ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ১৭/৩৫
-
৩২১
P⃗ ও Q⃗ ভেক্টরের লব্ধি R⃗। যদি Q⃗-কে দ্বিগুণ করা হয় তবে লব্ধির মান দ্বিগুণ হয়; আবার Q⃗-এর দিক উল্টে দিলেও লব্ধির মান দ্বিগুণ হয়। তাহলে P : Q : R = ?
- ক √2 : √3 : √2
- খ 2 : √6 : 2
- গ 1 : √3 : 1
- ঘ 2 : 3 : 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 2 : √6 : 2
তিনটি শর্ত লিখি (θ = মধ্যবর্তী কোণ):
① R2 = P2 + Q2 + 2PQc
② 4R2 = P2 + 4Q2 + 4PQc
③ 4R2 = P2 + Q2 − 2PQc
② − ③ : 3Q2 + 6PQc = 0 ⟹ c = −Q2P
① -এ বসাই: R2 = P2 + Q2 − Q2 = P2 ⟹ R = P
③ -এ বসাই: 4P2 = P2 + Q2 + Q2 ⟹ 3P2 = 2Q2 ⟹ Q = P32
P : Q : R = 1 : 32 : 1 = 2 : √6 : 2। -
৩২২
তিনটি ভেক্টর A⃗, B⃗, C⃗-এর মান যথাক্রমে 3, 4 ও 5 এবং A⃗ + B⃗ + C⃗ = 0। A⃗ ও B⃗-এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 120°
- খ 60°
- গ 150°
- ঘ 90°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 90°
A⃗ + B⃗ = −C⃗ ⟹ |A⃗ + B⃗| = 5
25 = 9 + 16 + 2 × 3 × 4 × cos θ
25 = 25 + 24 cos θ ⟹ cos θ = 0 ⟹ θ = 90°
3-4-5 ত্রিভুজে 3 ও 4 বাহুর মধ্যবর্তী কোণই সমকোণ — ফলটি মিলে যায়। -
৩২৩
দুইটি ভেক্টরের লব্ধির সর্বোচ্চ মান 17 একক এবং সর্বনিম্ন মান 7 একক। ভেক্টর দুইটির মান কত?
- ক 10 ও 7
- খ 13 ও 4
- গ 12 ও 5
- ঘ 11 ও 6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 12 ও 5
P + Q = 17 এবং P − Q = 7
যোগ করে: 2P = 24 ⟹ P = 12
Q = 17 − 12 = 5
অর্থাৎ 12 ও 5। -
৩২৪
দুইটি ভেক্টরের লব্ধির সর্বোচ্চ মান 17 এবং সর্বনিম্ন মান 7। ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে লব্ধির মান কত?
- ক 12
- খ 218
- গ 13
- ঘ 10
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 13
P + Q = 17, P − Q = 7 ⟹ P = 12, Q = 5
লম্ব হলে: R = P2 + Q2 = 144 + 25 = 169 = 13
সাধারণ সূত্র: R⊥ = Rmax2 + Rmin22 = 289 + 492 = 169 = 13। -
৩২৫
সমান মানের দুইটি ভেক্টরের লব্ধির মান তাদের যেকোনো একটির মানের সমান। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 60°
- খ 120°
- গ 90°
- ঘ 150°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 120°
a2 = a2 + a2 + 2a2 cos θ
0 = a2(1 + 2 cos θ) ⟹ cos θ = −½
θ = 120°
তখন লব্ধি, ভেক্টর দুইটি — তিনটিই সমান মানের, একটি সমবাহু বিন্যাস। -
৩২৬
3 ও 5 একক মানের দুইটি ভেক্টরের লব্ধির মান নিচের কোনটি হতে পারে না?
- ক 2
- খ 5
- গ 1
- ঘ 8
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 1
লব্ধির মান সবসময় থাকে |P − Q| থেকে (P + Q) এর মধ্যে।
এখানে সীমা = |5 − 3| থেকে (5 + 3) অর্থাৎ 2 থেকে 8
1 এই সীমার বাইরে ⟹ সম্ভব নয়। বাকি তিনটি সীমার ভেতরে। -
৩২৭
P ও Q ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ θ-কে 0° থেকে 180° পর্যন্ত বাড়ানো হলে লব্ধির মান কীভাবে বদলায়?
- ক একটানা বাড়তে থাকে
- খ একটানা কমতে থাকে
- গ প্রথমে বাড়ে, পরে কমে
- ঘ অপরিবর্তিত থাকে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) একটানা কমতে থাকে
R = P2 + Q2 + 2PQ cos θ
θ 0° থেকে 180° পর্যন্ত বাড়লে cos θ একটানা +1 থেকে −1-এ নামে।
R-এর ভেতরের রাশিটিও তাই একটানা কমে ⟹ লব্ধি একটানা কমতে থাকে।
সর্বোচ্চ (P + Q) থেকে সর্বনিম্ন |P − Q| — মাঝে কোনো ওঠানামা নেই। -
৩২৮
একই সমতলে সমান মানের a চারটি ভেক্টর একটি বিন্দু থেকে শুরু হয়েছে এবং পরপর দুইটির মধ্যবর্তী কোণ 60°। লব্ধির মান কত?
- ক √3 a
- খ 2a
- গ √2 a
- ঘ 4a
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) √3 a
ভেক্টর চারটি 0°, 60°, 120° ও 180° বরাবর ধরি।
x-উপাংশ: a(cos0° + cos60° + cos120° + cos180°)
= a(1 + ½ − ½ − 1) = 0
y-উপাংশ: a(sin0° + sin60° + sin120° + sin180°)
= a(0 + √32 + √32 + 0) = √3 a
লব্ধি = √3 a, দিক 90° বরাবর — অর্থাৎ বিন্যাসের ঠিক মাঝ বরাবর।
সংক্ষিপ্ত পথ: 1ম ও 4র্থ ভেক্টর (180° ব্যবধান) কাটাকাটি হয়ে যায়; বাকি দুইটির মধ্যবর্তী কোণ 60°, তাদের লব্ধি 2a cos30° = √3 a ✔। -
৩২৯
সাম্যাবস্থায় থাকা তিনটি বলের দুইটির মান 10 N ও 10 N এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ 120°। তৃতীয় বলটির মান কত?
- ক 10 N
- খ 20 N
- গ 10√3 N
- ঘ 10√2 N
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 10 N
প্রথম দুইটির লব্ধি: R = 2 × 10 × cos60° = 10 N
সাম্যের জন্য তৃতীয় বলটি এই লব্ধির সমান মানের ও ঠিক বিপরীত দিকে হতে হবে।
তৃতীয় বল = 10 N
অর্থাৎ তিনটি বলই সমান — পরস্পরের সাথে 120° কোণে থাকলে এমনটাই হয়। -
৩৩০
একটি বস্তু দুইটি সুতায় ঝুলছে। সুতা দুইটি উলম্বের সাথে যথাক্রমে 30° ও 60° কোণ করে বিপরীত পাশে আছে। সুতা দুইটির টানের অনুপাত কত?
- ক 1 : √3
- খ √3 : 1
- গ 1 : 1
- ঘ 3 : 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) √3 : 1
তিনটি বল: T1, T2 এবং ওজন W (নিচে)।
মধ্যবর্তী কোণগুলো: T1 ও T2 এর মাঝে 30° + 60° = 90°; T1 ও W-এর মাঝে 150°; T2 ও W-এর মাঝে 120°
ল্যামি: T1sin 120° = T2sin 150°
T1T2 = sin 120°sin 150° = √3 ÷ 21 ÷ 2 = √3 : 1
উলম্বের সাথে ছোট কোণ করা সুতাতেই বেশি টান। -
৩৩১
সাম্যাবস্থায় থাকা তিনটি বলের দুইটির মান 6 N ও 8 N এবং তারা পরস্পর লম্ব। তৃতীয় বলটির মান কত এবং তা কোন দিকে ক্রিয়া করে?
- ক 10 N, প্রথম দুইটির লব্ধির দিকে
- খ 14 N, লব্ধির বিপরীত দিকে
- গ 2 N, লব্ধির বিপরীত দিকে
- ঘ 10 N, প্রথম দুইটির লব্ধির ঠিক বিপরীত দিকে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 10 N, প্রথম দুইটির লব্ধির ঠিক বিপরীত দিকে
প্রথম দুইটির লব্ধি = 36 + 64 = 10 N
সাম্যের জন্য তৃতীয় বল অবশ্যই এই লব্ধিকে পুরোপুরি বাতিল করবে —
অর্থাৎ 10 N, লব্ধির ঠিক বিপরীত দিকে। একে সাম্যকারী বল (equilibrant) বলে।
সাম্যকারী বল আর লব্ধি — মানে সমান, দিকে বিপরীত। -
৩৩২
সমান মানের চারটি বল একই সমতলে ক্রিয়া করে একটি বস্তুকে সাম্যাবস্থায় রেখেছে এবং পরপর দুইটি বলের মধ্যবর্তী কোণ সমান। প্রতিটি কোণের মান কত?
- ক 60°
- খ 90°
- গ 120°
- ঘ 45°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 90°
সমান মানের nটি বল সমান কোণে ছড়িয়ে থাকলে লব্ধি শূন্য হয়, আর তখন প্রতিটি কোণ = 360°n
n = 4 ⟹ কোণ = 360°4 = 90°
অর্থাৎ বল চারটি ± x ও ± y অক্ষ বরাবর — জোড়ায় জোড়ায় কাটাকাটি হয়ে যায়। -
৩৩৩
20 N ওজনের একটি বস্তু একটি সুতায় ঝুলছে। একটি অনুভূমিক বল প্রয়োগ করে সুতাটিকে উলম্বের সাথে 30° কোণে স্থির রাখা হলো। অনুভূমিক বল ও সুতার টান যথাক্রমে কত?
- ক 40√33 N, 20√33 N
- খ 20√3 N, 40√3 N
- গ 10 N, 20 N
- ঘ 20√33 N, 40√33 N
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 20√33 N, 40√33 N
সাম্যাবস্থায় সুতার টান T-এর উপাংশ:
উলম্ব: T cos30° = W = 20 ⟹ T = 20cos 30° = 40√3 N
অনুভূমিক: F = T sin30° = W tan30° = 20√3 = 20√33 N
অতএব 20√33 N ও 40√33 N (≈ 11.5 N ও 23.1 N) -
৩৩৪
একই দিকে চলমান দুইটি গাড়ির বেগ 60 km h−1 ও 40 km h−1। দ্রুততর গাড়ির সাপেক্ষে ধীরতর গাড়ির বেগ কত?
- ক 20 km h−1, সামনের দিকে
- খ 100 km h−1
- গ 20 km h−1, পেছন দিকে
- ঘ 50 km h−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 20 km h−1, পেছন দিকে
v⃗ = 40 − 60 = −20 km h−1
ঋণচিহ্ন মানে দিক উল্টো — অর্থাৎ দ্রুততর গাড়ির চালকের কাছে ধীরতর গাড়িটি 20 km h−1 বেগে পিছিয়ে যাচ্ছে বলে মনে হবে। -
৩৩৫
বিপরীত দিকে চলমান দুইটি ট্রেনের বেগ 60 km h−1 ও 40 km h−1। একটির সাপেক্ষে অন্যটির বেগ কত?
- ক 20 km h−1
- খ 100 km h−1
- গ 50 km h−1
- ঘ 2400 km h−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 100 km h−1
দ্বিতীয় ট্রেনের বেগ −40 (বিপরীত দিক)
v⃗rel = 60 − (−40) = 100 km h−1
এজন্যই বিপরীতমুখী ট্রেন চোখের পলকে পার হয়ে যায়। -
৩৩৬
দুইটি গাড়ি পরস্পর লম্ব দুইটি রাস্তায় যথাক্রমে 30 km h−1 ও 40 km h−1 বেগে চলছে। একটির সাপেক্ষে অন্যটির বেগের মান কত?
- ক 70 km h−1
- খ 50 km h−1
- গ 10 km h−1
- ঘ 35 km h−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 50 km h−1
v⃗rel = v⃗1 − v⃗2
লম্ব বলে মান = 302 + 402 = 2500 = 50 km h−1
লম্ব ভেক্টরের যোগ আর বিয়োগ — দুইটির মান একই। -
৩৩৭
200 m প্রস্থের একটি নদীতে স্রোতের বেগ 3 m s−1। একটি নৌকা 4 m s−1 বেগে তীরের ঠিক লম্ব বরাবর মুখ করে চালানো হলো। নদী পার হতে কত সময় লাগবে?
- ক 40 s
- খ 66.7 s
- গ 50 s
- ঘ 28.6 s
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 50 s
পারাপারের কাজে লাগে কেবল লম্ব উপাংশ — স্রোত শুধু ভাসিয়ে নেয়, পারাপারে সাহায্য বা বাধা দেয় না।
t = 2004 = 50 s
(এই সময়ে নৌকাটি স্রোতের দিকে 3 × 50 = 150 m ভেসে যাবে।) -
৩৩৮
বৃষ্টি উলম্বভাবে 3 m s−1 বেগে পড়ছে। একজন লোক অনুভূমিকভাবে 4 m s−1 বেগে হাঁটলে ছাতাটি উলম্বের সাথে কত কোণে সামনের দিকে ধরতে হবে?
- ক tan−1(3 ÷ 4)
- খ tan−1(4 ÷ 3)
- গ sin−1(4 ÷ 5)
- ঘ cos−1(3 ÷ 5)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) tan−1(4 ÷ 3)
লোকটির সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগ = v⃗বৃষ্টি − v⃗লোক
উলম্ব উপাংশ 3 (নিচে), অনুভূমিক উপাংশ 4 (লোকের গতির বিপরীতে)
উলম্বের সাথে কোণ: tan θ = 43 ⟹ θ = tan−1(4 ÷ 3) ≈ 53°
অর্থাৎ ছাতা সামনের দিকে হেলাতে হবে। -
৩৩৯
100 m প্রস্থের একটি নদীতে স্রোতের বেগ 3 m s−1 এবং স্থির পানিতে নৌকার বেগ 5 m s−1। নৌকাটিকে ঠিক উল্টো পাড়ের বিপরীত বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে কত সময় লাগবে?
- ক 20 s
- খ 25 s
- গ 33.3 s
- ঘ 12.5 s
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 25 s
সরাসরি ওপারে যেতে হলে স্রোত কাটাতে নৌকার মুখ কিছুটা উজানে রাখতে হয়, যাতে অনুভূমিক উপাংশ স্রোতকে বাতিল করে:
5 sin θ = 3 ⟹ sin θ = 35
কার্যকর (লম্ব) বেগ = 5 cos θ = 25 − 9 = 4 m s−1
t = 1004 = 25 s
লক্ষ করো — কম সময়ে পার হতে চাইলে লাগত 100 ÷ 5 = 20 s, কিন্তু তখন ভেসে যেত। -
৩৪০
স্রোতের বেগ নৌকার নিজস্ব বেগের চেয়ে বেশি হলে নৌকাটি কখনোই সরাসরি উল্টো পাড়ের বিপরীত বিন্দুতে পৌঁছাতে পারে না। কারণ কী?
- ক তখন নৌকার ভর বেড়ে যায়
- খ তখন নদীর প্রস্থ বেড়ে যায়
- গ তখন sin θ = u/v > 1 হয়ে যায়, যা অসম্ভব
- ঘ তখন স্রোত নৌকাকে থামিয়ে দেয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) তখন sin θ = u/v > 1 হয়ে যায়, যা অসম্ভব
স্রোত বাতিল করতে দরকার: v sin θ = u ⟹ sin θ = uv
u > v হলে uv > 1 — কিন্তু sin θ কখনো 1-এর বেশি হতে পারে না।
অর্থাৎ এমন কোনো কোণই নেই যাতে স্রোত পুরোপুরি কাটানো যায়। নৌকা বাধ্য হয়েই ভাটির দিকে সরে যাবে।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।