a = −6 ⇒ a = −3
    দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে ক্রস গুণফল শূন্য, লম্ব হলে ডট গুণফল শূন্য।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

15. ৪৭৫

    ভেক্টর চট্টগ্রাম বিশ্ববিদ্যালয় ২০২২

    যদি A = −(67)i + (37)j + (27)k হয়, তবে A এর মান কত?

    • ক 7
    • খ −7
    • গ 1
    • ঘ −1
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 1

    এখানে, A = −(67)i + (37)j + (27)k
    |A| = (67)² + (37)² + (27)² = 36 + 9 + 449 = 4949 = 1
    মান 1 হওয়ায় এটি একক ভেক্টর; ভেক্টরের মান কখনো ঋণাত্মক হয় না।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

16. ৪৭৬

    ভেক্টর চট্টগ্রাম বিশ্ববিদ্যালয় ২০২২

    নিচের কোনটি সঠিক?

    • ক i × k = j
    • খ i × k = 1
    • গ i × k = 0
    • ঘ i × k = −j
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) i × k = −j

    একক ভেক্টরের ক্রস গুণন: i × j = k, j × k = i, k × i = j (চক্রাকার ক্রম)
    ক্রম উল্টালে চিহ্ন উল্টায়: i × k = −(k × i) = −j
    i × i = j × j = k × k = 0; ডট গুণনে i·i = 1, i·k = 0।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

17. ৪৭৭

    ভেক্টর চট্টগ্রাম বিশ্ববিদ্যালয় ২০২২

    P = 3i − 2j + 6k ভেক্টর রাশিটির মান কত?

    • ক 11
    • খ 7
    • গ 36
    • ঘ 37
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 7

    এখানে, P = 3i − 2j + 6k
    |P| = 3² + (−2)² + 6² = 9 + 4 + 36 = 49 = 7

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

18. ৪৭৮

    ভেক্টর AFMC (আর্মড ফোর্সেস মেডিকেল) ২০২৩

    একটি লন রোলারকে অনুভূমিকের সাথে θ কোণে F বলে টানা হলে অনুভূমিক বলের উপাংশের মান কত?

    • ক F tan θ
    • খ F sin θ
    • গ F cos θ
    • ঘ F cot θ
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) F cos θ

    এখানে, বল = F, অনুভূমিকের সাথে কোণ = θ
    অনুভূমিক উপাংশ = F cos θ, উল্লম্ব উপাংশ = F sin θ
    লন রোলার টানলে উল্লম্ব উপাংশ F sin θ উপরের দিকে কাজ করায় কার্যকর ওজন W − F sin θ হয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

19. ৪৭৯

    ভেক্টর ইসহাক স্যার · AFMC (আর্মড ফোর্সেস মেডিকেল) ২০২৩

    কোনো ভেক্টরের ডাইভারজেন্স হলো—

    • ক ভেক্টর ক্ষেত্র
    • খ স্কেলার ক্ষেত্র
    • গ ওই ভেক্টরের নতিমাত্রা
    • ঘ অঘূর্ণনশীল
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) স্কেলার ক্ষেত্র

    কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র V-এর ডাইভারজেন্স ∇ · V = ∂V_x∂x + ∂V_y∂y + ∂V_z∂z, এটি স্কেলার, তাই ফলটি একটি স্কেলার ক্ষেত্র।
    ডাইভারজেন্স কোনো বিন্দু থেকে ক্ষেত্রের নির্গত (বা অভিসারী) ফ্লাক্সের হার নির্দেশ করে।
    গ্রেডিয়েন্ট ∇φ স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপ দেয় (নতিমাত্রা), কার্ল ∇ × V ভেক্টর ক্ষেত্র দেয়।
    কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (irrotational), ডাইভারজেন্স শূন্য হলে সলিনয়ডাল।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

20. ৪৮০

    ভেক্টর ডেন্টাল ২০২২

    কোন ভেক্টরের শুরু ও শেষ একই স্থানে?

    • ক স্বাধীন ভেক্টর
    • খ বিপরীত ভেক্টর
    • গ সমরেখ ভেক্টর
    • ঘ শূন্য ভেক্টর
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) শূন্য ভেক্টর

    যে ভেক্টরের আদিবিন্দু ও শেষবিন্দু একই, অর্থাৎ মান শূন্য, তাকে শূন্য বা নাল ভেক্টর বলে।
    এর দিক অনির্দিষ্ট; প্রকাশ 0। A + (−A) = 0, আবার A + 0 = A।
    বদ্ধ বহুভুজে পরপর সাজানো ভেক্টরগুলোর লব্ধি শূন্য ভেক্টর, এটিই সাম্যাবস্থার শর্ত।
    সমান মানের বিপরীতমুখী ভেক্টর বিপরীত ভেক্টর, একই সরলরেখা বরাবর ভেক্টর সমরেখ ভেক্টর।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

অন্যান্য অধ্যায়

সব অধ্যায় দেখো →