ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ২১/৩৫
-
৪০১
A⃗ = yî + xĵ ভেক্টর ক্ষেত্রটি সম্পর্কে কোনটি সঠিক?
- ক ক্ষেত্রটির কার্ল 2k̂
- খ ক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স 2
- গ ক্ষেত্রটি অঘূর্ণী (কার্ল শূন্য)
- ঘ ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) ক্ষেত্রটি অঘূর্ণী (কার্ল শূন্য)
কার্লের z-উপাংশ = ∂Ay∂x − ∂Ax∂y = ∂x∂x − ∂y∂y = 1 − 1 = 0
অন্য উপাংশগুলোও শূন্য ⟹ ∇ × A⃗ = 0⃗ ⟹ অঘূর্ণী
আবার ∇·A⃗ = ∂y∂x + ∂x∂y = 0 + 0 = 0 — ক্ষেত্রটি সলিনয়ডালও।
সাবধান: A⃗ = −yî + xĵ হলে কিন্তু কার্ল হতো 2k̂ — চিহ্ন একটাই পার্থক্য গড়ে দেয়। -
৪০২
∇·(∇ × A⃗) এর মান কত?
- ক 1
- খ 0
- গ ∇2A⃗
- ঘ ∇ × A⃗
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 0
∇ × A⃗ ভেক্টরটি ∇-এর লম্ব ধরনের — ফলে ∇ দিয়ে ডট করলে ট্রিপল প্রোডাক্টে দুইটি একই "ভেক্টর" চলে আসে।
[∇ ∇ A⃗] = 0
ভৌত অর্থ: কার্ল ক্ষেত্রের কোনো উৎস নেই। এজন্যই B⃗ = ∇ × A⃗ লিখলে স্বয়ংক্রিয়ভাবে ∇·B⃗ = 0 পাওয়া যায় — চৌম্বক একক মেরু নেই। -
৪০৩
∇ × (∇φ) এর মান কত? (φ একটি স্কেলার ক্ষেত্র)
- ক 1
- খ ∇2φ
- গ 0⃗
- ঘ φ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 0⃗
গ্রেডিয়েন্ট ক্ষেত্র সবসময় অঘূর্ণী:
∇ × (∇φ) = 0⃗
কারণ কার্লের প্রতিটি উপাংশে ∂2φ∂x∂y − ∂2φ∂y∂x ধরনের পদ আসে, আর মিশ্র আংশিক অন্তরজ ক্রম-নিরপেক্ষ — তাই কাটাকাটি হয়ে যায়।
ভৌত অর্থ: E⃗ = −∇V লিখলেই ∇ × E⃗ = 0 আপনাআপনি সত্য হয়ে যায় — স্থির তড়িৎক্ষেত্র সংরক্ষণশীল। -
৪০৪
A⃗ = (x + 3y)î + (y − 2z)ĵ + (x + az)k̂ ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল হলে a-এর মান কত?
- ক 2
- খ 0
- গ −1
- ঘ −2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) −2
সলিনয়ডাল মানে ∇·A⃗ = 0
∂∂x(x + 3y) + ∂∂y(y − 2z) + ∂∂z(x + az)
= 1 + 1 + a = 0
a = −2
লক্ষ করো — 3y, −2z, x পদগুলো ডাইভারজেন্সে কোনো অবদানই রাখে না, কারণ প্রতিটিতে অন্য চলকের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ হচ্ছে। -
৪০৫
r⃗ = xî + yĵ + zk̂ এবং r = |r⃗| হলে ∇(rn) এর মান কত?
- ক n rn−1 r⃗
- খ n rn
- গ n rn−1
- ঘ n rn−2 r⃗
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) n rn−2 r⃗
r = x2 + y2 + z2 ⟹ ∂r∂x = xr
∂∂x(rn) = n rn−1 × xr = n rn−2 x
তিনটি উপাংশ মিলিয়ে:
∇(rn) = n rn−2(xî + yĵ + zk̂) = n rn−2 r⃗
দ্রুত যাচাই — n = 1 বসালে ∇r = r⃗r = r̂ ✔, আর n = −1 বসালে ∇(1 ÷ r) = −r⃗r3 — কুলম্বের সূত্রের সেই চেনা রূপ। -
৪০৬
একটি ভেক্টর ক্ষেত্র একই সাথে সলিনয়ডাল ও অঘূর্ণী হলে, তার স্কেলার বিভব φ নিচের কোন সমীকরণটি মানে?
- ক ∇φ = 0
- খ ∇2φ = φ
- গ ∇2φ = 0
- ঘ ∇ × φ = 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) ∇2φ = 0
অঘূর্ণী ⟹ ∇ × A⃗ = 0 ⟹ ক্ষেত্রটিকে A⃗ = ∇φ আকারে লেখা যায়।
সলিনয়ডাল ⟹ ∇·A⃗ = 0
দুইটি মিলিয়ে: ∇·(∇φ) = ∇2φ = 0
এটিই ল্যাপ্লাস সমীকরণ। আধানহীন অঞ্চলে তড়িৎ বিভব ঠিক এই সমীকরণই মানে — এখান থেকেই সমবিভব তল, ধারক ইত্যাদির পুরো তত্ত্ব আসে।
অপশন (ঘ) অর্থহীন — φ স্কেলার, স্কেলারের কার্ল হয় না। -
৪০৭
একটি কণার অবস্থান r⃗ = 3t2 î + 4t ĵ (SI একক)। t = 1 s-এ কণাটির দ্রুতি কত?
- ক √13 m s−1
- খ 10 m s−1
- গ 5 m s−1
- ঘ 2√13 m s−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 2√13 m s−1
v⃗ = dr⃗dt = 6t î + 4 ĵ
t = 1: v⃗ = 6î + 4ĵ
দ্রুতি = 36 + 16 = 52 = 2√13 m s−1 ≈ 7.21। -
৪০৮
একটি কণার অবস্থান r⃗ = a cos ωt î + a sin ωt ĵ। কণাটির দ্রুতি কত?
- ক aω (ধ্রুব)
- খ aω sin ωt
- গ aω2
- ঘ atω
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) aω (ধ্রুব)
v⃗ = −aω sin ωt î + aω cos ωt ĵ
|v⃗| = aωsin2ωt + cos2ωt = aω
দ্রুতি ধ্রুব, কিন্তু বেগের দিক প্রতি মুহূর্তে বদলাচ্ছে — এটিই সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতি। -
৪০৯
একটি কণার অবস্থান r⃗ = a cos ωt î + a sin ωt ĵ। কণাটির ত্বরণ a⃗ ও অবস্থান r⃗-এর মধ্যে সম্পর্ক কী?
- ক a⃗ = ω2r⃗
- খ a⃗ = −ω2r⃗
- গ a⃗ = −ωr⃗
- ঘ a⃗ = 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) a⃗ = −ω2r⃗
v⃗ = −aω sin ωt î + aω cos ωt ĵ
আবার অন্তরীকরণ করে:
a⃗ = −aω2 cos ωt î − aω2 sin ωt ĵ = −ω2(a cos ωt î + a sin ωt ĵ)
= −ω2r⃗
ঋণচিহ্নই আসল কথা — ত্বরণ সবসময় কেন্দ্রের দিকে, মান aω2। এটাই কেন্দ্রমুখী ত্বরণ। -
৪১০
একটি ভেক্টরের মান সবসময় ধ্রুব থাকলে তার সময়-অন্তরজ সম্পর্কে কী বলা যায়?
- ক অন্তরজটি মূল ভেক্টরের লম্ব হবে
- খ অন্তরজটি শূন্য হবে
- গ অন্তরজটি মূল ভেক্টরের সমান্তরাল হবে
- ঘ অন্তরজটির মানও ধ্রুব হবে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) অন্তরজটি মূল ভেক্টরের লম্ব হবে
|A⃗| ধ্রুব ⟹ A⃗·A⃗ = ধ্রুব
উভয় পক্ষ t-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি:
2A⃗·dA⃗dt = 0 ⟹ A⃗ ⊥ dA⃗dt
অর্থাৎ শুধু দিক বদলাতে পারে, আর দিক বদলের হার মূল ভেক্টরের লম্ব।
ভৌত উদাহরণ: সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতিতে বেগের মান ধ্রুব, তাই ত্বরণ বেগের লম্ব — কেন্দ্রমুখী।
অন্তরজ শূন্য হতো কেবল ভেক্টরটি পুরোপুরি ধ্রুব হলে (দিকসহ)। -
৪১১
ddt(A⃗·B⃗) এর সঠিক রূপ কোনটি?
- ক dA⃗dt·dB⃗dt
- খ dA⃗dt·B⃗ − A⃗·dB⃗dt
- গ A⃗·B⃗ × ddt
- ঘ dA⃗dt·B⃗ + A⃗·dB⃗dt
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) dA⃗dt·B⃗ + A⃗·dB⃗dt
সাধারণ গুণফল-নিয়মই খাটে:
ddt(A⃗·B⃗) = dA⃗dt·B⃗ + A⃗·dB⃗dt
ডট গুণন বিনিময়যোগ্য বলে এখানে ক্রম নিয়ে চিন্তা করতে হয় না।
কিন্তু ক্রস গুণনে ক্রম রাখতেই হবে — সেখানে dA⃗dt × B⃗ আর B⃗ × dA⃗dt এক নয়। -
৪১২
একটি কণার অবস্থান r⃗ = t2 î + t3 ĵ (SI একক)। t = 1 s-এ ত্বরণের মান কত?
- ক √13 m s−2
- খ 6 m s−2
- গ 2√10 m s−2
- ঘ 2 m s−2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 2√10 m s−2
v⃗ = 2t î + 3t2 ĵ
a⃗ = 2 î + 6t ĵ
t = 1: a⃗ = 2î + 6ĵ
মান = 4 + 36 = 40 = 2√10 m s−2 ≈ 6.32। -
৪১৩
একটি সমরূপ তড়িৎক্ষেত্র E⃗ = (5î + 3ĵ) N C−1 এবং একটি তলের ক্ষেত্রফল ভেক্টর A⃗ = 2î m2। তলটির মধ্য দিয়ে তড়িৎ ফ্লাক্স কত?
- ক 16 N m2 C−1
- খ 10 N m2 C−1
- গ 6 N m2 C−1
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 10 N m2 C−1
φ = E⃗·A⃗ = (5)(2) + (3)(0) = 10 N m2 C−1
লক্ষ করো — E⃗-এর ĵ উপাংশটি ফ্লাক্সে কোনো অবদান রাখেনি, কারণ সেটি তলের সমান্তরাল, তল ভেদ করে না। -
৪১৪
2 C আধানবিশিষ্ট একটি কণা v⃗ = 3î m s−1 বেগে B⃗ = 4k̂ T চৌম্বক ক্ষেত্রে প্রবেশ করল। কণাটির ওপর ক্রিয়াশীল বলের মান ও দিক কী?
- ক 24 N, −y অক্ষ বরাবর
- খ 24 N, +y অক্ষ বরাবর
- গ 12 N, −y অক্ষ বরাবর
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 24 N, −y অক্ষ বরাবর
F⃗ = q(v⃗ × B⃗) = 2(3î × 4k̂) = 24(î × k̂)
চক্রক্রম থেকে î × k̂ = −ĵ
F⃗ = −24ĵ ⟹ মান 24 N, দিক −y অক্ষ বরাবর
î × k̂-এর চিহ্নটাই এখানে আসল ফাঁদ — î → ĵ → k̂ → î ক্রম উল্টো বলে ঋণাত্মক। -
৪১৫
2 kg ভরের একটি কণা v⃗ = 3î m s−1 বেগে চলছে এবং কোনো মুহূর্তে মূলবিন্দু থেকে এর অবস্থান r⃗ = 4ĵ m। মূলবিন্দু সাপেক্ষে কণাটির কৌণিক ভরবেগের মান কত?
- ক 24 kg m2 s−1
- খ 12 kg m2 s−1
- গ 6 kg m2 s−1
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 24 kg m2 s−1
p⃗ = mv⃗ = 6î kg m s−1
L⃗ = r⃗ × p⃗ = 4ĵ × 6î = 24(ĵ × î) = −24k̂
মান = 24 kg m2 s−1, দিক −z অক্ষ বরাবর
এখানে r⃗ ⊥ v⃗ বলে মান সর্বোচ্চ — L = mvr = 2 × 3 × 4 = 24 ✔। -
৪১৬
চৌম্বক বল কখনোই আহিত কণার গতিশক্তি বদলাতে পারে না। এর কারণ কী?
- ক চৌম্বক বলের মান খুব ছোট
- খ চৌম্বক বল সবসময় বেগের লম্ব, তাই এর কৃতকাজ শূন্য
- গ চৌম্বক বল সবসময় বেগের বিপরীত
- ঘ চৌম্বক ক্ষেত্র শক্তি বহন করে না
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) চৌম্বক বল সবসময় বেগের লম্ব, তাই এর কৃতকাজ শূন্য
F⃗ = q(v⃗ × B⃗) — ক্রস গুণফল সংজ্ঞামতেই v⃗-এর লম্ব।
ক্ষমতা = F⃗·v⃗ = q(v⃗ × B⃗)·v⃗ = 0 (ট্রিপল প্রোডাক্টে দুইটি একই ভেক্টর)
কাজ শূন্য ⟹ গতিশক্তি অপরিবর্তিত।
চৌম্বক বল কেবল দিক বদলায় — এজন্যই সাইক্লোট্রনে কণা বৃত্তাকারে ঘোরে, কিন্তু গতি বাড়ানোর কাজটা করতে হয় তড়িৎক্ষেত্র দিয়ে। -
৪১৭
একটি কণা কোনো বাহ্যিক বল ছাড়া সরলরেখায় সমবেগে চলছে। মূলবিন্দু সাপেক্ষে এর কৌণিক ভরবেগ সম্পর্কে কী বলা যায়?
- ক সময়ের সাথে বাড়তে থাকে
- খ সময়ের সাথে কমতে থাকে
- গ সময়ের সাথে ধ্রুব থাকে
- ঘ সবসময় শূন্য থাকে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) সময়ের সাথে ধ্রুব থাকে
বল শূন্য ⟹ টর্ক τ⃗ = r⃗ × F⃗ = 0⃗
dL⃗dt = τ⃗ = 0 ⟹ L⃗ ধ্রুব
জ্যামিতিকভাবেও দেখা যায়: L = mv × (মূলবিন্দু থেকে গতিরেখার লম্ব দূরত্ব) — সরলরেখায় চললে এই লম্ব দূরত্বটি বদলায় না।
শূন্য হতো কেবল তখনই, যদি গতিরেখা মূলবিন্দুর মধ্য দিয়ে যেত। -
৪১৮
কোন দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (−2, 3, 5) ও (1, −3, 4) হলে, বিন্দু দুইটির সংযোগকারী ভেক্টর কোনটি?
- ক −3i − 6j + k
- খ 3i − 6j − k
- গ −3i + 6j + 7k
- ঘ কোনোটিই সঠিক নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 3i − 6j − k
দুই বিন্দুর সংযোগকারী ভেক্টর = শেষ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর − শুরু বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর। তাই AB = [1 − (−2)]i + (−3 − 3)j + (4 − 5)k = 3i − 6j − k। ফাঁদ: বিয়োগের ক্রম উল্টে দিলে −3i + 6j + k আসে; তাই কোন বিন্দু থেকে কোন বিন্দুতে যাচ্ছ, সেটা আগে ঠিক করে নাও। -
৪১৯
a=i+j+k, b=i+2j+3k হলে, (a+b) এবং (a−b) উভয়ের লম্বদিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
- ক −i−2j−k6
- খ −i+2j−k6
- গ i−2j+k6
- ঘ i+2j+k6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) −i+2j−k6
(a+b) ও (a−b) উভয়ের লম্ব দিক পেতে হলে ক্রস গুণফল লাগবে। a+b = 2i + 3j + 4k এবং a−b = −j − 2k। (a+b)×(a−b) = −2i + 4j − 2k, যার মান = 4 + 16 + 4 = 24 = 26। ∴ একক ভেক্টর = −2i + 4j − 2k26 = −i + 2j − k6। ক্রস গুণফলের ঠিক বিপরীত দিকটিও লম্ব, তাই ± দুটোই গ্রহণযোগ্য। -
৪২০
A=3i+j−2k ও B=i+3j+2k হলে, |AB| কত?
- ক 26
- খ 22
- গ 6
- ঘ 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 26
A ও B-কে অবস্থান ভেক্টর ধরলে AB = OB − OA = (1 − 3)i + (3 − 1)j + [2 − (−2)]k = −2i + 2j + 4k। ∴ |AB| = (−2)2 + 22 + 42 = 4 + 4 + 16 = 24 = 26। মনে রেখো, দুই বিন্দুর দূরত্ব মানে ভেক্টর দুটির যোগফল নয়, বিয়োগফলের মান।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।