ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ১৬/৩৫
-
৩০১
একটি নৌকা স্রোতের বিপরীতে গেলে তার কার্যকর বেগ কী হবে?
- ক নৌকা ও স্রোতের বেগের বিয়োগফল
- খ নৌকা ও স্রোতের বেগের যোগফল
- গ নৌকার বেগের সমান
- ঘ শূন্য
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) নৌকা ও স্রোতের বেগের বিয়োগফল
স্রোত বিপরীত দিকে হওয়ায় সেটি নৌকার বেগ থেকে বিয়োগ হয়।
vকার্যকর = vনৌকা − vস্রোত
স্রোতের বেগ বেশি হলে নৌকা পিছিয়ে যাবে। -
৩০২
একটি ঝুলন্ত বাতি দুইটি তার দিয়ে ছাদে বাঁধা। তারের টান কীভাবে বের করা হয়?
- ক শুধু ওজন দিয়ে
- খ শুধু কোণ দিয়ে
- গ ক্রস গুণফল দিয়ে
- ঘ সাম্যাবস্থার শর্ত ও উপাংশ বিভাজন দিয়ে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) সাম্যাবস্থার শর্ত ও উপাংশ বিভাজন দিয়ে
সাম্যাবস্থায় প্রতিটি অক্ষ বরাবর উপাংশের সমষ্টি শূন্য —
ΣFx = 0 এবং ΣFy = 0
এই দুইটি সমীকরণ থেকেই দুইটি টান বের করা যায়। লামির উপপাদ্যও ব্যবহার করা যায়। -
৩০৩
বৃত্তাকার গতিতে বেগ ভেক্টরের দিক কোন বরাবর?
- ক ব্যাসার্ধ বরাবর
- খ কেন্দ্রের দিকে
- গ বৃত্তের স্পর্শক বরাবর
- ঘ অক্ষ বরাবর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) বৃত্তের স্পর্শক বরাবর
বেগ সবসময় গতিপথের স্পর্শক বরাবর।
কেন্দ্রমুখী ত্বরণ থাকে ব্যাসার্ধ বরাবর কেন্দ্রের দিকে — বেগের সাথে লম্ব।
এই লম্বতার কারণেই সুষম বৃত্তাকার গতিতে দ্রুতি বদলায় না। -
৩০৪
একটি ভেক্টর ও তার একক ভেক্টরের মধ্যে সম্পর্ক কোনটি?
- ক A⃗ = |A⃗| + Â
- খ A⃗ = |A⃗| − Â
- গ A⃗ = |A⃗| Â
- ঘ A⃗ = Â
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) A⃗ = |A⃗| Â
যেকোনো ভেক্টরকে লেখা যায় — মান × দিক
A⃗ = |A⃗| Â
মান স্কেলার, একক ভেক্টর দিক দেয় — দুইটা মিলে পূর্ণ ভেক্টর। -
৩০৫
কোন ক্ষেত্রে দুইটি ভেক্টরের যোগফলের মান তাদের বিয়োগফলের মানের চেয়ে ছোট হবে?
- ক θ < 90°
- খ θ = 90°
- গ কখনোই নয়
- ঘ θ > 90°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) θ > 90°
|যোগফল|2 − |বিয়োগফল|2 = 4AB cosθ
cosθ ঋণাত্মক হলে (θ > 90°) যোগফল ছোট হয়ে যায়।
θ = 90° এ দুইটা সমান, আর θ < 90° এ যোগফল বড়। -
৩০৬
একটি ভেক্টরকে একই দিকের একক ভেক্টর দিয়ে ডট গুণ করলে কী পাওয়া যায়?
- ক শূন্য
- খ এক
- গ ভেক্টরটির মান
- ঘ ভেক্টরটি নিজেই
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) ভেক্টরটির মান
A⃗ · Â = A × 1 × cos0° = A
অর্থাৎ ঐ দিকে ভেক্টরটির অভিক্ষেপ পাওয়া যায় — এক্ষেত্রে পুরো মানটাই। -
৩০৭
দুইটি ভেক্টরের ডট গুণফল ও ক্রস গুণফল দুইটাই শূন্য হলে কী বোঝায়?
- ক তারা লম্ব
- খ অন্তত একটি নাল ভেক্টর
- গ তারা সমান্তরাল
- ঘ তারা সমান
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) অন্তত একটি নাল ভেক্টর
ডট শূন্য হতে θ = 90° লাগে, ক্রস শূন্য হতে θ = 0° বা 180° লাগে।
দুইটা শর্ত একসাথে সম্ভব নয় — যদি না A = 0 বা B = 0 হয়।
∴ অন্তত একটি নাল ভেক্টর। -
৩০৮
একটি ভেক্টরের তিনটি লম্ব উপাংশ সমান হলে এটি অক্ষগুলোর সাথে কত কোণ করে?
- ক প্রতিটির সাথে 45°
- খ প্রতিটির সাথে 60°
- গ প্রতিটির সাথে 30°
- ঘ প্রতিটির সাথে cos−1(1/√3)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) প্রতিটির সাথে cos−1(1/√3)
তিনটি উপাংশ সমান হলে দিক কোসাইনও সমান: cosα = cosβ = cosγ
3cos2α = 1 ⟹ cosα = 1√3
∴ α = cos−1(1/√3) ≈ 54.7°। -
৩০৯
A⃗ = 3î − 4ĵ ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টর কোনটি?
- ক 3î − 4ĵ7
- খ 3î − 4ĵ5
- গ 3î − 4ĵ25
- ঘ 3î − 4ĵ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 3î − 4ĵ5
|A⃗| = 32 + (−4)2 = 25 = 5
â = A⃗|A⃗| = 3î − 4ĵ5
যাচাই: মান = 9 + 1625 = 1 ✔। -
৩১০
সসীম কোণে ঘূর্ণনের (finite rotation) মান ও দিক দুইটিই আছে, তবু একে ভেক্টর রাশি বলা হয় না। কারণ কী?
- ক এর মাত্রা নেই
- খ এটি যোগের বিনিময় সূত্র মানে না
- গ এর একক নেই
- ঘ এটি সবসময় ধনাত্মক
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) এটি যোগের বিনিময় সূত্র মানে না
ভেক্টর হতে হলে শুধু মান-দিক থাকলেই হয় না, ভেক্টর যোগের নিয়মও মানতে হয়।
একটি বইকে আগে x-অক্ষে 90° তারপর y-অক্ষে 90° ঘোরালে যে অবস্থান হয়, ক্রম উল্টে দিলে সেই অবস্থান হয় না।
অর্থাৎ θ⃗1 + θ⃗2 ≠ θ⃗2 + θ⃗1 — বিনিময় সূত্র ভাঙে, তাই এটি ভেক্টর নয়।
তবে অতিক্ষুদ্র কোণে ঘূর্ণন ভেক্টরের মতোই আচরণ করে — সেজন্যই কৌণিক বেগ ভেক্টর। -
৩১১
3 ও 4 একক মানের দুইটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ 60° হলে লব্ধির মান কত?
- ক 37
- খ 13
- গ 7
- ঘ 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 37
R = P2 + Q2 + 2PQ cosθ
= 9 + 16 + 2 × 3 × 4 × ½ = 9 + 16 + 12 = 37 ≈ 6.08। -
৩১২
6 ও 8 একক মানের দুইটি ভেক্টরের লব্ধির মান 10 একক হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 90°
- খ 60°
- গ 120°
- ঘ 45°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 90°
100 = 36 + 64 + 2 × 6 × 8 × cosθ
100 = 100 + 96 cosθ ⟹ cosθ = 0
θ = 90°
6, 8, 10 পিথাগোরীয় ত্রয়ী — তাই লম্ব হওয়াটাই প্রত্যাশিত। -
৩১৩
A⃗ = 2î + 3ĵ এবং B⃗ = î − ĵ হলে |A⃗ + B⃗| = ?
- ক 17
- খ 13
- গ 29
- ঘ 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 13
A⃗ + B⃗ = (2 + 1)î + (3 − 1)ĵ = 3î + 2ĵ
মান = 32 + 22 = 13
(17 হলো |A⃗ − B⃗| — সাবধান।) -
৩১৪
সমান মানের তিনটি ভেক্টর একই সমতলে পরস্পরের সাথে 120° কোণে অবস্থিত। তাদের লব্ধির মান কত?
- ক একটি ভেক্টরের মানের সমান
- খ 3 গুণ
- গ √3 গুণ
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 0
প্রথম দুইটির লব্ধি = 2a cos60° = a, এবং এই লব্ধির দিক তৃতীয়টির ঠিক বিপরীত।
তাই a + (−a) = 0
সাধারণ নিয়ম: সমান মানের nটি ভেক্টর সমকোণে ছড়িয়ে (360°n ব্যবধানে) থাকলে লব্ধি সবসময় শূন্য। -
৩১৫
একটি বস্তুর ওপর 5 N বল উত্তর দিকে এবং 5 N বল পূর্ব দিকে ক্রিয়া করছে। লব্ধি বলের মান ও দিক কত?
- ক 10 N, উত্তর-পূর্ব কোণে
- খ 5√2 N, উত্তর-পূর্ব কোণে
- গ 5 N, উত্তর দিকে
- ঘ 5√2 N, উত্তর দিকে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 5√2 N, উত্তর-পূর্ব কোণে
বল দুইটি পরস্পর লম্ব ও সমান মানের।
R = 52 + 52 = 5√2 N ≈ 7.07 N
tan α = 55 = 1 ⟹ α = 45°, অর্থাৎ ঠিক উত্তর-পূর্ব কোণ বরাবর। -
৩১৬
P⃗ ও Q⃗ ভেক্টরের লব্ধি P⃗-এর সাথে লম্ব। |Q⃗| = 2|P⃗| হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 90°
- খ 150°
- গ 120°
- ঘ 135°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 120°
লব্ধি R⃗ = P⃗ + Q⃗ এবং R⃗ ⊥ P⃗
⟹ R⃗·P⃗ = 0 ⟹ P2 + P⃗·Q⃗ = 0
⟹ P2 + PQ cos θ = 0 ⟹ cos θ = −PQ = −12
θ = 120°
মনে রাখো: লব্ধি প্রথম ভেক্টরের লম্ব হলে cos θ = −P/Q — এটি একটি কাজে লাগার সূত্র। -
৩১৭
দুইটি ভেক্টরের লব্ধির মান প্রথম ভেক্টরের মানের সমান এবং লব্ধিটি প্রথম ভেক্টরের সাথে লম্ব। দ্বিতীয় ভেক্টরের মান প্রথমটির কত গুণ?
- ক √2
- খ 2
- গ 1√2
- ঘ √3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) √2
ধরি |P⃗| = p, |Q⃗| = q, লব্ধি R⃗ = P⃗ + Q⃗ যেখানে |R⃗| = p এবং R⃗ ⊥ P⃗
① R⃗·P⃗ = 0 ⟹ p2 + P⃗·Q⃗ = 0 ⟹ P⃗·Q⃗ = −p2
② |R⃗|2 = p2 + q2 + 2(P⃗·Q⃗) = p2 + q2 − 2p2 = q2 − p2
কিন্তু |R⃗| = p ⟹ q2 − p2 = p2 ⟹ q = √2 p
(তখন মধ্যবর্তী কোণ 135° হয়।) -
৩১৮
সমান মানের দুইটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মানের অনুপাত √3 : 1 হলে মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 30°
- খ 120°
- গ 90°
- ঘ 60°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 60°
সমান মান a-এর জন্য:
|A⃗ + B⃗| = 2a cosθ2 | |A⃗ − B⃗| = 2a sinθ2
অনুপাত = cotθ2 = √3 ⟹ θ2 = 30°
θ = 60°। -
৩১৯
নিচের কোন তিনটি মানের ভেক্টর দিয়ে লব্ধি শূন্য করা সম্ভব নয়?
- ক 1, 2, 4
- খ 2, 3, 4
- গ 1, 2, 3
- ঘ 3, 4, 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 1, 2, 4
তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে হলে তারা একটি বদ্ধ ত্রিভুজ গড়বে।
শর্ত: যেকোনো দুইটির যোগফল ≥ তৃতীয়টি
• 1 + 2 = 3 < 4 ✘ — ত্রিভুজ বন্ধ হয় না
• 2 + 3 = 5 > 4 ✔
• 1 + 2 = 3 = 3 ✔ (তিনটি সমরেখ, তবু লব্ধি শূন্য)
• 3 + 4 = 7 > 5 ✔
অতএব 1, 2, 4 দিয়ে সম্ভব নয়। -
৩২০
সমান মানের দুইটি ভেক্টরের লব্ধির মান একটি ভেক্টরের মানের √3 গুণ হলে মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 30°
- খ 90°
- গ 60°
- ঘ 120°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 60°
R = 2a cosθ2 = √3 a
cosθ2 = √32 ⟹ θ2 = 30°
θ = 60°
মনে রাখার মতো: সমান মানের ভেক্টরে লব্ধি a হলে 120°, a√2 হলে 90°, a√3 হলে 60°, 2a হলে 0°।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।