ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ২৭/৩৫
-
৫২১
কোন ভেক্টরটি P = 4i + 2j-এর উপর লম্ব?
- ক 3i + 4j
- খ 6i
- গ 5k
- ঘ 4j
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 5k
এখানে, P = 4i + 2j, প্রদত্ত ভেক্টর 5k = 0i + 0j + 5k
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর লম্ব হলে P · Q = PxQx + PyQy + PzQz = 0
∴ P · (5k) = (4 × 0) + (2 × 0) + (0 × 5) = 0, তাই 5k লম্ব
∴ অন্যগুলো: P · (3i + 4j) = 12 + 8 = 20, P · (6i) = 24, P · (4j) = 8 — কোনোটিই শূন্য নয়
XY তলে থাকা যেকোনো ভেক্টর Z-অক্ষ বরাবর ভেক্টরের ওপর লম্ব। -
৫২২
কোনো ভেক্টরের শীর্ষবিন্দু ও পাদবিন্দু একই হলে ভেক্টরটি হবে—
- ক স্বাধীন ভেক্টর
- খ বিপরীত ভেক্টর
- গ সমরেখ ভেক্টর
- ঘ নাল ভেক্টর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) নাল ভেক্টর
যে ভেক্টরের পাদবিন্দু ও শীর্ষবিন্দু একই, তার মান শূন্য এবং দিক অনির্দিষ্ট — একে নাল বা শূন্য ভেক্টর (0) বলে।
যেমন A + (−A) = 0; বৃত্তপথে একবার ঘুরে আসলে সরণ শূন্য ভেক্টর।
স্বাধীন ভেক্টর: পাদবিন্দু যেকোনো জায়গায় নেওয়া যায়; বিপরীত ভেক্টর: মান সমান, দিক বিপরীত।
সমরেখ ভেক্টর: একই রেখা বা সমান্তরাল রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল ভেক্টর। -
৫২৩
OC ভেক্টরটি কোনটি?- ক i + j
- খ j + k
- গ j + k
- ঘ i + j + k
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) i + j
চিত্রে A বিন্দু Z-অক্ষের ওপর (0, 0, 1) এবং B (1, 1, 1); C বিন্দুটি B-এর ঠিক নিচে XY তলে, তাই C = (1, 1, 0)।
অবস্থান ভেক্টর OC = 1i + 1j + 0k = i + j।
একইভাবে OA = k এবং OB = i + j + k; আর AB = OB − OA = i + j = OC, তাই OABC একটি সামান্তরিক।
|OC| = 12 + 12 = 2। -
৫২৪
OABC ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল—- ক 12
- খ 2
- গ 2
- ঘ 22
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 2
এখানে, OA = k, OC = i + j (চিত্র থেকে A = (0, 0, 1), C = (1, 1, 0))
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = |OA × OC|
∴ OA × OC = k × (i + j) = j − i
∴ ক্ষেত্রফল = (−1)2 + 12 = 2 বর্গ একক
OA · OC = 0 বলে OABC আসলে একটি আয়তক্ষেত্র: দৈর্ঘ্য 2, প্রস্থ 1, ক্ষেত্রফল 2। -
৫২৫
যদি Q(x,y) = 3x2y হয়, তবে (1, −2) বিন্দুতে ∇Q নির্ণয় কর।
- ক −6i − 3j
- খ −12i + 3j
- গ 3i + 6j
- ঘ 6i − 12j
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) −12i + 3j
এখানে, Q = 3x2y, বিন্দু (x, y) = (1, −2)
আমরা জানি, ∇Q = (∂Q∂x)i + (∂Q∂y)j = 6xy i + 3x2 j
∴ ∇Q = 6 × 1 × (−2) i + 3 × 12 j = −12i + 3j
গ্রেডিয়েন্ট একটি স্কেলার ক্ষেত্র থেকে ভেক্টর দেয়, যার দিক ঐ স্কেলারের সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হারের দিক। -
৫২৬
A = i, B = 2i + k, A ও B ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ—
- ক 25.12°
- খ 26.57°
- গ 90.67°
- ঘ 180.25°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 26.57°
এখানে, A = i, B = 2i + k, A = 1, B = 22 + 12 = 5
আমরা জানি, cosθ = A · BAB
∴ cosθ = 1 × 2 + 0 × 0 + 0 × 11 × 5 = 25 = 0.894
∴ θ = cos−1(0.894) = 26.57° -
৫২৭
|A × B| = A · B হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 2π
- খ π
- গ π2
- ঘ π4
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) π4
এখানে, |A × B| = A · B
আমরা জানি, |A × B| = AB sinθ, A · B = AB cosθ
∴ AB sinθ = AB cosθ বা tanθ = 1 বা θ = 45° = π4
θ = π2 হলে ডট গুণফল শূন্য, θ = 0, π বা 2π হলে ক্রস গুণফল শূন্য। -
৫২৮
স্কেলার ফাংশনকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে—
- ক ক্রস গুণন
- খ ডট গুণন
- গ গ্রেডিয়েন্ট
- ঘ ডাইভারজেন্স
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) গ্রেডিয়েন্ট
গ্রেডিয়েন্ট (∇φ) একটি স্কেলার ফাংশনকে ভেক্টর রাশিতে রূপান্তর করে: ∇φ = (∂φ∂x)i + (∂φ∂y)j + (∂φ∂z)k।
যেমন তড়িৎ বিভব V (স্কেলার) থেকে তড়িৎ ক্ষেত্র E = −∇V (ভেক্টর)।
ডাইভারজেন্স (∇ · V) ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে স্কেলার দেয়; কার্ল (∇ × V) ভেক্টর থেকে ভেক্টর দেয়।
ডট গুণন দুটি ভেক্টর থেকে স্কেলার, ক্রস গুণন দুটি ভেক্টর থেকে ভেক্টর দেয়। -
৫২৯
F = 5i + 2j − 3k এই বল ভেক্টরটির XZ তলে মান কত একক?
- ক 13
- খ 29
- গ 34
- ঘ 38
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 34
এখানে, F = 5i + 2j − 3k; XZ তলে উপাংশ F′ = 5i − 3k
আমরা জানি, |F′| = Fx2 + Fz2
∴ |F′| = 52 + (−3)2 = 25 + 9 = 34 একক
XY তলে উপাংশের মান 25 + 4 = 29 এবং YZ তলে 4 + 9 = 13; পূর্ণ মান 38। -
৫৩০
চিত্রের ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণন—
- ক A · B = AB cosθ
- খ |A × B| = AB sinθ
- গ A × B = AB sinθ
- ঘ A · B = AB sinθ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) A · B = AB cosθ
চিত্রে A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ θ; স্কেলার বা ডট গুণন A · B = AB cosθ।
|A × B| = AB sinθ হলো ভেক্টর বা ক্রস গুণফলের মান, স্কেলার গুণন নয়।
A × B একটি ভেক্টর, তাই একে শুধু AB sinθ (স্কেলার) লেখা যায় না; সঠিক রূপ A × B = AB sinθ n।
θ = 0° হলে ডট গুণফল সর্বোচ্চ (AB), θ = 90° হলে শূন্য। -
৫৩১
A ও B-এর একক ভেক্টর a-এর মধ্যবর্তী কোণ—
- ক 0°
- খ 45°
- গ 90°
- ঘ 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 0°
কোনো ভেক্টর ও তার একক ভেক্টর সবসময় একই দিকে থাকে, তাই মধ্যবর্তী কোণ 0°।
একক ভেক্টর a = A|A|, এর মান 1 এবং দিক A-এর দিক।
অর্থাৎ A = A a; ধনাত্মক স্কেলার দিয়ে গুণ করলে ভেক্টরের দিক বদলায় না।
a · a = 1 এবং a × a = 0। -
৫৩২
A · B = 0 হলে বুঝা যায়—
- ক A = 0
- খ B = 0
- গ A ও B একে অপরের উপর লম্ব
- ঘ A ও B পরস্পর সমান্তরাল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) A ও B একে অপরের উপর লম্ব
A · B = AB cosθ = 0 হলে (A ≠ 0, B ≠ 0) cosθ = 0, অর্থাৎ θ = 90° — ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।
দুটি অশূন্য ভেক্টরের লম্বতার শর্ত A · B = 0 এবং সমান্তরালতার শর্ত A × B = 0।
যেমন i · j = 0, কারণ X ও Y অক্ষ পরস্পর লম্ব।
সমান্তরাল হলে A · B = AB (সর্বোচ্চ), শূন্য নয়। -
৫৩৩
সলিনয়ডাল হলো—
- ক ∇ × V = 0
- খ ∇ · V = 0
- গ ∇ × φ = 0
- ঘ ∇ = 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) ∇ · V = 0
যে ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য (∇ · V = 0), তাকে সলিনয়ডাল ক্ষেত্র বলে।
এতে কোনো উৎস বা সিঙ্ক নেই; আগত ও নির্গত ফ্লাক্স সমান — যেমন চৌম্বক ক্ষেত্র, অসংকোচনীয় তরলের বেগক্ষেত্র।
∇ × V = 0 হলে ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল (irrotational) বা সংরক্ষণশীল, যেমন স্থির তড়িৎ ক্ষেত্র।
∇ একা একটি ভেক্টর অপারেটর; কোনো ফাংশনের ওপর প্রয়োগ না করলে এর মান অর্থহীন। -
৫৩৪
j × (j × k) = কত?
- ক −k
- খ 0
- গ k
- ঘ i
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) −k
এখানে, j × k = i
আমরা জানি, j × i = −(i × j) = −k
∴ j × (j × k) = j × i = −k
চক্রক্রম i, j, k মেনে গুণ করলে পরের একক ভেক্টর ধনাত্মক আসে, উল্টো ক্রমে ঋণাত্মক। -
৫৩৫
একটি খালের AB ও CD দুটি সমান্তরাল তীর। নৌকার O বিন্দু হতে F1 ও F2 মানে বল প্রয়োগে দুজন ব্যক্তি গুণ টানছে।
F1 ও F2 ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান কত?- ক 10.22
- খ 10.52
- গ 11.22
- ঘ 11.52
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 10.52
এখানে, F1 = 3i + 2j + 5k, F2 = 2i + 3j + 3k
আমরা জানি, R = F1 + F2, |R| = Rx2 + Ry2 + Rz2
∴ R = (3 + 2)i + (2 + 3)j + (5 + 3)k = 5i + 5j + 8k
∴ |R| = 25 + 25 + 64 = 114 ≈ 10.68 একক
হিসাবে লব্ধি ≈ 10.68 একক; ছাপা অপশনগুলোর মধ্যে সবচেয়ে কাছের মান 10.52। -
৫৩৬
একটি খালের AB ও CD দুটি সমান্তরাল তীর। নৌকার O বিন্দু হতে F1 ও F2 মানে বল প্রয়োগে দুজন ব্যক্তি গুণ টানছে।
নৌকাটির ক্ষেত্রে কোনটি প্রযোজ্য?- ক OP বরাবর নৌকাটি অগ্রসর হবে
- খ OQ বরাবর নৌকাটি অগ্রসর হবে
- গ নৌকাটি খালের মাঝে স্থির থাকবে
- ঘ খালের মাঝ বরাবর নৌকাটি অগ্রসর হবে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) OP বরাবর নৌকাটি অগ্রসর হবে
এখানে, F1 = 3i + 2j + 5k (OP বরাবর), F2 = 2i + 3j + 3k (OQ বরাবর), লব্ধি R = F1 + F2 = 5i + 5j + 8k
আমরা জানি, cosα = R · F1R F1, cosβ = R · F2R F2
∴ cosα = 65114 × 38 = 0.988, α ≈ 9.04°; cosβ = 49114 × 22 = 0.978, β ≈ 11.92°
∴ α < β, অর্থাৎ লব্ধি OP-এর দিকে বেশি হেলে আছে, তাই নৌকাটি OP-এর দিকে (AB তীরের দিকে) অগ্রসর হবে
F1 = 38 ≈ 6.16 একক ও F2 = 22 ≈ 4.69 একক অসমান বলে লব্ধি দুই বলের সমদ্বিখণ্ডক বরাবর নয়, তাই নৌকা খালের মাঝ বরাবর চলবে না। -
৫৩৭
আয়ত একক ভেক্টরের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
i. i · j = i · k = k · i = 0
ii. i · i = j · j = k · k = 1
iii. i × i = j × j = k × k = 0
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ i ও iii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
তিনটি বিবৃতিই সঠিক।
i. i, j, k পরস্পর লম্ব, তাই যেকোনো দুটি ভিন্ন একক ভেক্টরের ডট গুণফল = 1 × 1 × cos90° = 0।
ii. একই একক ভেক্টরের ডট গুণফল = 1 × 1 × cos0° = 1।
iii. একই একক ভেক্টরের ক্রস গুণফল = 1 × 1 × sin0° = 0 (শূন্য ভেক্টর); আর i × j = k, j × k = i, k × i = j। -
৫৩৮
নিচের কোনটি স্কেলার রাশি?
- ক বলের ভ্রামক
- খ কৌণিক ভরবেগ
- গ কেন্দ্রমুখী বল
- ঘ জড়তার ভ্রামক
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) জড়তার ভ্রামক
জড়তার ভ্রামক I = Σmr2 — এটি ভর ও দূরত্বের বর্গের ওপর নির্ভর করে, দিকের ওপর নয়; তাই পাঠ্যবই অনুযায়ী স্কেলার রাশি।
বলের ভ্রামক বা টর্ক τ = r × F এবং কৌণিক ভরবেগ L = r × p — দুটিই ক্রস গুণফল, তাই ভেক্টর।
কেন্দ্রমুখী বল F = mv2r বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে, তাই ভেক্টর।
জড়তার ভ্রামকের একক kg m2, মাত্রা [ML2]। -
৫৩৯
ওপরের চিত্রে দুটি ভেক্টর A ও B-এর প্রত্যেকের মান 5 একক। তাদের মধ্যকার কোণ 60°। |A − B| নির্ণয় কর।- ক 0
- খ 7.07 একক
- গ 5 একক
- ঘ 8.66 একক
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 5 একক
এখানে, চিত্র অনুযায়ী A = B = 5 একক, মধ্যবর্তী কোণ θ = 60°
আমরা জানি, |A − B| = A2 + B2 − 2AB cosθ
∴ |A − B| = 25 + 25 − 2 × 5 × 5 × cos60° = 25 = 5 একক
একই ভেক্টরদ্বয়ের যোগফল |A + B| = 25 + 25 + 25 = 53 ≈ 8.66 একক। -
৫৪০
একটি ভেক্টরকে সর্বোচ্চ কয়টি উপাংশে ভাগ করা যায়?
- ক দুটি
- খ তিনটি
- গ ছয়টি
- ঘ অসংখ্য
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) অসংখ্য
একটি ভেক্টরকে অসংখ্য উপাংশে বিভাজন করা যায় — কারণ একই লব্ধি পাওয়ার মতো অসংখ্য উপাংশ-সমষ্টি গঠন করা সম্ভব।
তবে একটি সমতলে পরস্পর লম্ব উপাংশ সর্বোচ্চ দুটি (Ax, Ay) এবং ত্রিমাত্রিক জগতে পরস্পর লম্ব উপাংশ সর্বোচ্চ তিনটি (Ax, Ay, Az)।
লম্ব উপাংশ: Ax = A cosθ, Ay = A sinθ (θ হলো x-অক্ষের সাথে কোণ)।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।