ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ৮/৩৫
-
১৪১
ভেক্টর ক্ষেত্র V অঘূর্ণনশীল হলে নিচের কোনটি সঠিক?
- ক ∇.V=0
- খ ∇×V=0
- গ ∇×V≠0
- ঘ ∇.V≠0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) ∇×V=0
যে ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য, অর্থাৎ ∇ × V = 0, তাকে বলা হয় অঘূর্ণনশীল ক্ষেত্র। উত্তর খ।
এর অর্থ ক্ষেত্রটিতে কোনো বিন্দুর চারপাশে ঘূর্ণনের প্রবণতা নেই। এই ধর্মের সাথে সংরক্ষণশীলতার সরাসরি সম্পর্ক আছে; কার্ল শূন্য হলে বলক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীল হয় এবং বদ্ধ পথে ঘুরে এলে মোট কাজ শূন্য হয়। অভিকর্ষ ও স্থির তড়িৎক্ষেত্র দুটোই এমন। -
১৪২
স্কেলার ফাংশনকে ভেক্টর রাশিতে রুপান্তরিত করে-
- ক ক্রস গুণন
- খ ডট গুণন
- গ গ্রাডিয়েন্ট
- ঘ ডাইভারজেন্স
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) গ্রাডিয়েন্ট
গ্রেডিয়েন্ট স্কেলার ক্ষেত্রের উপর ক্রিয়া করে এবং ফল হিসেবে একটি ভেক্টর দেয়, তাই এটিই স্কেলার রাশিকে ভেক্টরে রূপান্তরিত করে। উত্তর গ্রাডিয়েন্ট।
বাকিগুলো উল্টো বা ভিন্ন কাজ করে। ডাইভারজেন্স ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে স্কেলার দেয়, ডট গুণন দুটি ভেক্টর থেকে স্কেলার দেয় আর ক্রস গুণন দুটি ভেক্টর থেকে ভেক্টর দেয়। কেবল গ্রেডিয়েন্টই স্কেলার থেকে শুরু করে ভেক্টরে পৌঁছায়; বিভব থেকে তড়িৎ প্রাবল্য বের করার সময় ঠিক এই কাজটিই করা হয়। -
১৪৩
যদি Q(x,y)=3x2y হয়, তবে (1,-2) বিন্দুতে ∇Q নির্ণয় করো।
- ক -6 i-3 j
- খ -12 i+3 j
- গ 3 i+6 j
- ঘ 6 i-12 j
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) -12 i+3 j
গ্রেডিয়েন্ট বের করতে x ও y এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরকলজ নিতে হয়। Q = 3x²y হলে ∂Q∂x = 6xy এবং ∂Q∂y = 3x2, তাই ∇Q = 6xyi + 3x2j।
(1, −2) বিন্দুতে বসিয়ে পাই 6(1)(−2) = −12 এবং 3(1)² = 3, অর্থাৎ ∇Q = −12i + 3j। উত্তর খ।
আংশিক অন্তরকলন করার সময় অন্য চলরাশিকে ধ্রুবক ধরতে হয়; x এর সাপেক্ষে করার সময় y ধ্রুবক আর y এর সাপেক্ষে করার সময় x ধ্রুবক। মান বসানোর আগে সাধারণ রূপটি বের করে নেওয়াই নিরাপদ, নাহলে চিহ্ন ও ঘাত নিয়ে ভুল হয়। -
১৪৪
∇.v=0 হলে-
i. কোনো পদার্থে আগত ও নির্গত ফ্লাক্স সমান হয়
ii. তরল অসংকোচনীয় হয়
iii. ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ i ও iii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
∇·v = 0 হলে ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল, এটি সংজ্ঞাই, তাই তৃতীয় বক্তব্য সঠিক। ডাইভারজেন্স শূন্য মানে কোনো আয়তনে যতটুকু ফ্লাক্স ঢুকছে ঠিক ততটুকুই বেরিয়ে যাচ্ছে, তাই প্রথম বক্তব্যও সঠিক।
তরলের ক্ষেত্রে এই শর্তটিই অসংকোচনীয়তার শর্ত, কারণ কোথাও তরল জমে যাচ্ছে না বা উধাও হচ্ছে না; তাই দ্বিতীয়টিও সঠিক এবং উত্তর i, ii ও iii।
তিনটি বক্তব্য আসলে একই গাণিতিক শর্তের তিনটি ভৌত ব্যাখ্যা। প্রবাহীর ধারাবাহিকতা সমীকরণ ও চৌম্বক ক্ষেত্রের গাউসের সূত্র দুটোই এই একই শর্তের উপর দাঁড়িয়ে আছে। -
১৪৫
কোনটি স্কেলার রাশি?
- ক গ্রাডিয়েন্ট
- খ ডাইভারজেন্স
- গ কার্ল
- ঘ সরণ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) ডাইভারজেন্স
ডাইভারজেন্স হলো ∇ অপারেটরের সাথে ভেক্টরের ডট গুণন, আর ডট গুণনের ফল সবসময় স্কেলার। তাই ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি। উত্তর খ।
বাকিগুলো ভেক্টর। গ্রেডিয়েন্ট স্কেলার থেকে ভেক্টর তৈরি করে, কার্ল ক্রস গুণনের ফল বলে ভেক্টর, আর সরণ তো মৌলিকভাবেই ভেক্টর। মনে রাখার সহজ উপায় হলো, যেখানে ডট গুণন সেখানে ফল স্কেলার আর যেখানে ক্রস গুণন সেখানে ফল ভেক্টর। -
১৪৬
যদি ϕ(x,y,z) একটি ব্যবকলনীয় স্কেলার ক্ষেত্র হয়, তবে ∇ϕ কে কী বলে?
- ক অপারেটর
- খ কার্ল
- গ গ্রাডিয়েন্ট
- ঘ ডাইভারজেন্স
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) গ্রাডিয়েন্ট
ϕ একটি ব্যবকলনীয় স্কেলার ক্ষেত্র হলে ∇ϕ রাশিটিকে বলা হয় ঐ ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট। উত্তর গ্রাডিয়েন্ট।
কার্ল ও ডাইভারজেন্স দুটোই ভেক্টর ক্ষেত্রের উপর ক্রিয়া করে, স্কেলার ক্ষেত্রের উপর নয়; তাই সেগুলো এখানে খাটে না। আর ∇ নিজে একটি অপারেটর, কিন্তু ∇ϕ অপারেটর নয়, সেটি অপারেটর প্রয়োগের ফল। স্কেলার ক্ষেত্রের উপর একমাত্র গ্রেডিয়েন্টই প্রয়োগ করা যায়। -
১৪৭
কোনো ভেক্টরের কার্ল শূন্য হলে ভেক্টরটি-
i. সলিনয়ডাল
ii. সংরক্ষণশীল
iii. অঘূর্ণনশীল
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ i ও iii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) ii ও iii
কার্ল শূন্য হওয়া মানে ক্ষেত্রটিতে ঘূর্ণনের প্রবণতা নেই, অর্থাৎ ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল; তৃতীয় বক্তব্য সঠিক। আবার কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীলও হয়, কারণ তখন বদ্ধ পথে ঘুরে এলে মোট কাজ শূন্য হয়; দ্বিতীয়টিও সঠিক।
কিন্তু সলিনয়ডাল হওয়ার শর্ত কার্ল নয়, ডাইভারজেন্স শূন্য হওয়া; তাই প্রথম বক্তব্য ভুল এবং উত্তর ii ও iii।
দুটি শর্ত আলাদা করে মনে রাখা জরুরি। ∇·V = 0 হলে সলিনয়ডাল, আর ∇ × V = 0 হলে অঘূর্ণনশীল ও সংরক্ষণশীল। চৌম্বক ক্ষেত্র সলিনয়ডাল আর স্থির তড়িৎক্ষেত্র অঘূর্ণনশীল, এই দুটি উদাহরণ মনে রাখলে শর্ত দুটি আর গুলিয়ে যাবে না। -
১৪৮
A=i+j, B=k, C=i-j ভেক্টর তিনটির ক্ষেত্রে,
i. A ও C একই রেখায় অবস্থিত
ii. B ও C পরস্পর লম্ব
iii. A ও B অঘূর্ণনশীল
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ i ও iii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) ii ও iii
A = i + j এবং C = i − j এর ডট গুণফল = (1)(1) + (1)(−1) = 0, অর্থাৎ এরা পরস্পর লম্ব, একই রেখায় নয়; তাই প্রথম বক্তব্য ভুল। B = k ও C এর ডট গুণফলও শূন্য, কারণ C ভেক্টরে k উপাংশ নেই; তাই দ্বিতীয়টি সঠিক।
তৃতীয় বক্তব্যও সঠিক, কারণ ধ্রুব ভেক্টরের ক্ষেত্রে প্রতিটি উপাংশের আংশিক অন্তরকলজ শূন্য, ফলে কার্লও শূন্য এবং ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল। উত্তর ii ও iii।
একই রেখায় থাকা আর লম্ব থাকা দুটি আলাদা ধারণা; একই রেখায় থাকলে ক্রস গুণফল শূন্য হতো, আর লম্ব থাকলে ডট গুণফল শূন্য হয়। এখানে ডট শূন্য এসেছে, তাই ভেক্টর দুটি লম্ব। -
১৪৯
কোনো ‘বল ভেক্টরের কার্ল শূন্য হলে, বল ভেক্টরটি হবে-
- ক সংরক্ষণশীল
- খ অসংরক্ষণশীল
- গ ঘূর্ণনশীল
- ঘ সলিনয়ডাল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) সংরক্ষণশীল
কোনো বল ভেক্টরের কার্ল শূন্য হলে ঐ বলক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীল। উত্তর ক।
এর অর্থ হলো, ঐ বল দ্বারা কৃতকাজ কেবল আদি ও শেষ অবস্থানের উপর নির্ভর করে, পথের উপর নয়; আর বদ্ধ পথে ঘুরে এলে মোট কাজ শূন্য হয়। অভিকর্ষ বল, স্প্রিং বল ও স্থির তড়িৎ বল তিনটিই সংরক্ষণশীল। অন্যদিকে ঘর্ষণ বলের কার্ল শূন্য নয়, তাই ঘর্ষণ অসংরক্ষণশীল এবং সেখানে পথ যত লম্বা হয় কাজও তত বাড়ে। -
১৫০
∇×A=0 হলে-
i. A ভেক্টর ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল
ii. A ভেক্টর ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীল
iii. A ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ i ও iii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) i ও ii
∇ × A = 0 মানে কার্ল শূন্য, অর্থাৎ ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল; প্রথম বক্তব্য সঠিক। কার্ল শূন্য হলে ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীলও হয়, তাই দ্বিতীয়টিও সঠিক।
কিন্তু সলিনয়ডাল হওয়ার শর্ত ∇·A = 0, কার্ল নয়; তাই তৃতীয় বক্তব্য ভুল এবং উত্তর i ও ii।
একটি ক্ষেত্র একসাথে অঘূর্ণনশীল ও সলিনয়ডাল দুটোই হতে পারে, কিন্তু তার জন্য দুটি আলাদা শর্তই আলাদা করে মিলতে হবে; একটি থেকে অন্যটি আপনাআপনি আসে না। -
১৫১
যদি A একটি ভেক্টরক্ষেত্র হয় তবে ∇. (∇×A) এর মান কত?
- ক 3
- খ 2
- গ 1
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 0
কোনো ভেক্টরের কার্ল নিলে যে ভেক্টর পাওয়া যায় তার ডাইভারজেন্স সবসময় শূন্য, অর্থাৎ ∇·(∇ × A) = 0। উত্তর ০।
কারণটি ক্রস গুণনের ধর্ম থেকেই আসে; ∇ × A ভেক্টরটি ∇ এর উপর লম্ব, আর লম্ব দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য। এই অভেদটি চৌম্বক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে সরাসরি কাজে লাগে, কারণ B = ∇ × A লেখা যায় বলেই ∇·B = 0 নিশ্চিতভাবে সত্য হয়। -
১৫২
কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রে কার্ল শূন্য না হলে ক্ষেত্রটি হবে-
i. ঘূর্ণনশীল
ii. অসংরক্ষণশীল
iii. সলিনয়ডাল
নিচের কোনটি সঠিক?- ক i ও ii
- খ i ও iii
- গ ii ও iii
- ঘ i, ii ও iii
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) i ও ii
কার্ল শূন্য না হওয়া মানে ক্ষেত্রটিতে ঘূর্ণনের প্রবণতা আছে, অর্থাৎ ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল; প্রথম বক্তব্য সঠিক। আর কার্ল শূন্য না হলে ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীল হতে পারে না, তাই দ্বিতীয়টিও সঠিক।
সলিনয়ডাল হওয়ার শর্ত ডাইভারজেন্স শূন্য হওয়া, যার সাথে কার্লের কোনো সম্পর্ক নেই; তাই তৃতীয় বক্তব্য ভুল এবং উত্তর i ও ii।
কার্ল ও ডাইভারজেন্স ক্ষেত্রের দুটি সম্পূর্ণ আলাদা বৈশিষ্ট্য মাপে; একটি ঘূর্ণন আর অন্যটি ছড়িয়ে পড়া। তাই একটির মান থেকে অন্যটি সম্পর্কে কিছু বলা যায় না। -
১৫৩
নিচের কোন ভৌত রাশিটি স্কেলার ক্ষেত্রের সাথে সংশ্লিষ্ট?
- ক মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র প্রাবল্য
- খ রৈখিক ভরবেগ
- গ মহাকর্ষীয় বিভব
- ঘ কৌণিক ভরবেগ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) মহাকর্ষীয় বিভব
স্কেলার ক্ষেত্র মানে এমন ক্ষেত্র যার প্রতিটি বিন্দুতে কেবল একটি মান থাকে, দিক থাকে না। মহাকর্ষীয় বিভব এমনই একটি রাশি, তাই এটি স্কেলার ক্ষেত্রের সাথে সংশ্লিষ্ট। উত্তর গ।
বাকি তিনটিই ভেক্টর। মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র প্রাবল্যের দিক আছে, রৈখিক ভরবেগ ও কৌণিক ভরবেগ দুটোই ভেক্টর রাশি। লক্ষণীয়, মহাকর্ষীয় বিভব স্কেলার হলেও এর গ্রেডিয়েন্ট নিলে ভেক্টর পাওয়া যায়, আর সেটিই মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র প্রাবল্য; একই সম্পর্ক তড়িৎ বিভব ও তড়িৎ প্রাবল্যের মধ্যেও আছে। -
১৫৪
নিচের কোনটি ভেক্টর রাশি?
- ক কাজ
- খ ক্ষমতা
- গ টর্ক
- ঘ তাপ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) টর্ক
টর্ক, τ⃗ = r⃗ × F⃗ — এর মান ও দিক দুটোই আছে, তাই ভেক্টর।
কাজ, ক্ষমতা ও তাপ শুধু মান দিয়েই সম্পূর্ণ — এগুলো স্কেলার। -
১৫৫
নিচের কোনটি স্কেলার রাশি?
- ক ভরবেগ
- খ রোধ
- গ কৌণিক বেগ
- ঘ তড়িৎ প্রাবল্য
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) রোধ
রোধের কোনো দিক নেই, শুধু মান আছে — তাই স্কেলার।
ভরবেগ, কৌণিক বেগ ও তড়িৎ প্রাবল্য — তিনটাই ভেক্টর। -
১৫৬
দিক থাকা সত্ত্বেও নিচের কোনটি ভেক্টর রাশি নয়?
- ক তড়িৎ প্রবাহ
- খ সরণ
- গ ত্বরণ
- ঘ বল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) তড়িৎ প্রবাহ
তড়িৎ প্রবাহের দিক থাকলেও এটি স্কেলার।
কারণ দুইটি প্রবাহ মেশালে ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে না — কার্শফের সূত্র অনুসারে সাধারণ বীজগাণিতিক যোগ হয়।
নিয়ম: শুধু দিক থাকলেই ভেক্টর নয়, ভেক্টর যোগের নিয়মও মানতে হবে। -
১৫৭
যেটি ভেক্টর রাশির বৈশিষ্ট্য নয়—
- ক মান আছে
- খ বীজগাণিতিক নিয়মে যোগ হয়
- গ দিক আছে
- ঘ সামান্তরিক সূত্র মানে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) বীজগাণিতিক নিয়মে যোগ হয়
ভেক্টর রাশি সাধারণ বীজগাণিতিক নিয়মে যোগ হয় না — ত্রিভুজ বা সামান্তরিক সূত্র মেনে যোগ হয়।
যেমন 3 N ও 4 N লম্ব হলে লব্ধি 7 N নয়, 5 N। -
১৫৮
একটি রাশিকে ভেক্টর বলতে হলে যে শর্তটি অবশ্যই লাগবে—
- ক শুধু মান থাকা
- খ মান, দিক ও ভেক্টর যোগের নিয়ম মানা
- গ শুধু দিক থাকা
- ঘ একক থাকা
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) মান, দিক ও ভেক্টর যোগের নিয়ম মানা
ভেক্টরের তিনটি শর্ত — মান থাকতে হবে, দিক থাকতে হবে, এবং ভেক্টর যোগের নিয়ম (সামান্তরিক সূত্র) মানতে হবে।
তৃতীয় শর্তটির কারণেই তড়িৎ প্রবাহ ভেক্টর নয়। -
১৫৯
কোন জোড়ার দুইটি রাশিই ভেক্টর?
- ক বল ও চাপ
- খ কাজ ও শক্তি
- গ দ্রুতি ও বেগ
- ঘ সরণ ও ভরবেগ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) সরণ ও ভরবেগ
সরণ ও ভরবেগ — দুইটাই ভেক্টর।
চাপ, কাজ, শক্তি ও দ্রুতি স্কেলার। বেগ ভেক্টর হলেও দ্রুতি স্কেলার, তাই (গ) জোড়াটি মেশানো। -
১৬০
তড়িৎ প্রবাহ ঘনত্ব ও তড়িৎ প্রবাহ — এদের সম্পর্কে সঠিক উক্তি কোনটি?
- ক প্রবাহ ঘনত্ব ভেক্টর, প্রবাহ স্কেলার
- খ দুইটাই ভেক্টর
- গ দুইটাই স্কেলার
- ঘ প্রবাহ ভেক্টর, প্রবাহ ঘনত্ব স্কেলার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) প্রবাহ ঘনত্ব ভেক্টর, প্রবাহ স্কেলার
তড়িৎ প্রবাহ ঘনত্ব J⃗ একটি ভেক্টর রাশি — এর সুনির্দিষ্ট দিক আছে এবং ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে।
কিন্তু তড়িৎ প্রবাহ I স্কেলার, কারণ এটি বীজগাণিতিক নিয়মে যোগ হয়।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।