ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ২০/৩৫
-
৩৮১
A⃗ = î + ĵ এবং B⃗ = ĵ + k̂ উভয়ের উপর লম্ব একক ভেক্টর কোনটি?
- ক î + ĵ + k̂√3
- খ î − ĵ + k̂3
- গ î − ĵ + k̂
- ঘ î − ĵ + k̂√3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) î − ĵ + k̂√3
A⃗ × B⃗ = î(1 × 1 − 0 × 1) − ĵ(1 × 1 − 0 × 0) + k̂(1 × 1 − 1 × 0)
= î − ĵ + k̂
মান = 1 + 1 + 1 = √3
লম্ব একক ভেক্টর = î − ĵ + k̂√3
(এর বিপরীতটিও সমান বৈধ — লম্ব দিক দুইটি।) -
৩৮২
|A⃗ × B⃗|2 + (A⃗·B⃗)2 = ?
- ক A2 + B2
- খ 2AB
- গ 0
- ঘ A2B2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) A2B2
(AB sin θ)2 + (AB cos θ)2
= A2B2(sin2θ + cos2θ)
= A2B2
খুব কাজের ফল — ডট আর ক্রসের যেকোনো একটি জানা থাকলে অন্যটি সাথে সাথে বের করা যায়। -
৩৮৩
î × (î × ĵ) এবং (î × î) × ĵ এর মান যথাক্রমে কত?
- ক 0⃗ এবং −ĵ
- খ ĵ এবং ĵ
- গ −ĵ এবং 0⃗
- ঘ −ĵ এবং −ĵ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) −ĵ এবং 0⃗
î × (î × ĵ) = î × k̂ = −ĵ
(î × î) × ĵ = 0⃗ × ĵ = 0⃗
দুইটি ফল আলাদা ⟹ ভেক্টর গুণন সহযোগ (associative) সূত্র মানে না।
এজন্যই ট্রিপল প্রোডাক্টে বন্ধনী কোথায় বসছে সেটা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। -
৩৮৪
দুইটি অশূন্য ভেক্টরের জন্য A⃗ × B⃗ = 0⃗ এবং A⃗·B⃗ = 0 — দুইটিই একসাথে সত্য হতে পারে কি?
- ক হ্যাঁ, যদি ভেক্টর দুইটি সমান হয়
- খ হ্যাঁ, যদি θ = 45° হয়
- গ হ্যাঁ, সবসময়ই সম্ভব
- ঘ না, কারণ একটির জন্য θ = 0° বা 180° আর অন্যটির জন্য θ = 90° লাগে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) না, কারণ একটির জন্য θ = 0° বা 180° আর অন্যটির জন্য θ = 90° লাগে
A⃗ × B⃗ = 0⃗ ⟹ sin θ = 0 ⟹ θ = 0° বা 180°
A⃗·B⃗ = 0 ⟹ cos θ = 0 ⟹ θ = 90°
একই কোণ একসাথে দুইটাই হতে পারে না ⟹ অসম্ভব।
তবে ভেক্টরদ্বয়ের একটি শূন্য ভেক্টর হলে দুইটিই মেনে যায় — কিন্তু প্রশ্নে "অশূন্য" বলা আছে। -
৩৮৫
A(1, 1, 1), B(2, 3, 5) ও C(1, 5, 5) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
- ক 4√6
- খ 96
- গ √6
- ঘ 2√6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 2√6
AB⃗ = î + 2ĵ + 4k̂ | AC⃗ = 0î + 4ĵ + 4k̂
AB⃗ × AC⃗ = î(2 × 4 − 4 × 4) − ĵ(1 × 4 − 4 × 0) + k̂(1 × 4 − 2 × 0)
= −8î − 4ĵ + 4k̂
মান = 64 + 16 + 16 = 96 = 4√6
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × 4√6 = 2√6 ≈ 4.90। -
৩৮৬
|A⃗| = 2, |B⃗| = 3 এবং A⃗·B⃗ = 4 হলে |A⃗ × B⃗| = ?
- ক 2
- খ 2√5
- গ √5
- ঘ 6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 2√5
|A⃗ × B⃗|2 = A2B2 − (A⃗·B⃗)2
= (4)(9) − 16 = 36 − 16 = 20
|A⃗ × B⃗| = 20 = 2√5 ≈ 4.47
যাচাই: সর্বোচ্চ সম্ভব মান AB = 6, আমাদের ফল তার চেয়ে ছোট ✔। -
৩৮৭
A⃗ × (B⃗ + C⃗) রাশিটির সঠিক বিস্তার কোনটি?
- ক A⃗ × B⃗ − A⃗ × C⃗
- খ A⃗ × B⃗ + A⃗ × C⃗
- গ B⃗ × A⃗ + C⃗ × A⃗
- ঘ (A⃗ × B⃗)(A⃗ × C⃗)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) A⃗ × B⃗ + A⃗ × C⃗
ক্রস গুণন বণ্টন সূত্র মানে:
A⃗ × (B⃗ + C⃗) = A⃗ × B⃗ + A⃗ × C⃗
তবে ক্রম বদলানো যাবে না — অপশন (গ)-তে A⃗ পেছনে চলে গেছে, ফলে চিহ্ন উল্টে যেত।
অর্থাৎ ক্রস গুণন বণ্টনযোগ্য কিন্তু বিনিময়যোগ্য নয় — এই দুইটাকে গুলিয়ে ফেলা যাবে না। -
৩৮৮
î·(ĵ × k̂) এর মান কত?
- ক 0
- খ −1
- গ 3
- ঘ 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 1
ĵ × k̂ = î
î·î = 1
জ্যামিতিকভাবে — î, ĵ, k̂ দিয়ে গড়া ঘনকের বাহু 1, আয়তনও 1 ✔। -
৩৮৯
তিনটি ভেক্টর সমতলীয় (coplanar) হওয়ার শর্ত কোনটি?
- ক A⃗ × (B⃗ × C⃗) = 0
- খ A⃗·B⃗ = 0
- গ A⃗ + B⃗ + C⃗ = 0
- ঘ A⃗·(B⃗ × C⃗) = 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) A⃗·(B⃗ × C⃗) = 0
তিনটি ভেক্টর একই সমতলে থাকলে তারা দিয়ে গড়া সামান্তরিক ঘনকের উচ্চতা শূন্য — তাই আয়তনও শূন্য।
A⃗·(B⃗ × C⃗) = 0
নির্ণায়ক আকারে: তিনটি ভেক্টরের উপাংশ দিয়ে গড়া 3 × 3 নির্ণায়কের মান শূন্য।
অপশন (গ) সমতলীয়তার জন্য যথেষ্ট শর্ত হলেও আবশ্যক নয় — যোগফল শূন্য না হয়েও সমতলীয় হতে পারে। -
৩৯০
A⃗ = î + 2ĵ + 3k̂, B⃗ = 2î + ĵ + k̂ এবং C⃗ = 3î + 3ĵ + 4k̂ ভেক্টর তিনটি সম্পর্কে কোনটি সঠিক?
- ক এরা পরস্পর লম্ব
- খ এরা দিয়ে গড়া ঘনকের আয়তন 2 একক
- গ এরা সমতলীয়
- ঘ এদের যোগফল শূন্য
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) এরা সমতলীয়
[A⃗ B⃗ C⃗] নির্ণায়ক:
= 1(1 × 4 − 1 × 3) − 2(2 × 4 − 1 × 3) + 3(2 × 3 − 1 × 3)
= 1(1) − 2(5) + 3(3) = 1 − 10 + 9 = 0
আয়তন শূন্য ⟹ ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।
(লক্ষ করো C⃗ = A⃗ + B⃗ — তাই সমতলীয় হওয়াটাই স্বাভাবিক।) -
৩৯১
[A⃗ B⃗ C⃗] স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট সম্পর্কে কোনটি সঠিক?
- ক যেকোনোভাবে ক্রম বদলালেই মান অপরিবর্তিত থাকে
- খ ক্রম বদলালে মান সবসময় শূন্য হয়ে যায়
- গ ভেক্টরগুলোর ক্রম চক্রাকারে বদলালে মান অপরিবর্তিত থাকে
- ঘ ক্রম বদলানো যায় না
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) ভেক্টরগুলোর ক্রম চক্রাকারে বদলালে মান অপরিবর্তিত থাকে
চক্রক্রমে (cyclic) বদলালে মান একই:
[A⃗ B⃗ C⃗] = [B⃗ C⃗ A⃗] = [C⃗ A⃗ B⃗]
কিন্তু যেকোনো দুইটি অদলবদল করলে চিহ্ন উল্টে যায়:
[A⃗ B⃗ C⃗] = −[B⃗ A⃗ C⃗]
নির্ণায়কের সারি অদলবদল করলে যা হয়, ঠিক তাই। -
৩৯২
A⃗·(A⃗ × B⃗) এর মান কত?
- ক 0
- খ A2B
- গ AB
- ঘ A⃗ × B⃗
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 0
A⃗ × B⃗ ভেক্টরটি সংজ্ঞামতেই A⃗-এর লম্ব।
লম্ব দুই ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য ⟹ 0
ট্রিপল প্রোডাক্টের ভাষায়: [A⃗ A⃗ B⃗] — দুইটি সারি একই হলে নির্ণায়ক শূন্য।
সাধারণ নিয়ম: স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টে কোনো দুইটি ভেক্টর একই হলে ফল সবসময় শূন্য। -
৩৯৩
ভেক্টর ট্রিপল প্রোডাক্ট A⃗ × (B⃗ × C⃗) এর সঠিক বিস্তার কোনটি?
- ক B⃗(A⃗·C⃗) − C⃗(A⃗·B⃗)
- খ C⃗(A⃗·B⃗) − B⃗(A⃗·C⃗)
- গ A⃗(B⃗·C⃗) − B⃗(A⃗·C⃗)
- ঘ (A⃗·B⃗)(A⃗·C⃗)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) B⃗(A⃗·C⃗) − C⃗(A⃗·B⃗)
বিখ্যাত BAC−CAB সূত্র:
A⃗ × (B⃗ × C⃗) = B⃗(A⃗·C⃗) − C⃗(A⃗·B⃗)
মনে রাখার কৌশল: বন্ধনীর ভেতরের ভেক্টরগুলোই (B⃗, C⃗) বাইরে বসে; প্রথমে মাঝেরটা (B⃗) ধনাত্মক, পরে শেষেরটা ঋণাত্মক।
ফলটি সবসময় B⃗ ও C⃗-এর সমতলে থাকে। -
৩৯৪
î + ĵ, ĵ + k̂ এবং k̂ + î — এই তিনটি ভেক্টর দিয়ে গড়া সামান্তরিক ঘনকের আয়তন কত?
- ক 1 একক
- খ 3 একক
- গ 0
- ঘ 2 একক
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 2 একক
নির্ণায়ক: সারিগুলো (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
= 1(1 × 1 − 1 × 0) − 1(0 × 1 − 1 × 1) + 0(0 × 0 − 1 × 1)
= 1(1) − 1(−1) + 0 = 1 + 1 = 2 একক
শূন্য নয় ⟹ ভেক্টর তিনটি সমতলীয় নয়, ত্রিমাত্রিক স্থান গড়ে। -
৩৯৫
নির্দিষ্ট মানের তিনটি ভেক্টরের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টের মান সর্বোচ্চ হয় কখন?
- ক যখন তিনটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব
- খ যখন তিনটি ভেক্টর সমতলীয়
- গ যখন তিনটি ভেক্টর সমান্তরাল
- ঘ যখন তিনটির মধ্যবর্তী কোণ 60°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) যখন তিনটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব
[A⃗ B⃗ C⃗] = আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
BC sin θ সর্বোচ্চ হয় B⃗ ⊥ C⃗ হলে; আর উচ্চতা সর্বোচ্চ হয় A⃗ ভূমির লম্ব হলে।
অর্থাৎ তিনটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে আয়তন সর্বোচ্চ = ABC — তখন এটি আয়তাকার ঘনক।
উল্টো দিকে, সমতলীয় হলে আয়তন শূন্য — সর্বনিম্ন। -
৩৯৬
A⃗ × (B⃗ × C⃗) + B⃗ × (C⃗ × A⃗) + C⃗ × (A⃗ × B⃗) = ?
- ক 3A⃗·(B⃗ × C⃗)
- খ 0⃗
- গ A⃗ + B⃗ + C⃗
- ঘ [A⃗ B⃗ C⃗]
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 0⃗
প্রতিটিতে BAC−CAB সূত্র বসাই:
① B⃗(A⃗·C⃗) − C⃗(A⃗·B⃗)
② C⃗(B⃗·A⃗) − A⃗(B⃗·C⃗)
③ A⃗(C⃗·B⃗) − B⃗(C⃗·A⃗)
ডট গুণন বিনিময়যোগ্য, তাই জোড়ায় জোড়ায় কাটাকাটি হয়ে যায়:
• B⃗(A⃗·C⃗) আর −B⃗(C⃗·A⃗) ⟹ 0
• −C⃗(A⃗·B⃗) আর +C⃗(B⃗·A⃗) ⟹ 0
• −A⃗(B⃗·C⃗) আর +A⃗(C⃗·B⃗) ⟹ 0
সমষ্টি = 0⃗ — একে বলে জ্যাকোবি অভেদ (Jacobi identity)। -
৩৯৭
φ = x2y + yz স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্টের মান (1, 1, 1) বিন্দুতে কত?
- ক 2
- খ 3
- গ 5
- ঘ 9
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 3
∇φ = î∂φ∂x + ĵ∂φ∂y + k̂∂φ∂z
= 2xy î + (x2 + z) ĵ + y k̂
(1, 1, 1) বিন্দুতে: 2î + 2ĵ + k̂
মান = 4 + 4 + 1 = 9 = 3। -
৩৯৮
একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স (∇·A⃗) কী নির্দেশ করে?
- ক ক্ষেত্রটির ঘূর্ণনের পরিমাণ
- খ ক্ষেত্রটির সর্বোচ্চ মান
- গ কোনো বিন্দু থেকে ক্ষেত্রটির বাইরের দিকে নিট প্রবাহ
- ঘ ক্ষেত্রটির দিক
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) কোনো বিন্দু থেকে ক্ষেত্রটির বাইরের দিকে নিট প্রবাহ
∇·A⃗ একটি স্কেলার — একক আয়তন থেকে বেরিয়ে আসা নিট ফ্লাক্স।
• ধনাত্মক ⟹ ঐ বিন্দুতে একটি উৎস (source) আছে
• ঋণাত্মক ⟹ একটি সিঙ্ক (sink) আছে
• শূন্য ⟹ যতটা ঢুকছে ততটাই বেরোচ্ছে — একে বলে সলিনয়ডাল ক্ষেত্র
উদাহরণ: ∇·B⃗ = 0 — চৌম্বক ক্ষেত্রের কোনো একক মেরু (উৎস) নেই। -
৩৯৯
A⃗ = x2î + y2ĵ + z2k̂ হলে (1, 1, 1) বিন্দুতে ∇·A⃗ এর মান কত?
- ক 3
- খ 2
- গ 0
- ঘ 6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 6
∇·A⃗ = ∂Ax∂x + ∂Ay∂y + ∂Az∂z
= 2x + 2y + 2z
(1, 1, 1) বিন্দুতে = 2 + 2 + 2 = 6
ধনাত্মক মান — অর্থাৎ ঐ বিন্দুতে ক্ষেত্রটির একটি উৎস আছে। -
৪০০
একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল (∇ × A⃗) কী নির্দেশ করে?
- ক ক্ষেত্রটির ঘূর্ণন বা আবর্তনের প্রবণতা
- খ ক্ষেত্রটির উৎস বা সিঙ্ক
- গ ক্ষেত্রটির গড় মান
- ঘ ক্ষেত্রটির সর্বোচ্চ পরিবর্তনের দিক
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) ক্ষেত্রটির ঘূর্ণন বা আবর্তনের প্রবণতা
∇ × A⃗ একটি ভেক্টর — ক্ষেত্রটি কোনো বিন্দুর চারপাশে কতটা ঘুরপাক খাচ্ছে তার মাপ।
কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটিকে অঘূর্ণী (irrotational) বা সংরক্ষণশীল বলা হয় — তখন একটি স্কেলার বিভব দিয়ে ক্ষেত্রটি লেখা যায়।
উদাহরণ: স্থির তড়িৎক্ষেত্রে ∇ × E⃗ = 0, তাই বিভব V সংজ্ঞায়িত করা যায়। কিন্তু পরিবর্তনশীল চৌম্বক ক্ষেত্রে ∇ × E⃗ ≠ 0 — তখন আবিষ্ট তড়িৎক্ষেত্র ঘূর্ণী।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।