ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ১৮/৩৫
-
৩৪১
A গাড়িটি 10 m s−1 বেগে পূর্ব দিকে এবং B গাড়িটি 10 m s−1 বেগে উত্তর দিকে চলছে। A-এর সাপেক্ষে B-এর বেগের মান ও দিক কী?
- ক 10√2 m s−1, উত্তর-পশ্চিম বরাবর
- খ 10√2 m s−1, উত্তর-পূর্ব বরাবর
- গ 20 m s−1, উত্তর দিকে
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 10√2 m s−1, উত্তর-পশ্চিম বরাবর
v⃗BA = v⃗B − v⃗A = 10ĵ − 10î
মান = 100 + 100 = 10√2 m s−1
দিক: −î (পশ্চিম) ও +ĵ (উত্তর) সমান উপাংশ ⟹ উত্তর-পশ্চিম বরাবর 45° কোণে।
অর্থাৎ A-এর চালকের মনে হবে B গাড়িটি উত্তর-পশ্চিম দিকে সরে যাচ্ছে। -
৩৪২
একজন লোক 4 m s−1 বেগে পূর্ব দিকে হাঁটলে বৃষ্টি তার কাছে ঠিক উলম্বভাবে পড়ছে বলে মনে হয়। বৃষ্টির উলম্ব বেগ 4√3 m s−1। লোকটি বেগ দ্বিগুণ করলে বৃষ্টি উলম্বের সাথে কত কোণ করবে?
- ক 30°
- খ 45°
- গ 60°
- ঘ 15°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 30°
4 m s−1 বেগে বৃষ্টি উলম্ব মনে হওয়ার মানে — বৃষ্টির অনুভূমিক উপাংশও 4 m s−1 পূর্বমুখী।
অর্থাৎ প্রকৃত বৃষ্টি: 4î − 4√3 ĵ
বেগ 8 করলে আপেক্ষিক বেগ = (4 − 8)î − 4√3 ĵ = −4î − 4√3 ĵ
উলম্বের সাথে কোণ: tan θ = 44√3 = 1√3 ⟹ θ = 30°। -
৩৪৩
একটি ট্রেন 20 m s−1 বেগে চলছে। ট্রেনের ভেতরে একজন যাত্রী ট্রেনের সাপেক্ষে 2 m s−1 বেগে ট্রেনের গতির বিপরীত দিকে হাঁটছেন। প্ল্যাটফর্মে দাঁড়ানো একজনের সাপেক্ষে যাত্রীর বেগ কত?
- ক 22 m s−1, ট্রেনের গতির দিকে
- খ 18 m s−1, ট্রেনের গতির দিকে
- গ 2 m s−1, ট্রেনের গতির বিপরীতে
- ঘ 20 m s−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 18 m s−1, ট্রেনের গতির দিকে
v⃗যাত্রী·মাটি = v⃗যাত্রী·ট্রেন + v⃗ট্রেন·মাটি
= (−2) + 20 = 18 m s−1, ট্রেনের গতির দিকেই
যাত্রী পেছনের দিকে হাঁটলেও প্ল্যাটফর্মের লোকের কাছে তিনি সামনেই এগোচ্ছেন — শুধু একটু ধীরে। -
৩৪৪
একটি নদীর প্রস্থ d, স্রোতের বেগ u এবং স্থির পানিতে নৌকার বেগ v (v > u)। নৌকাটি ঠিক উল্টো পাড়ের বিপরীত বিন্দুতে পৌঁছাতে যে সময় নেয় এবং সবচেয়ে কম সময়ে পার হতে যে সময় নেয় — এদের অনুপাত কত?
- ক v2 − u2v
- খ vu
- গ vv2 − u2
- ঘ v2 + u2v
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) vv2 − u2
সরাসরি ওপারে: স্রোত কাটাতে মুখ উজানে; কার্যকর লম্ব বেগ = v2 − u2
t1 = dv2 − u2
সবচেয়ে কম সময়ে: মুখ তীরের লম্ব বরাবর; পুরো v পারাপারে লাগে
t2 = dv
t1t2 = vv2 − u2
অনুপাতটি সবসময় 1-এর বেশি — অর্থাৎ সরাসরি ওপারে যেতে চাইলে সময় বেশিই লাগে। u → v হলে অনুপাত অসীমের দিকে যায়, তখন পৌঁছানোই অসম্ভব হয়ে পড়ে। -
৩৪৫
20 N মানের একটি বল অনুভূমিকের সাথে 60° কোণে ক্রিয়া করছে। এর অনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশ যথাক্রমে কত?
- ক 10√3 N ও 10 N
- খ 20 N ও 0
- গ 10 N ও 10√3 N
- ঘ 10 N ও 10 N
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 10 N ও 10√3 N
অনুভূমিক উপাংশ = F cos 60° = 20 × ½ = 10 N
উলম্ব উপাংশ = F sin 60° = 20 × √32 = 10√3 N ≈ 17.3 N
যাচাই: 102 + (10√3)2 = 100 + 300 = 20 ✔। -
৩৪৬
A⃗ = î + 2ĵ + 2k̂ ভেক্টরটি x-অক্ষের সাথে যে কোণ করে তার cosine কত?
- ক 23
- খ 13
- গ 1√3
- ঘ 19
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 13
|A⃗| = 1 + 4 + 4 = 3
দিক কোসাইন l = Ax|A⃗| = 13
(একইভাবে m = n = 23) -
৩৪৭
একটি ভেক্টর তিনটি স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথেই সমান কোণ করে। কোণটির মান কত?
- ক 45°
- খ 60°
- গ cos−1(1 ÷ √3)
- ঘ 30°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) cos−1(1 ÷ √3)
সমান কোণ মানে l = m = n = cos α
3 cos2 α = 1 ⟹ cos α = 1√3
α = cos−1(1 ÷ √3) ≈ 54.74°
এই দিকটিই ঘনকের কর্ণের দিক (î + ĵ + k̂)। -
৩৪৮
30° আনতি কোণের একটি মসৃণ আনত তলে 1000 N ওজনের একটি বস্তু রাখা আছে। তলের সমান্তরাল উপাংশটির মান কত?
- ক 500 N
- খ 500√3 N
- গ 1000 N
- ঘ 250 N
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 500 N
তলের সমান্তরাল উপাংশ = W sin θ = 1000 × sin 30° = 1000 × ½ = 500 N
(তলের লম্ব উপাংশ = W cos 30° = 500√3 N — এটিই অভিলম্ব প্রতিক্রিয়ার সমান।) -
৩৪৯
একটি নৌকা 10 m s−1 বেগে উত্তর দিক থেকে পূর্ব দিকে 30° কোণে চলছে। উত্তর ও পূর্ব দিকের বেগ উপাংশ যথাক্রমে কত?
- ক 5 ও 5√3 m s−1
- খ 10 ও 0 m s−1
- গ 5√2 ও 5√2 m s−1
- ঘ 5√3 ও 5 m s−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 5√3 ও 5 m s−1
কোণটি উত্তর দিক থেকে মাপা, তাই উত্তরমুখী উপাংশে cos আর পূর্বমুখী উপাংশে sin বসবে:
উত্তর = 10 cos 30° = 5√3 m s−1 ≈ 8.66
পূর্ব = 10 sin 30° = 5 m s−1
কোন অক্ষ থেকে কোণ মাপা হচ্ছে — এটাই এখানে আসল ফাঁদ। -
৩৫০
একটি ভেক্টর x ও y অক্ষের সাথে যথাক্রমে 60° ও 45° কোণ করে। z অক্ষের সাথে এটি কত কোণ করবে?
- ক 45° অথবা 135°
- খ 30° অথবা 150°
- গ 90°
- ঘ 60° অথবা 120°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 60° অথবা 120°
cos260° + cos245° + cos2γ = 1
14 + 12 + cos2γ = 1 ⟹ cos2γ = 14
cos γ = ± 12 ⟹ γ = 60° অথবা 120°
দুইটি উত্তরই বৈধ — ভেক্টরটি z-অক্ষের ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যেকোনো পাশে হেলে থাকতে পারে। -
৩৫১
একটি বল F-কে দুইটি পরস্পর লম্ব উপাংশে ভাগ করা হলো। একটি উপাংশের মান F2 হলে অপরটির মান কত?
- ক √3 F2
- খ F2
- গ F√2
- ঘ F4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) √3 F2
লম্ব উপাংশ হলে: F12 + F22 = F2
F22 = F2 − F24 = 3F24
F2 = √3 F2
(কোণ দুইটি তখন 60° ও 30°।) -
৩৫২
A⃗ ভেক্টরটিকে দুইটি ভেক্টরে ভাগ করা হলো, যাদের একটি A⃗-এর সাথে 30° এবং অপরটি A⃗-এর সাথে 90° কোণ করে। প্রথম উপাংশটির মান কত?
- ক √3 A3
- খ A2
- গ A√3
- ঘ 2√3 A3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 2√3 A3
ধরি উপাংশ দুইটি P (30° কোণে) ও Q (90° কোণে), যাদের লব্ধি A⃗।
A⃗-এর দিকে উপাংশ মিলিয়ে: P cos 30° + Q cos 90° = A
Q cos 90° = 0 ⟹ P × √32 = A
P = 2A√3 = 2√3 A3 ≈ 1.155A
লক্ষণীয় — উপাংশের মান মূল ভেক্টরের চেয়ে বড় হয়ে গেল। -
৩৫৩
ভেক্টর বিভাজনে কোনো একটি উপাংশের মান মূল ভেক্টরের মানের চেয়ে বড় হতে পারে কি?
- ক না, কখনোই নয়
- খ হ্যাঁ, যদি উপাংশদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়
- গ হ্যাঁ, যদি উপাংশদ্বয় পরস্পর লম্ব না হয়
- ঘ হ্যাঁ, তবে কেবল ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) হ্যাঁ, যদি উপাংশদ্বয় পরস্পর লম্ব না হয়
লম্ব উপাংশের বেলায় Ax = A cos θ — cos θ কখনো 1-এর বেশি নয়, তাই উপাংশ মূল ভেক্টরের চেয়ে বড় হতে পারে না।
কিন্তু উপাংশদ্বয় লম্ব না হলে ব্যাপারটা বদলে যায়। যেমন A⃗ = P⃗ + Q⃗ যেখানে P⃗ ও Q⃗-এর মধ্যবর্তী কোণ স্থূলকোণ — তখন দুইটিই মূল ভেক্টরের চেয়ে বড় হতে পারে।
উদাহরণ: 120° কোণে সমান মানের দুইটি ভেক্টরের লব্ধি প্রতিটির সমানই মাত্র। -
৩৫৪
A(1, 2, 3) ও B(4, 6, 3) বিন্দু দুইটির জন্য AB⃗ ভেক্টরের মান কত?
- ক 7
- খ 29
- গ 5
- ঘ 13
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 5
AB⃗ = (4 − 1)î + (6 − 2)ĵ + (3 − 3)k̂ = 3î + 4ĵ
|AB⃗| = 9 + 16 = 5
সাধারণ নিয়ম: AB⃗ = r⃗B − r⃗A — শেষ বিন্দু বিয়োগ শুরু বিন্দু। -
৩৫৫
a⃗ ও b⃗ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট দুইটি বিন্দুর সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর কোনটি?
- ক a⃗ + b⃗2
- খ a⃗ + b⃗
- গ b⃗ − a⃗2
- ঘ a⃗ × b⃗
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) a⃗ + b⃗2
মধ্যবিন্দু M-এর অবস্থান ভেক্টর:
OM⃗ = a⃗ + 12(b⃗ − a⃗) = a⃗ + b⃗2
এটি 1 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভাজন সূত্রেরই বিশেষ রূপ। -
৩৫৬
A⃗ = 2î − ĵ + 2k̂ ভেক্টরের বিপরীত দিকে একক ভেক্টর কোনটি?
- ক 2î − ĵ + 2k̂3
- খ −2î + ĵ − 2k̂9
- গ −2î + ĵ − 2k̂
- ঘ −2î + ĵ − 2k̂3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) −2î + ĵ − 2k̂3
|A⃗| = 4 + 1 + 4 = 9 = 3
â = 2î − ĵ + 2k̂3
বিপরীত দিকের একক ভেক্টর = −â = −2î + ĵ − 2k̂3
ভাগ করতে হয় মান দিয়ে, মানের বর্গ দিয়ে নয় — অপশন (খ) সেই ভুলটাই ধরার জন্য। -
৩৫৭
P(2, 3, 4) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরের মান কত?
- ক 29
- খ 9
- গ 14
- ঘ 24
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 29
r⃗ = 2î + 3ĵ + 4k̂
|r⃗| = 4 + 9 + 16 = 29 ≈ 5.39। -
৩৫৮
a⃗ ও b⃗ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট A ও B বিন্দুর সংযোগ রেখাংশকে 2 : 3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এমন বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর কোনটি?
- ক 2a⃗ + 3b⃗5
- খ 2a⃗ − 3b⃗5
- গ 3a⃗ − 2b⃗5
- ঘ 3a⃗ + 2b⃗5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 3a⃗ + 2b⃗5
m : n অনুপাতে অন্তর্বিভাজন সূত্র:
r⃗ = na⃗ + mb⃗m + n
m = 2, n = 3 বসিয়ে: 3a⃗ + 2b⃗5
ফাঁদটা লক্ষ করো — যে প্রান্তের কাছে বিন্দুটি, সেই প্রান্তের সহগই বড় হয়। 2 : 3 মানে বিন্দুটি A-এর কাছাকাছি, তাই a⃗-এর সহগ 3। -
৩৫৯
A(1, −1, 2), B(2, 1, −1) ও C(3, 3, −4) বিন্দু তিনটি সম্পর্কে কোন বিবৃতিটি সঠিক?
- ক বিন্দু তিনটি সমরেখ এবং B হলো AC-এর মধ্যবিন্দু
- খ বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গড়ে
- গ বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গড়ে
- ঘ বিন্দু তিনটি সমরেখ, তবে B মধ্যবিন্দু নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) বিন্দু তিনটি সমরেখ এবং B হলো AC-এর মধ্যবিন্দু
AB⃗ = (2 − 1)î + (1 + 1)ĵ + (−1 − 2)k̂ = î + 2ĵ − 3k̂
BC⃗ = (3 − 2)î + (3 − 1)ĵ + (−4 + 1)k̂ = î + 2ĵ − 3k̂
AB⃗ = BC⃗ — একই ভেক্টর! তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ এবং AB = BC অর্থাৎ B হলো AC-এর মধ্যবিন্দু।
যাচাই: a⃗ + c⃗2 = (1 + 3)î + (−1 + 3)ĵ + (2 − 4)k̂2 = 2î + ĵ − k̂ = b⃗ ✔। -
৩৬০
ABCD একটি সামান্তরিক যার A, B, C শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a⃗, b⃗ ও c⃗। D শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর কোনটি?
- ক a⃗ − b⃗ + c⃗
- খ a⃗ + b⃗ − c⃗
- গ a⃗ + b⃗ + c⃗
- ঘ a⃗ + c⃗2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) a⃗ − b⃗ + c⃗
সামান্তরিকে বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল: AB⃗ = DC⃗
b⃗ − a⃗ = c⃗ − d⃗
d⃗ = a⃗ − b⃗ + c⃗
আরেকভাবে: সামান্তরিকের দুই কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ⟹ a⃗ + c⃗2 = b⃗ + d⃗2 — একই ফল।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।