ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ২৩/৩৫
-
৪৪১
a-এর মান কত হলে P=4i+2j−3k এবং Q=ai+5j+4k ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে?
- ক 12
- খ 1
- গ 35
- ঘ 2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 12
দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়। P·Q = (4)(a) + (2)(5) + (−3)(4) = 4a + 10 − 12 = 4a − 2। লম্ব হওয়ার শর্তে 4a − 2 = 0 ⇒ a = 12। কারণটি সরল: P·Q = PQ cos θ, আর θ = 90° হলে cos θ = 0, তাই গুণফল শূন্য। -
৪৪২
m-এর মান কত হলে ভেক্টর A=mi−2j+k, B=i−3j+5k এবং C=2i+j−4k একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করবে?
- ক 2
- খ 3
- গ 4
- ঘ None
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 3
সমকোণটা কোথায়, তা ডট গুণফল দিয়ে খুঁজতে হবে। B·C = (1)(2) + (−3)(1) + (5)(−4) = 2 − 3 − 20 = −21 ≠ 0, তাই B ও C লম্ব নয়। এখন A ও C লম্ব ধরলে A·C = 2m − 2 − 4 = 0 ⇒ m = 3। যাচাই: m = 3-এ A = 3i − 2j + k = B + C, অর্থাৎ তিনটি ভেক্টর সত্যিই একটি বন্ধ ত্রিভুজ গড়ে। -
৪৪৩
A=i+2j+2k এবং B=3i+2j−k হলে A-এর ওপর B-এর অভিক্ষেপ কত?
- ক 35
- খ 53
- গ 23
- ঘ 32
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 53
A-এর ওপর B-এর অভিক্ষেপ = A·B|A|। এখানে A·B = (1)(3) + (2)(2) + (2)(−1) = 3 + 4 − 2 = 5 এবং |A| = 12 + 22 + 22 = 9 = 3। ∴ অভিক্ষেপ = 53। ফাঁদ: হরে কোনটির মান বসবে খেয়াল রাখো — 'A-এর ওপর অভিক্ষেপ' হলে হরে |A| বসে, |B| নয়। -
৪৪৪
ix+jy ভেক্টরটি একটি তলের সমান্তরাল এবং c=2i−j+5k ভেক্টরটি তলটির লম্ব হলে একক ভেক্টর কোনটি?
- ক ±i+2j5
- খ ±i+2j5
- গ ±2i+j5
- ঘ ±i−2j3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) ±i+2j5
ভেক্টরটি তলের সমান্তরাল আর c তলের লম্ব, তাই ওই দুটি পরস্পর লম্ব ⇒ ডট গুণফল শূন্য। (xi + yj)·(2i − j + 5k) = 2x − y + 0 = 0 ⇒ y = 2x। x = 1 ধরলে ভেক্টরটি i + 2j, যার মান 1 + 4 = 5। ∴ একক ভেক্টর = ±i + 2j5। বিপরীত দিকটিও একই তলের সমান্তরাল, তাই ± চিহ্ন থাকে। -
৪৪৫
j+k ভেক্টর b=2i+2j−4k ভেক্টরকে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করলে নিচের কোনটি একক ভেক্টর?
- ক ±j+2k5
- খ ±2(i+k)5
- গ ±2j+k5
- ঘ ±2i+k3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) ±j+2k5
সঠিক উত্তর পেতে j+k-এর পরিবর্তে সাধারণ লম্ব ভেক্টর u j+v k ধরলে (yj+zk)·(2i+2j−4k)=0 ⇒ 2y−4z=0 ⇒ y=2z। তাই একক ভেক্টর=±j+2k5। -
৪৪৬
i−j এবং j−k-এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 45°
- খ 45°
- গ 90°
- ঘ 120°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 120°
cosθ=[(i−j)·(j−k)](2×2)=−12। তাই θ=120°। -
৪৪৭
দুটি ভেক্টর P ও Q-এর স্কেলার গুণন 0 হলে-
- ক P ও Q একে অপরের উপর লম্ব
- খ P ও Q একই দিক বরাবর
- গ P ও Q বিপরীত দিক বরাবর
- ঘ কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) P ও Q একে অপরের উপর লম্ব
P·Q = PQ cos θ। P ও Q অশূন্য ভেক্টর হলে P·Q = 0 হওয়ার একমাত্র উপায় cos θ = 0, অর্থাৎ θ = 90° ⇒ তারা পরস্পর লম্ব। বাকিগুলো মেলে না: একই দিকে হলে θ = 0°, P·Q = PQ (সর্বোচ্চ); বিপরীত দিকে হলে θ = 180°, P·Q = −PQ — কোনোটিই শূন্য নয়। -
৪৪৮
A এবং B ভেক্টরদ্বয় কখন A·B=−AB হবে?
- ক ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল এবং একই দিকে
- খ ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী
- গ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব
- ঘ কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী
A·B = AB cos θ। দেওয়া আছে A·B = −AB, তাই AB cos θ = −AB ⇒ cos θ = −1 ⇒ θ = 180°, অর্থাৎ ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী। বাকিগুলো খাটে না: একই দিকে হলে A·B = +AB, আর পরস্পর লম্ব হলে A·B = 0। -
৪৪৯
A = i − 3j + 5k এবং B = m i + 6j − 10k হলে m-এর মান কত হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে?
- ক 2
- খ −2
- গ −3
- ঘ 1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) −2
সমান্তরাল হলে একটি ভেক্টর অন্যটির ধ্রুবক গুণিতক, অর্থাৎ সংশ্লিষ্ট উপাংশগুলোর অনুপাত সমান। B = λA ধরলে m1 = 6−3 = −105। এখানে 6−3 = −2 এবং −105 = −2 — দুটোই মিলছে, তাই λ = −2 ⇒ m = −2। λ ঋণাত্মক মানে ভেক্টর দুটি বিপরীতমুখী, তবু সমান্তরালই। -
৪৫০
i × (i × j) = কত?
- ক 0
- খ j
- গ −j
- ঘ k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) −j
বন্ধনীর ভেতরেরটা আগে করো। i × j = k, তাই i × (i × j) = i × k। আবার k × i = j হওয়ায় ক্রম উল্টে i × k = −j। ∴ ফল = −j। সতর্কতা: ক্রস গুণ সংযোগ সূত্র মানে না, অর্থাৎ i × (i × j) ≠ (i × i) × j — ডানপক্ষে i × i = 0 হয়ে পুরো রাশিই শূন্য হয়ে যেত। -
৪৫১
যদি C = A × B এবং D = B × A হয়, তবে C · D কত?
- ক CD
- খ −CD
- গ 0
- ঘ কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) −CD
ক্রস গুণ বিনিময়যোগ্য নয়: A × B = −(B × A)। তাই C = A × B হলে D = B × A = −C। অর্থাৎ C ও D-এর মান সমান (C = D) কিন্তু দিক ঠিক বিপরীত, মধ্যবর্তী কোণ 180°। ∴ C·D = CD cos 180° = −CD। মনে রেখো, দুটি বিপরীতমুখী ভেক্টরের ডট গুণফল সবসময় ঋণাত্মক। -
৪৫২
দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল 18 একক এবং ভেক্টর গুণফল 63 একক হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 20°
- খ 30°
- গ 40°
- ঘ 50°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 30°
A·B = AB cos θ = 18 এবং |A × B| = AB sin θ = 63। দ্বিতীয়টিকে প্রথমটি দিয়ে ভাগ করলে AB কেটে যায়: tan θ = AB sin θAB cos θ = 6318 = 33 = 13 ⇒ θ = 30°। কৌশল: ডট ও ক্রস গুণফলের মান একসাথে দেওয়া থাকলে ভাগ করে সরাসরি tan θ বের করাই দ্রুততম পথ। -
৪৫৩
A = 3i + j + 2k এবং B = 2i − 2j + 4k। ভেক্টরদ্বয়ের উপর অভিকর্ষ ভেক্টরটি হলো—
- ক −8i − 8j + 8k
- খ 8i − 8j − 8k
- গ 8i − 8j + 8k
- ঘ 8i + 8j + 8k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 8i − 8j − 8k
দুটি ভেক্টরের উভয়ের লম্ব বরাবর ভেক্টর মানেই ক্রস গুণফল A × B। উপাংশগুলো বের করি — i উপাংশ = (1)(4) − (2)(−2) = 4 + 4 = 8; j উপাংশ = −[(3)(4) − (2)(2)] = −(12 − 4) = −8; k উপাংশ = (3)(−2) − (1)(2) = −6 − 2 = −8। ∴ A × B = 8i − 8j − 8k। j উপাংশের সামনে ঋণাত্মক চিহ্ন বসাতে ভুলো না। -
৪৫৪
কোনটি y-অক্ষের উপর লম্ব হবে?
- ক (i×j)×i
- খ (i×j)×k
- গ (j×i)×j
- ঘ (k×j)×k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) (j×i)×j
ভেতর থেকে হিসাব করো: j × i = −k। তাই (j × i) × j = (−k) × j = −(k × j) = −(−i) = i। i হলো x-অক্ষ বরাবর, যা y-অক্ষের লম্ব। বাকিগুলো দেখো: (i × j) × i = k × i = j এবং (k × j) × k = (−i) × k = j — দুটোই y-অক্ষ বরাবর, লম্ব নয়; আর (i × j) × k = k × k = 0। -
৪৫৫
A × B = B × A হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক π
- খ π2
- গ π3
- ঘ π4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) π
এখানে, A × B = B × A
আমরা জানি, B × A = −A × B
∴ A × B = −A × B, অর্থাৎ 2A × B = 0, তাই AB sinθ = 0
∴ sinθ = 0, θ = 0 বা π; অপশনে আছে π
অর্থাৎ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল বা বিপরীত সমান্তরাল হলে ক্রস গুণফল শূন্য হয় এবং তখনই A × B = B × A। -
৪৫৬
একটি সামান্তরিকের কর্ণ দুটি যথাক্রমে A=3i−j+2k এবং B=i−2j+4k হলে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?
- ক 5.59
- খ 6.87
- গ 7.83
- ঘ 8.79
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 5.59
কর্ণ দেওয়া থাকলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ½|A × B|। উপাংশ: i = (−1)(4) − (2)(−2) = 0; j = −[(3)(4) − (2)(1)] = −10; k = (3)(−2) − (−1)(1) = −5। তাই |A × B| = 0 + 100 + 25 = 125 = 55 ≈ 11.18। ∴ ক্ষেত্রফল = 11.18 ÷ 2 ≈ 5.59 বর্গ একক। সন্নিহিত বাহু হলে ½ গুণ করতে হতো না। -
৪৫৭
|A·B| = |A×B| হলে A ও B-এর মধ্যকার কোণ কত?
- ক π
- খ π4
- গ π6
- ঘ 2π
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) π4
|A·B| = AB cos θ (মান হিসেবে) এবং |A × B| = AB sin θ। দুটি সমান হলে AB cos θ = AB sin θ ⇒ tan θ = 1 ⇒ θ = 45° = π4। মনে রেখো: θ = 0 হলে ক্রস গুণফল শূন্য আর θ = π2 হলে ডট গুণফল শূন্য — দুটি সমান হওয়ার একমাত্র জায়গা ঠিক মাঝখানে, অর্থাৎ 45°। -
৪৫৮
A ও B দুটি ভেক্টর রাশি হলে কোনটি সঠিক?
- ক A×B = B×A
- খ A×B = −B×A
- গ a ও b উভয়ই
- ঘ কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) A×B = −B×A
ক্রস গুণ বিনিময় সূত্র মানে না; ক্রম উল্টে দিলে ফলের দিক উল্টে যায়। ডান-হাত নিয়ম অনুযায়ী A × B = −(B × A), যদিও দুটির মান একই (AB sin θ)। তাই (ক) ভুল, আর (ক) ভুল হওয়ায় (গ)-ও বাদ। উল্লেখ্য, ডট গুণ কিন্তু বিনিময়যোগ্য: A·B = B·A। -
৪৫৯
যদি A, B ও C তিনটি ভেক্টর রাশি এবং C=A×B হয় তাহলে C-এর দিক হবে—
- ক A বরাবর
- খ B বরাবর
- গ A ও B উভয়ের লম্ব বরাবর
- ঘ A ও B উভয়ের সমান্তরাল বরাবর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) A ও B উভয়ের লম্ব বরাবর
ক্রস গুণফলের সংজ্ঞাই বলে, C = A × B ভেক্টরটির দিক A ও B উভয়ের উপর লম্ব — অর্থাৎ A ও B যে তলে আছে, ঠিক সেই তলের লম্ব বরাবর। দিকটি ঠিক হয় ডান-হাত নিয়মে: A থেকে B-এর দিকে আঙুল ঘোরালে বুড়ো আঙুল C-এর দিক দেখায়। তাই এটি A বা B কারও বরাবর বা সমান্তরাল নয়। -
৪৬০
একক ভেক্টর (Unit vector)-এর ক্ষেত্রে কোন মানটি সঠিক?
- ক i×j=1
- খ i×j=0
- গ i×j=k
- ঘ i×j=−1
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) i×j=k
ডানহাতি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে একক ভেক্টরগুলোর চক্রক্রম i → j → k → i। তাই i × j = k, j × k = i এবং k × i = j; ক্রম উল্টালে চিহ্ন বদলায়, যেমন j × i = −k। ফল একটি ভেক্টর, তাই 1 বা −1 হতে পারে না; আবার i ও j পরস্পর লম্ব বলে sin 90° = 1, ফলে ফল শূন্যও নয়।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।