ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ১০/৩৫
-
১৮১
তিনটি ভেক্টর একটি বদ্ধ ত্রিভুজ গঠন করলে তাদের লব্ধি কত?
- ক ত্রিভুজের পরিসীমার সমান
- খ শূন্য
- গ বৃহত্তম বাহুর সমান
- ঘ ক্ষেত্রফলের সমান
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) শূন্য
বদ্ধ বহুভুজ গঠন করলে শুরুর বিন্দু ও শেষ বিন্দু এক হয়ে যায়।
ফলে মোট সরণ শূন্য, অর্থাৎ লব্ধি নাল ভেক্টর।
এটাই ভেক্টর যোগের বহুভুজ সূত্রের ফল। -
১৮২
বহুভুজ সূত্র কোন কাজে ব্যবহৃত হয়?
- ক দুইটি ভেক্টরের গুণফল বের করতে
- খ ভেক্টরকে উপাংশে ভাগ করতে
- গ দুইয়ের অধিক ভেক্টরের লব্ধি বের করতে
- ঘ কোণ নির্ণয় করতে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) দুইয়ের অধিক ভেক্টরের লব্ধি বের করতে
তিন বা তার বেশি ভেক্টরের লব্ধি বের করতে বহুভুজ সূত্র ব্যবহৃত হয় — প্রতিটির শেষ প্রান্তে পরেরটির শুরু বসিয়ে যেতে হয়।
প্রথমটির শুরু থেকে শেষটির শেষ পর্যন্ত টানা ভেক্টরই লব্ধি। -
১৮৩
দুইটি সমান মানের ভেক্টরের লব্ধি তাদের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখণ্ডক বরাবর হয় — এটি—
- ক কখনোই সত্য নয়
- খ সবসময় সত্য
- গ শুধু লম্ব হলে সত্য
- ঘ শুধু বিপরীত হলে সত্য
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) সবসময় সত্য
সমান মানের দুইটি ভেক্টর দিয়ে গঠিত সামান্তরিকটি একটি রম্বস হয়।
রম্বসের কর্ণ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই লব্ধি ঠিক মাঝ বরাবর যায়। -
১৮৪
একটি ভেক্টরকে দুইটি পরস্পর লম্ব উপাংশে ভাগ করলে উপাংশ দুইটি কী হবে?
- ক Rsinθ ও Rtanθ
- খ Rcosθ ও Rcotθ
- গ Rcosθ ও Rsinθ
- ঘ Rtanθ ও Rsecθ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) Rcosθ ও Rsinθ
x-অক্ষের সাথে θ কোণ করলে —
Rx = Rcosθ, Ry = Rsinθ
যাচাই: Rx2 + Ry2 = R2(cos2θ + sin2θ) = R2। -
১৮৫
একটি ভেক্টরের উপাংশ ঐ ভেক্টরের চেয়ে বড় হতে পারে কি?
- ক না, কখনোই নয়
- খ হ্যাঁ, লম্ব উপাংশে
- গ শুধু শূন্য কোণে
- ঘ হ্যাঁ, তির্যক (অলম্ব) উপাংশে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) হ্যাঁ, তির্যক (অলম্ব) উপাংশে
লম্ব উপাংশ Rcosθ বা Rsinθ কখনো R এর চেয়ে বড় হয় না, কারণ sin ও cos এর মান ১ এর বেশি নয়।
কিন্তু ভেক্টরকে অলম্ব দুই দিকে ভাগ করলে উপাংশ মূল ভেক্টরের চেয়ে বড় হতে পারে। -
১৮৬
কোনো ভেক্টরের y-উপাংশ শূন্য হলে ভেক্টরটি কোন দিকে থাকবে?
- ক x-অক্ষ বরাবর
- খ y-অক্ষ বরাবর
- গ ৪৫° কোণে
- ঘ z-অক্ষ বরাবর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) x-অক্ষ বরাবর
Ry = R sinθ = 0 ⟹ sinθ = 0 ⟹ θ = 0°
অর্থাৎ ভেক্টরটি সম্পূর্ণভাবে x-অক্ষ বরাবর। -
১৮৭
তিন মাত্রায় একটি ভেক্টরের মান নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
- ক Ax + Ay + Az
- খ √(Ax2 + Ay2 + Az2)
- গ AxAyAz
- ঘ √(Ax + Ay + Az)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) √(Ax2 + Ay2 + Az2)
পিথাগোরাসের উপপাদ্য তিন মাত্রায় বাড়িয়ে —
|A⃗| = √(Ax2 + Ay2 + Az2)
উপাংশগুলো যোগ করলে মান পাওয়া যায় না — ওগুলো পরস্পর লম্ব। -
১৮৮
A⃗ = 3î + 4ĵ হলে এর মান কত?
- ক 5
- খ 7
- গ 12
- ঘ 25
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 5
|A⃗| = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5। -
১৮৯
A⃗ = 6î − 8ĵ ভেক্টরের অভিমুখে একক ভেক্টর কোনটি?
- ক 0.8î − 0.6ĵ
- খ 0.6î − 0.8ĵ
- গ 6î − 8ĵ
- ঘ 0.5î − 0.5ĵ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 0.6î − 0.8ĵ
|A⃗| = √(62 + 82) = √100 = 10
 = 6î − 8ĵ10 = 0.6î − 0.8ĵ
যাচাই: √(0.62 + 0.82) = √1 = 1 ✓। -
১৯০
2î + 3ĵ + 6k̂ ভেক্টরটির মান কত?
- ক 5
- খ 7
- গ 11
- ঘ 49
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 7
|A⃗| = √(22 + 32 + 62)
= √(4 + 9 + 36) = √49 = 7। -
১৯১
5 N ও 12 N দুইটি লম্ব বলের লব্ধি বল 5 N বলের সাথে কত কোণ করবে?
- ক tan−1(5/12)
- খ tan−1(1)
- গ tan−1(13/5)
- ঘ tan−1(12/5)
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) tan−1(12/5)
tanα = Q sinθP + Q cosθ
θ = 90° হওয়ায় sin90° = 1, cos90° = 0
∴ tanα = 125 ⟹ α = tan−1(12/5) ≈ 67°
অর্থাৎ লব্ধি বড় বলটির দিকে বেশি ঝুঁকে থাকে। -
১৯২
সমান মানের দুইটি বলের লব্ধি একটি বলের মানের সমান হলে বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 60°
- খ 90°
- গ 120°
- ঘ 150°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 120°
R2 = P2 + P2 + 2P2 cosθ
বা, P2 = 2P2(1 + cosθ)
বা, 1 + cosθ = 12
∴ cosθ = − 12 ⟹ θ = 120°। -
১৯৩
সমান মানের দুইটি বলের লব্ধি একটি বলের √2 গুণ হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 45°
- খ 60°
- গ 90°
- ঘ 120°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 90°
2P2 = 2P2(1 + cosθ)
বা, 1 + cosθ = 1
∴ cosθ = 0 ⟹ θ = 90°
অর্থাৎ সমান দুইটি বল লম্ব হলে লব্ধি √2 গুণ হয়। -
১৯৪
6 N ও 8 N দুইটি বলের লব্ধি 10 N হলে বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ কত?
- ক 0°
- খ 60°
- গ 90°
- ঘ 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 90°
102 = 62 + 82 + 2(6)(8) cosθ
বা, 100 = 36 + 64 + 96 cosθ
বা, 96 cosθ = 0
∴ θ = 90°
(৬, ৮, ১০ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী — তাই লম্ব হওয়াই স্বাভাবিক।) -
১৯৫
একটি বস্তুর ওপর 10 N বল x-অক্ষের সাথে 60° কোণে ক্রিয়া করছে। বলের x-উপাংশ কত?
- ক 5√3 N
- খ 5 N
- গ 10 N
- ঘ 8.66 N
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 5 N
Fx = F cosθ = 10 × cos60°
= 10 × 12 = 5 N
(y-উপাংশ হতো 10 sin60° = 5√3 ≈ 8.66 N) -
১৯৬
দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সঠিক সংজ্ঞা কোনটি?
- ক AB sinθ
- খ AB cosθ
- গ AB tanθ
- ঘ AB sinθ n̂
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) AB cosθ
A⃗ · B⃗ = AB cosθ
এখানে θ হলো দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ। ফলাফল একটি স্কেলার রাশি।
AB sinθ n̂ হলো ভেক্টর (ক্রস) গুণফল। -
১৯৭
দুইটি অশূন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্য হলে ভেক্টর দুইটি—
- ক পরস্পর লম্ব
- খ সমান্তরাল
- গ বিপরীতমুখী
- ঘ সমান
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) পরস্পর লম্ব
AB cosθ = 0, আর A ≠ 0, B ≠ 0
∴ cosθ = 0 ⟹ θ = 90°
এটাই দুইটি ভেক্টরের লম্ব হওয়ার শর্ত। -
১৯৮
স্কেলার গুণফল সর্বোচ্চ হয় কখন?
- ক θ = 0°
- খ θ = 45°
- গ θ = 90°
- ঘ θ = 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) θ = 0°
A⃗ · B⃗ = AB cosθ
cos0° = 1 → সর্বোচ্চ মান AB
cos180° = −1 → সর্বনিম্ন মান −AB। -
১৯৯
স্কেলার গুণফল সম্পর্কে কোন উক্তিটি সঠিক নয়?
- ক A⃗ · B⃗ = B⃗ · A⃗
- খ A⃗ · A⃗ = A2
- গ A⃗ · (B⃗ + C⃗) = A⃗ · B⃗ + A⃗ · C⃗
- ঘ ফলাফল একটি ভেক্টর রাশি
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) ফলাফল একটি ভেক্টর রাশি
স্কেলার গুণফলের ফলাফল সবসময় স্কেলার, ভেক্টর নয় — তাই (ঘ) ভুল।
বাকি তিনটি সঠিক: এটি বিনিময় ও বণ্টন সূত্র মানে, আর নিজের সাথে গুণ করলে বর্গ পাওয়া যায়। -
২০০
î · î এবং î · ĵ এর মান যথাক্রমে—
- ক 0 এবং 1
- খ 1 এবং 1
- গ 0 এবং 0
- ঘ 1 এবং 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 1 এবং 0
î · î = (1)(1) cos0° = 1
î · ĵ = (1)(1) cos90° = 0
একই একক ভেক্টরের ডট গুণফল ১, ভিন্ন (লম্ব) হলে ০।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।