ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান

HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।

1. ৪২১

   ভেক্টর গুচ্ছ (GST) ২০২১

   এক ব্যক্তি সূর্যোদয়ের দিকে 4 m যাওয়ার পরে দক্ষিণ দিকে 3 m যায়। তার অতিক্রান্ত দূরত্ব ও সরণের পার্থক্য কত m?

   • ক 2
   • খ 4
   • গ 1
   • ঘ 7
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ক) 2

   সূর্যোদয়ের দিক মানে পূর্ব, তাই 4 m পূর্বে ও 3 m দক্ষিণে — দুটি পরস্পর লম্ব। অতিক্রান্ত দূরত্ব হলো মোট পথের দৈর্ঘ্য = 4 + 3 = 7 m। সরণ হলো শুরু ও শেষ বিন্দুর সরলরৈখিক দূরত্ব = 4² + 3² = 5 m। ∴ পার্থক্য = 7 − 5 = 2 m। দূরত্ব স্কেলার আর সরণ ভেক্টর — এই তফাতটাই প্রশ্নের মূল কথা।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

2. ৪২২

   ভেক্টর গুচ্ছ (GST) ২০২১

   XY সমতলে 6i+8j−5k ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য কত একক?

   • ক 6
   • খ 10
   • গ 0
   • ঘ 55
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) 10

   XY সমতলে ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য মানে XY তলে তার অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য, তাই k উপাংশ বাদ যাবে। দৈর্ঘ্য = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10 একক। ফাঁদ: পুরো ভেক্টরের মান ধরে 36 + 64 + 25 = 55 করলে (ঘ) বেছে ভুল হবে — প্রশ্নের 'XY সমতলে' কথাটা খেয়াল করো।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

3. ৪২৩

   ভেক্টর খুলনা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৮

   রেজা তার বাড়ি থেকে বের হয়ে প্রথমে উত্তর দিকে 15 কিমি গেল। তারপর পশ্চিম দিকে 10 কিমি গেল। এবার দক্ষিণ দিকে সে আরও 5 কিমি এগোলো। সবশেষে পূর্ব দিকে 10 কিমি অতিক্রম করল। এখন নিজের বাড়ির কোন দিকে সে দাঁড়িয়ে আছে?

   • ক পূর্ব
   • খ পশ্চিম
   • গ উত্তর
   • ঘ দক্ষিণ
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) উত্তর

   উপাংশ ধরে হিসাব করো। উত্তর-দক্ষিণ বরাবর: 15 km উত্তর − 5 km দক্ষিণ = নিট 10 km উত্তর। পূর্ব-পশ্চিম বরাবর: 10 km পশ্চিম − 10 km পূর্ব = নিট 0। তাই মোট সরণ কেবল উত্তরমুখী, অর্থাৎ সে বাড়ির উত্তর দিকে দাঁড়িয়ে আছে। মোট অতিক্রান্ত পথ 40 km হলেও সরণ মাত্র 10 km।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

4. ৪২৪

   ভেক্টর জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৪

   a=i+2j+k এবং b=3i+j+4k দুটি ভেক্টর রাশি হলে, |2a−b| কত?

   • ক 12
   • খ 13
   • গ 14
   • ঘ 15
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 14

   আগে ভেক্টর যোগ-বিয়োগ শেষ করো, তারপর মান নাও। 2a = 2i + 4j + 2k, তাই 2a − b = (2 − 3)i + (4 − 1)j + (2 − 4)k = −i + 3j − 2k। ∴ |2a − b| = (−1)² + 3² + (−2)² = 1 + 9 + 4 = 14। মান আগে নিয়ে পরে বিয়োগ করলে উত্তর মিলবে না, কারণ |2a| − |b| ≠ |2a − b|।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

5. ৪২৫

   ভেক্টর জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় ২০২২

   কোনটি ভেক্টর রাশি?

   • ক আয়তন
   • খ বৈদ্যুতিক বিভব
   • গ স্পন্দনকাল/পর্যায়কাল
   • ঘ বৈদ্যুতিক প্রাবল্য
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) বৈদ্যুতিক প্রাবল্য

   বৈদ্যুতিক প্রাবল্য E = Fq — লব একটি ভেক্টর (বল) আর হর একটি স্কেলার (আধান), তাই ভাগ করলেও দিক থেকে যায়; E ভেক্টর রাশি। অন্যদিকে আয়তন, বৈদ্যুতিক বিভব ও স্পন্দনকাল — তিনটিরই কেবল মান আছে, দিক নেই, তাই এগুলো স্কেলার। মনে রেখো: বিভব স্কেলার হলেও প্রাবল্য ভেক্টর।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

6. ৪২৬

   ভেক্টর জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় ২০২১

   নিচের কোনটি কৌণিক সূত্র?

   • ক (P+Q)+R=P+(Q+R)
   • খ m(P+Q)=mP+mQ
   • গ P+Q=Q+P
   • ঘ A·B=B·A
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: খ) m(P+Q)=mP+mQ

   (খ) m(P+Q) = mP + mQ — স্কেলার দিয়ে গুণের বণ্টন সূত্র (distributive law)। (ক) হলো যোগের সংযোগ সূত্র, (গ) যোগের বিনিময় সূত্র, আর (ঘ) ডট গুণের বিনিময় সূত্র।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

7. ৪২৭

   ভেক্টর কৃষিগুচ্ছ ২০২০ · চট্টগ্রাম বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৫

   দুটি বলের লব্ধির মান 40 N, বল দুটির মধ্যে ছোট বলটির মান 30 N এবং এটি লব্ধি বলের লম্ব বরাবর ক্রিয়া করে। বড় বলটির মান কত?

   • ক 40 N
   • খ 45 N
   • গ 50 N
   • ঘ 60 N
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: গ) 50 N

   ছোট বল Q = 30 N লব্ধি R = 40 N-এর লম্ব, আর বড় বল P। যেহেতু P + Q = R, তাই P = R − Q। Q ⊥ R হওয়ায় Q·R = 0, সুতরাং P² = |R − Q|² = R² + Q² = 40² + 30² = 1600 + 900 = 2500 ⇒ P = 50 N। মূল কথা: লব্ধি ও একটি বল পরস্পর লম্ব হলে অন্য বলটি ওই দুটিকে নিয়ে গড়া সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

8. ৪২৮

   ভেক্টর জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৯

   উত্তর ও পূর্ব দিকে বায়ু প্রবাহিত হচ্ছে। বায়ুর বেগের উত্তর ও পূর্ব দিকের উপাংশ যথাক্রমে 5 km h⁻¹ এবং 12 km h⁻¹ হলে লব্ধি বেগ কত হবে?

   • ক 60 km h⁻¹
   • খ 7 km h⁻¹
   • গ 17 km h⁻¹
   • ঘ 13 km h⁻¹
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) 13 km h⁻¹

   উত্তর ও পূর্ব দিক পরস্পর লম্ব, তাই উপাংশ দুটির মধ্যবর্তী কোণ 90°। লব্ধি v = v_উ² + v_পূ² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13 km h⁻¹। ফাঁদ: লম্ব উপাংশ দুটি সরাসরি যোগ করে 5 + 12 = 17 করলে (গ) বেছে ভুল হবে — লম্ব রাশি যোগ হয় পিথাগোরাসের নিয়মে।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

9. ৪২৯

   ভেক্টর খুলনা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৯

   কোনটি স্কেলার রাশি?

   • ক সরণ
   • খ বল
   • গ ত্বরণ
   • ঘ ঘনত্ব
   সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর: ঘ) ঘনত্ব

   ঘনত্ব = ভর ÷ আয়তন — দুটোই স্কেলার, তাই ভাগফলও স্কেলার; শুধু মান আছে, দিক নেই। সরণ, বল ও ত্বরণ — তিনটিরই মানের সাথে দিকও লাগে, তাই ভেক্টর।

   এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

10. ৪৩০

    ভেক্টর রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৭

    দুটি বল, যার একটি 10 N বিশিষ্ট এবং বলদ্বয় 120° কোণে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান উল্লিখিত বলটির সমান হয়, অপর বলটির মান কত?

    • ক 20 N
    • খ 0 অথবা 10 N
    • গ 15 N
    • ঘ 5 N
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 0 অথবা 10 N

    R² = P² + Q² + 2PQ cos θ, এখানে θ = 120° ও cos 120° = −12। দেওয়া আছে R = P = 10 N, অজানা বল Q। ∴ 100 = 100 + Q² − 10Q ⇒ Q² − 10Q = 0 ⇒ Q(Q − 10) = 0। অতএব Q = 0 অথবা 10 N। দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূলই এখানে গাণিতিকভাবে বৈধ, তাই শুধু 10 N লিখলে উত্তর অসম্পূর্ণ থেকে যায়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

11. ৪৩১

    ভেক্টর খুলনা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৩ · রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ২০০৬

    ভেক্টর বিজ্ঞানের দৃষ্টিতে কোনটি?

    • ক চলন্ত গাড়িতে পতিত বৃষ্টি
    • খ পাখির উড্ডয়ন
    • গ ভরা টানা নৌকার গতি
    • ঘ পাখির গতি
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) ভরা টানা নৌকার গতি

    নদীর পাড় থেকে দড়ি দিয়ে নৌকা টানলে দড়ির টান দুই উপাংশে ভাগ হয়ে যায় — একটি উপাংশ নৌকাকে সামনে এগিয়ে নেয়, অন্যটি পাড়ের দিকে টানে। ভেক্টর বিভাজনের সবচেয়ে চেনা উদাহরণ এটিই।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

12. ৪৩২

    ভেক্টর হাবিপ্রবি ২০২৫

    θ-এর মান কত হলে একটি ভেক্টরের x ও y উপাংশের মান সমান হবে?

    • ক 10°
    • খ 45°
    • গ 60°
    • ঘ 90°
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 45°

    কোনো ভেক্টর P যদি x-অক্ষের সাথে θ কোণ করে, তবে তার উপাংশ P_x = P cos θ এবং P_y = P sin θ। দুটি সমান হলে P cos θ = P sin θ ⇒ sin θcos θ = 1 ⇒ tan θ = 1 ⇒ θ = 45°। অর্থাৎ ভেক্টরটি অক্ষদ্বয়ের ঠিক মাঝ বরাবর থাকলে উপাংশ দুটি সমান হয়, আর প্রত্যেকটির মান দাঁড়ায় P2।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

13. ৪৩৩

    ভেক্টর কৃষিগুচ্ছ ২০২১

    10 N মানের একটি বল অন্য একটি অজানা বলের সাথে 120° কোণে আনত। বল দুটির লব্ধি অজানা বলের সাথে 90° কোণে অবস্থিত। অজানা বলটির মান-

    • ক 8 N
    • খ 7 N
    • গ 6 N
    • ঘ 5 N
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) 5 N

    লব্ধি R অজানা বল P-এর সাথে 90° কোণে আছে, অর্থাৎ P বরাবর লব্ধির উপাংশ শূন্য। তাই P বরাবর সব উপাংশের যোগফল শূন্য: P + 10 cos 120° = 0। যেহেতু cos 120° = −12, পাই P − 5 = 0 ⇒ P = 5 N। কৌশল: লব্ধি কোনো দিকের লম্ব হলে সেই দিক বরাবর উপাংশের যোগফল শূন্য ধরলেই এক লাইনে সমাধান।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

14. ৪৩৪

    ভেক্টর জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৯

    10 N মানের একটি বল X অক্ষ বরাবর ক্রিয়া করলে Y অক্ষ বরাবর এর উপাংশ হবে-

    • ক 10 N
    • খ 5 N
    • গ 8.66 N
    • ঘ 0 N
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ঘ) 0 N

    বলটি X অক্ষ বরাবর ক্রিয়া করছে, তাই Y অক্ষের সাথে এর কোণ 90°। Y বরাবর উপাংশ = F cos 90° = 10 × 0 = 0 N। নিয়মটি সাধারণ: কোনো ভেক্টর যে অক্ষের লম্ব, সেই অক্ষ বরাবর তার কোনো উপাংশ থাকে না — পুরো 10 N-ই X অক্ষে পড়ে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

15. ৪৩৫

    ভেক্টর খুলনা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৭

    কোনো স্থানে বাতাস 30 km h⁻¹ বেগে পশ্চিম দিকে এবং তার সাথে 45° কোণে দক্ষিণ দিকে বইছে। বাতাসের বেগের পূর্বমুখী উপাংশের মান কত kmhr?

    • ক 10.25
    • খ 17.35
    • গ 21.21
    • ঘ 25.32
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 21.21

    বাতাস পশ্চিম দিকের সাথে 45° কোণে দক্ষিণমুখী, অর্থাৎ দক্ষিণ-পশ্চিম বরাবর বইছে। পূর্ব-পশ্চিম বরাবর উপাংশের মান = 30 cos 45° = 302 ≈ 21.21 km h⁻¹। যেহেতু বেগটি পশ্চিমমুখী, পূর্বমুখী উপাংশ আসলে ঋণাত্মক (−21.21); প্রশ্নে শুধু মান চাওয়ায় 21.21 নেওয়া হয়েছে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

16. ৪৩৬

    ভেক্টর জাহাঙ্গীরনগর বিশ্ববিদ্যালয় ২০২৫

    বৃষ্টি উল্লম্বভাবে নিচে 3 ms⁻¹ বেগে পড়ছে। বাতাস উত্তর থেকে দক্ষিণে 3 ms⁻¹ বেগে বইছে। ছাতা উল্লম্ব দিকের সাথে কত কোণে ধরে চলতে হবে?

    • ক 30°
    • খ 45°
    • গ 60°
    • ঘ 120°
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: ক) 30°

    ছাতা ধরতে হবে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ বরাবর। এখানে উল্লম্ব উপাংশ v_R = 3 m s⁻¹ এবং অনুভূমিক (বাতাসের) উপাংশ v_w = 3 m s⁻¹। উল্লম্বের সাথে কোণ θ হলে tan θ = v_wv_R = 33 = 13 ⇒ θ = 30°। ফাঁদ: অনুপাত উল্টে নিলে 60° আসে — কোণটা উল্লম্বের সাথে না অনুভূমিকের সাথে, সেটা আগে দেখে নাও।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

17. ৪৩৭

    ভেক্টর রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ২০২৪

    একজন সাইকেল আরোহী সমতল রাস্তার উপর দিয়ে কত ms⁻¹ বেগে চললে 6 ms⁻¹ বেগের বৃষ্টির ফোঁটা তার গায়ে 60° কোণে পড়বে?

    • ক 63
    • খ 63
    • গ 36
    • ঘ 6
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 63

    বৃষ্টি খাড়া নিচে v_R = 6 m s⁻¹ বেগে পড়ছে, আর আরোহীর বেগ v_C অনুভূমিক। আরোহীর সাপেক্ষে বৃষ্টি উল্লম্বের সাথে যে কোণ করে, তার জন্য tan θ = v_Cv_R। এখানে θ = 60° ⇒ v_C = v_R tan 60° = 6 × 3 = 63 m s⁻¹। tan 60° = 3 মনে থাকলে হিসাবটা এক লাইনেই শেষ।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

18. ৪৩৮

    ভেক্টর খুলনা বিশ্ববিদ্যালয় ২০১৯

    বৃষ্টি চলাকালীন একজন লোক 10 ms⁻¹ বেগে চলছে। যদি বৃষ্টি 10 ms⁻¹ বেগে খাড়া নিচের দিকে পড়ে তবে ঐ লোকটিকে কোন দিকে ছাতা ধরতে হবে?

    • ক অনুভূমিকের সাথে 40° কোণে
    • খ লম্বের সাথে 145° কোণে
    • গ অনুভূমিকের সাথে 45° কোণে
    • ঘ অনুভূমিকের সাথে 30° কোণে
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) অনুভূমিকের সাথে 45° কোণে

    লোকের বেগ ও বৃষ্টির বেগ দুটোই 10 m s⁻¹ এবং পরস্পর লম্ব। উল্লম্বের সাথে ছাতার কোণ θ হলে tan θ = 10 ÷ 10 = 1 ⇒ θ = 45°। বেগ দুটি সমান হওয়ায় অনুভূমিকের সাথেও কোণ দাঁড়ায় 45°। ছাতাটি চলার দিকে সামনে হেলিয়ে ধরতে হবে, পেছনে নয় — কারণ আপেক্ষিক বেগ সামনের দিকে হেলে থাকে।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

19. ৪৩৯

    ভেক্টর জগন্নাথ বিশ্ববিদ্যালয় ২০২৫

    একটি ভেক্টর r=5i+2j+3k এবং এর একক ভেক্টর r-এর স্কেলার গুণফল হবে-

    • ক 10
    • খ 110
    • গ 38
    • ঘ 138
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: গ) 38

    একক ভেক্টর = r|r|, যেখানে |r| = 5² + 2² + 3² = 25 + 4 + 9 = 38। তাই চাওয়া গুণফল = r·r|r|, আর r·r = 5² + 2² + 3² = 38। ∴ গুণফল = 3838 = 38। মূল কথাটি মনে রাখো: কোনো ভেক্টর ও তার নিজের একক ভেক্টরের ডট গুণফল সবসময় ওই ভেক্টরের মানের সমান হয়।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

20. ৪৪০

    ভেক্টর শাবিপ্রবি ২০২৫

    তিনটি ভেক্টর রাশি a₁=−3i+3j+2k, a₂=−2i−4j+2k এবং a₃=2i+3j+k হলে a₁·(a₂+a₃)-এর মান কত?

    • ক 6
    • খ 3
    • গ 4
    • ঘ 9
    সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা

    সঠিক উত্তর: খ) 3

    আগে যোগ, তারপর ডট। a₂ + a₃ = (−2 + 2)i + (−4 + 3)j + (2 + 1)k = 0i − j + 3k। এখন a₁·(a₂ + a₃) = (−3)(0) + (3)(−1) + (2)(3) = 0 − 3 + 6 = 3। ডট গুণফলে সংশ্লিষ্ট উপাংশগুলো গুণ করে যোগ করতে হয় এবং ফল সবসময় একটি স্কেলার — কোনো i, j, k থাকে না।

    এই প্রশ্নটার আলাদা পাতা দেখো →

অন্যান্য অধ্যায়

সব অধ্যায় দেখো →