ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ১১/৩৫
-
২০১
নিচের কোন রাশিটি স্কেলার গুণফল থেকে পাওয়া যায়?
- ক কাজ
- খ টর্ক
- গ কৌণিক ভরবেগ
- ঘ লরেঞ্জ বল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) কাজ
কাজ, W = F⃗ · s⃗ = Fs cosθ → স্কেলার গুণফল
বাকিগুলো ক্রস গুণফল:
• টর্ক = r⃗ × F⃗
• কৌণিক ভরবেগ = r⃗ × p⃗
• লরেঞ্জ বল = q(v⃗ × B⃗) -
২০২
চৌম্বক ফ্লাক্স φ = B⃗ · A⃗ — এই রাশিটি কী ধরনের?
- ক ভেক্টর
- খ টেনসর
- গ একক ভেক্টর
- ঘ স্কেলার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) স্কেলার
দুইটি ভেক্টরের ডট গুণফল সবসময় স্কেলার।
তাই চৌম্বক ফ্লাক্স একটি স্কেলার রাশি, যদিও B⃗ ও A⃗ দুইটাই ভেক্টর। -
২০৩
A⃗ · B⃗ ঋণাত্মক হলে অন্তর্ভুক্ত কোণ সম্পর্কে কী বলা যায়?
- ক θ < 90°
- খ θ = 90°
- গ θ = 0°
- ঘ 90° < θ ≤ 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 90° < θ ≤ 180°
ডট গুণফলের চিহ্ন cosθ এর চিহ্নের ওপর নির্ভর করে।
cosθ ঋণাত্মক হয় যখন θ স্থূলকোণ, অর্থাৎ 90° < θ ≤ 180°
কাজের ক্ষেত্রে এটাই ঘটে যখন বল সরণের বিপরীতে ক্রিয়া করে — যেমন ঘর্ষণ বল। -
২০৪
একটি ভেক্টরের নিজের সাথে স্কেলার গুণফল কত?
- ক শূন্য
- খ এক
- গ ভেক্টরটির মান
- ঘ ভেক্টরটির মানের বর্গ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) ভেক্টরটির মানের বর্গ
A⃗ · A⃗ = A · A · cos0° = A2
নিজের সাথে কোণ শূন্য, তাই cos0° = 1। -
২০৫
ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃত কাজ ঋণাত্মক হয় কেন?
- ক বল শূন্য বলে
- খ বল ও সরণের কোণ ১৮০°
- গ সরণ শূন্য বলে
- ঘ ঘর্ষণ ভেক্টর নয় বলে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) বল ও সরণের কোণ ১৮০°
ঘর্ষণ বল সবসময় গতির বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে, তাই θ = 180°
W = Fs cos180° = −Fs
ঋণাত্মক কাজ মানে বল শক্তি শোষণ করছে। -
২০৬
স্কেলার গুণফল ব্যবহার করে দুইটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের সূত্র—
- ক sinθ = A⃗ · B⃗AB
- খ tanθ = A⃗ · B⃗AB
- গ cosθ = ABA⃗ · B⃗
- ঘ cosθ = A⃗ · B⃗AB
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) cosθ = A⃗ · B⃗AB
A⃗ · B⃗ = AB cosθ থেকে সরাসরি —
cosθ = A⃗ · B⃗|A⃗| |B⃗|
উপাংশ জানা থাকলে এভাবেই কোণ বের করা হয়। -
২০৭
দুইটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলের সঠিক রূপ কোনটি?
- ক AB cosθ
- খ AB tanθ n̂
- গ AB sinθ n̂
- ঘ AB cosθ n̂
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) AB sinθ n̂
A⃗ × B⃗ = AB sinθ n̂
এখানে n̂ হলো A⃗ ও B⃗ যে সমতলে আছে তার লম্ব বরাবর একক ভেক্টর, দিক ঠিক হয় ডান-হাত নিয়মে। ফলাফল একটি ভেক্টর। -
২০৮
ভেক্টর গুণফল সর্বোচ্চ হয় কখন?
- ক θ = 0°
- খ θ = 45°
- গ θ = 90°
- ঘ θ = 180°
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) θ = 90°
|A⃗ × B⃗| = AB sinθ
sin90° = 1 → সর্বোচ্চ মান AB
sin0° = sin180° = 0 → সমরেখ হলে ক্রস গুণফল শূন্য। -
২০৯
ভেক্টর গুণফল সম্পর্কে কোন উক্তিটি সঠিক?
- ক A⃗ × B⃗ = −(B⃗ × A⃗)
- খ A⃗ × B⃗ = B⃗ × A⃗
- গ A⃗ × A⃗ = A2
- ঘ ফলাফল একটি স্কেলার
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) A⃗ × B⃗ = −(B⃗ × A⃗)
ক্রস গুণফল বিনিময় সূত্র মানে না — ক্রম উল্টালে চিহ্ন বদলে যায়।
A⃗ × B⃗ = −(B⃗ × A⃗)
আর A⃗ × A⃗ = 0⃗ (sin0° = 0), ফলাফল সবসময় ভেক্টর। -
২১০
ĵ × k̂ এর মান কত?
- ক 0
- খ 1
- গ î
- ঘ −î
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) î
ডান-হাত নিয়মে চক্রাকার ক্রম — î → ĵ → k̂ → î
î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ
উল্টো ক্রমে চিহ্ন ঋণাত্মক হয়। -
২১১
k̂ × ĵ এর মান কত?
- ক î
- খ −î
- গ ĵ
- ঘ 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) −î
চক্রাকার ক্রম î → ĵ → k̂ এর উল্টো দিকে গেলে চিহ্ন ঋণাত্মক হয়।
ĵ × k̂ = î ⟹ k̂ × ĵ = −î। -
২১২
দুইটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি?
- ক A⃗ · B⃗
- খ 12|A⃗ × B⃗|
- গ |A⃗ × B⃗|
- ঘ |A⃗| + |B⃗|
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) |A⃗ × B⃗|
ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা = A × (B sinθ) = AB sinθ = |A⃗ × B⃗|
একই দুই বাহু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে এর অর্ধেক। -
২১৩
দুইটি ভেক্টরকে দুই বাহু ধরে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
- ক |A⃗ × B⃗|
- খ 12|A⃗ × B⃗|
- গ 12(A⃗ · B⃗)
- ঘ 2|A⃗ × B⃗|
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 12|A⃗ × B⃗|
সামান্তরিকের কর্ণ টানলে দুইটি সমান ত্রিভুজ হয়।
তাই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12|A⃗ × B⃗|। -
২১৪
ডান-হাত নিয়ম কী নির্ধারণ করে?
- ক ক্রস গুণফলের মান
- খ ক্রস গুণফলের দিক
- গ ডট গুণফলের মান
- ঘ ভেক্টরের উপাংশ
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) ক্রস গুণফলের দিক
ক্রস গুণফলের মান পাওয়া যায় AB sinθ থেকে।
কিন্তু ফলাফল ভেক্টরটি সমতলের কোন পাশে থাকবে — উপরে না নিচে — সেটা ঠিক করে ডান-হাত নিয়ম। -
২১৫
টর্কের সঠিক ভেক্টর রূপ কোনটি?
- ক τ⃗ = r⃗ × F⃗
- খ τ⃗ = F⃗ × r⃗
- গ τ⃗ = r⃗ · F⃗
- ঘ τ⃗ = F⃗ · r⃗
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) τ⃗ = r⃗ × F⃗
τ⃗ = r⃗ × F⃗ — অবস্থান ভেক্টর আগে, বল পরে।
ক্রম উল্টালে টর্কের দিক উল্টে যাবে, কারণ ক্রস গুণফল বিনিময় সূত্র মানে না। -
২১৬
বল ও অবস্থান ভেক্টর সমরেখ হলে টর্ক কত হবে?
- ক শূন্য
- খ সর্বোচ্চ
- গ rF
- ঘ অসীম
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) শূন্য
τ = rF sinθ
সমরেখ মানে θ = 0° বা 180°, তখন sinθ = 0
∴ τ = 0
এজন্যই দরজার কব্জা বরাবর ধাক্কা দিলে দরজা ঘোরে না। -
২১৭
তিনটি ভেক্টর সহাবস্থ (coplanar) হওয়ার শর্ত কোনটি?
- ক A⃗ · (B⃗ × C⃗) = 0
- খ A⃗ × (B⃗ × C⃗) = 0
- গ A⃗ · B⃗ = 0
- ঘ A⃗ × B⃗ = 0
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) A⃗ · (B⃗ × C⃗) = 0
স্কেলার ট্রিপল গুণফল A⃗ · (B⃗ × C⃗) হলো তিনটি ভেক্টর দিয়ে গঠিত সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন।
তিনটি একই সমতলে থাকলে আয়তন শূন্য হয়ে যায়। -
২১৮
স্কেলার ট্রিপল গুণফল A⃗ · (B⃗ × C⃗) কী নির্দেশ করে?
- ক সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
- খ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
- গ ভেক্টরের মান
- ঘ সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) সামান্তরিক ঘনবস্তুর আয়তন
(B⃗ × C⃗) এর মান ভূমির ক্ষেত্রফল, আর A⃗ এর সেই লম্ব বরাবর উপাংশ হলো উচ্চতা।
ক্ষেত্রফল × উচ্চতা = আয়তন। -
২১৯
সাইনের সূত্রে দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত কোনটি?
- ক A⃗ · B⃗ = 0
- খ A⃗ + B⃗ = 0⃗
- গ A⃗ × B⃗ = 0⃗
- ঘ A = B
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) A⃗ × B⃗ = 0⃗
সমান্তরাল হলে θ = 0° বা 180°, তখন sinθ = 0
∴ A⃗ × B⃗ = 0⃗
অন্যদিকে ডট গুণফল শূন্য হলে ভেক্টর দুইটি লম্ব। -
২২০
A⃗ = 2î + 3ĵ − k̂ এবং B⃗ = î − ĵ + 2k̂ হলে A⃗ · B⃗ কত?
- ক 3
- খ −3
- গ 7
- ঘ −7
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) −3
A⃗ · B⃗ = (2)(1) + (3)(−1) + (−1)(2)
= 2 − 3 − 2 = −3।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।