ভেক্টর — বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান
HSC পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্রের ২য় অধ্যায়। এখানে ৭০০টি প্রশ্ন আছে — বোর্ড, ঢাবি, বুয়েট আর মেডিকেল ভর্তি পরীক্ষা থেকে বাছাই করা, প্রতিটার নিচে পূর্ণ ব্যাখ্যা দেওয়া। উত্তর দেখার আগে নিজে একবার চেষ্টা করে নিও।
৭০০ প্রশ্ন
১ম পত্র
অধ্যায় ২
পাতা ১২/৩৫
-
২২১
একটি বস্তুর ওপর F⃗ = (5î + 3ĵ) N বল প্রয়োগে বস্তুটি s⃗ = (2î + 4ĵ) m সরল। কৃত কাজ কত?
- ক 10 J
- খ 12 J
- গ 22 J
- ঘ 26 J
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) 22 J
W = F⃗ · s⃗ = (5)(2) + (3)(4)
= 10 + 12 = 22 J
কাজ স্কেলার, তাই উত্তরে দিক থাকে না। -
২২২
A⃗ = î + ĵ এবং B⃗ = î − ĵ হলে A⃗ × B⃗ কত?
- ক −2k̂
- খ 0
- গ 2
- ঘ 2k̂
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) −2k̂
k̂ উপাংশ = AxBy − AyBx
= (1)(−1) − (1)(1) = −2
î ও ĵ উপাংশ শূন্য (দুইটাই xy-তলে)
∴ A⃗ × B⃗ = −2k̂। -
২২৩
r⃗ = (2î + ĵ) m এবং F⃗ = (3î + 4ĵ) N হলে টর্ক কত?
- ক 11k̂ N·m
- খ −5k̂ N·m
- গ 2k̂ N·m
- ঘ 5k̂ N·m
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) 5k̂ N·m
τz = x Fy − y Fx
= (2)(4) − (1)(3) = 8 − 3 = 5
∴ τ⃗ = 5k̂ N·m। -
২২৪
দুইটি ভেক্টরের মান যথাক্রমে 4 ও 5, অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°। এদের স্কেলার গুণফল কত?
- ক 10
- খ 17.3
- গ 20
- ঘ 5
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 10
A⃗ · B⃗ = AB cos60°
= 4 × 5 × 12 = 10। -
২২৫
দুইটি ভেক্টরের মান 3 ও 4, অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°। ভেক্টর গুণফলের মান কত?
- ক 6
- খ 10.4
- গ 12
- ঘ 3
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 6
|A⃗ × B⃗| = AB sin30°
= 3 × 4 × 12 = 6। -
২২৬
pî + 2ĵ এবং 3î − ĵ ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে p এর মান কত?
- ক 2/3
- খ 3/2
- গ 6
- ঘ −6
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) 2/3
লম্ব হওয়ার শর্ত: ডট গুণফল = 0
(p)(3) + (2)(−1) = 0
বা, 3p = 2
∴ p = 2/3। -
২২৭
একটি সামান্তরিকের দুই সংলগ্ন বাহু 2î + ĵ এবং î + 3ĵ। ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
- ক 3
- খ 5
- গ 7
- ঘ 11
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 5
ক্ষেত্রফল = |A⃗ × B⃗|
k̂ উপাংশ = (2)(3) − (1)(1) = 6 − 1 = 5
∴ ক্ষেত্রফল = 5 বর্গ একক। -
২২৮
একটি ভেক্টরের মান 10 এবং এটি B⃗ এর সাথে 60° কোণে আছে। B⃗ এর অভিমুখে A⃗ এর অভিক্ষেপ কত?
- ক 8.66
- খ 5
- গ 10
- ঘ 20
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) 5
অভিক্ষেপ (projection) = A cosθ
= 10 × cos60° = 10 × 12 = 5
অর্থাৎ অভিক্ষেপ = A⃗ · B⃗|B⃗|। -
২২৯
∇ (ডেল) অপারেটরের সঠিক রূপ কোনটি?
- ক ∂∂x + ∂∂y + ∂∂z
- খ î + ĵ + k̂
- গ î ∂∂x + ĵ ∂∂y + k̂ ∂∂z
- ঘ îx + ĵy + k̂z
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) î ∂∂x + ĵ ∂∂y + k̂ ∂∂z
∇ একটি ভেক্টর অপারেটর — এতে একক ভেক্টর ও আংশিক অন্তরকলজ দুইটাই থাকে।
∇ = î ∂∂x + ĵ ∂∂y + k̂ ∂∂z
একক ভেক্টর ছাড়া লিখলে সেটা আর ভেক্টর অপারেটর থাকে না। -
২৩০
একটি স্কেলার ক্ষেত্রে ∇ প্রয়োগ করলে কী পাওয়া যায়?
- ক স্কেলার
- খ শূন্য
- গ একক ভেক্টর
- ঘ ভেক্টর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) ভেক্টর
∇φ (গ্রেডিয়েন্ট) একটি ভেক্টর রাশি।
স্কেলার ক্ষেত্র → গ্রেডিয়েন্ট → ভেক্টর ক্ষেত্র। যেমন বিভব (স্কেলার) থেকে তড়িৎ প্রাবল্য (ভেক্টর) পাওয়া যায়। -
২৩১
গ্রেডিয়েন্ট ∇φ কোন দিকে নির্দেশ করে?
- ক φ-এর দ্রুততম হ্রাসের দিকে
- খ সমবিভব তল বরাবর
- গ যেকোনো দিকে
- ঘ φ-এর দ্রুততম বৃদ্ধির দিকে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) φ-এর দ্রুততম বৃদ্ধির দিকে
∇φ সেই দিকে নির্দেশ করে যেদিকে φ সবচেয়ে দ্রুত বাড়ে, আর এর মান ঐ সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার।
∇φ সর্বদা সমবিভব তলের ওপর লম্ব থাকে। -
২৩২
ডাইভারজেন্স ∇ · A⃗ কী ধরনের রাশি?
- ক ভেক্টর
- খ স্কেলার
- গ অপারেটর
- ঘ একক ভেক্টর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) স্কেলার
ডট গুণফলের ফলাফল সবসময় স্কেলার — ∇ · A⃗ ও তাই।
∇ · A⃗ = ∂Ax∂x + ∂Ay∂y + ∂Az∂z। -
২৩৩
কার্ল ∇ × A⃗ কী ধরনের রাশি?
- ক স্কেলার
- খ শূন্য
- গ ভেক্টর
- ঘ অপারেটর
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: গ) ভেক্টর
ক্রস গুণফলের ফলাফল সবসময় ভেক্টর।
কার্ল ক্ষেত্রের ঘূর্ণন পরিমাপ করে, আর ঘূর্ণনের অক্ষ বরাবর দিক থাকে। -
২৩৪
∇ · A⃗ = 0 হলে ক্ষেত্রটিকে বলে—
- ক অঘূর্ণনশীল
- খ সংরক্ষণশীল
- গ সমসত্ত্ব
- ঘ সলিনয়ডাল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) সলিনয়ডাল
ডাইভারজেন্স শূন্য মানে ক্ষেত্রের কোনো উৎস বা সিংক নেই — যত রেখা ঢোকে ততই বের হয়।
এমন ক্ষেত্রকে সলিনয়ডাল বলে। উদাহরণ: চৌম্বক ক্ষেত্র, কারণ ∇ · B⃗ = 0। -
২৩৫
∇ × A⃗ = 0 হলে ক্ষেত্রটি—
- ক অঘূর্ণনশীল
- খ সলিনয়ডাল
- গ পরিবর্তনশীল
- ঘ অসংরক্ষণশীল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) অঘূর্ণনশীল
কার্ল শূন্য মানে ক্ষেত্রে কোথাও ঘূর্ণন নেই — একে অঘূর্ণনশীল বলে।
এমন ক্ষেত্র সংরক্ষণশীলও হয়, অর্থাৎ A⃗ = −∇φ আকারে লেখা যায়।
উদাহরণ: স্থির তড়িৎ ক্ষেত্র, মহাকর্ষ ক্ষেত্র। -
২৩৬
আপেক্ষিক বেগের সঠিক সংজ্ঞা কোনটি?
- ক v⃗12 = v⃗1 − v⃗2
- খ v⃗12 = v⃗1 + v⃗2
- গ v⃗12 = v⃗1 · v⃗2
- ঘ v⃗12 = v⃗1 × v⃗2
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) v⃗12 = v⃗1 − v⃗2
দ্বিতীয় বস্তুর সাপেক্ষে প্রথম বস্তুর আপেক্ষিক বেগ —
v⃗12 = v⃗1 − v⃗2
এটি একটি ভেক্টর বিয়োগ, সাধারণ বিয়োগ নয়। -
২৩৭
দুইটি বস্তু একই দিকে সমান বেগে চললে একটির সাপেক্ষে অন্যটির বেগ কত?
- ক দ্বিগুণ
- খ শূন্য
- গ অর্ধেক
- ঘ অপরিবর্তিত
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) শূন্য
v⃗12 = v⃗1 − v⃗2 = 0⃗
তাই পাশাপাশি একই বেগে চলা দুইটি ট্রেনের যাত্রীর কাছে অন্য ট্রেনটি স্থির মনে হয়। -
২৩৮
দুইটি বস্তু বিপরীত দিকে চললে আপেক্ষিক বেগ কী হবে?
- ক বেগ দুইটির বিয়োগফল
- খ শূন্য
- গ গুণফল
- ঘ বেগ দুইটির যোগফল
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ঘ) বেগ দুইটির যোগফল
v⃗2 বিপরীত দিকে হওয়ায় সেটি ঋণাত্মক।
v12 = v1 − (−v2) = v1 + v2
তাই মুখোমুখি আসা দুইটি গাড়ি অনেক দ্রুত কাছে আসছে মনে হয়। -
২৩৯
বৃষ্টি উল্লম্বভাবে পড়ছে, একজন লোক সামনে হাঁটছে। ছাতা কোন দিকে ধরতে হবে?
- ক সামনের দিকে হেলিয়ে
- খ ঠিক উপরে
- গ পেছনের দিকে হেলিয়ে
- ঘ পাশে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: ক) সামনের দিকে হেলিয়ে
লোকটির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ = v⃗বৃষ্টি − v⃗লোক
লোকের বেগ বিয়োগ হওয়ায় আপেক্ষিক বেগ পেছনদিকে হেলে যায় — অর্থাৎ বৃষ্টি সামনে থেকে আসছে মনে হয়।
তাই ছাতা সামনের দিকে হেলাতে হয়। -
২৪০
নদী পার হওয়ার সময় সবচেয়ে কম সময় লাগে কখন?
- ক স্রোতের সাথে ৪৫° কোণে চালালে
- খ তীরের লম্ব বরাবর চালালে
- গ স্রোতের উজানে চালালে
- ঘ স্রোতের ভাটিতে চালালে
সঠিক উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: খ) তীরের লম্ব বরাবর চালালে
পার হতে সময় নির্ভর করে শুধু লম্ব উপাংশের ওপর: t = dvলম্ব
নৌকা সরাসরি লম্ব বরাবর চালালে পুরো বেগটাই লম্ব উপাংশ হয়, তাই সময় সবচেয়ে কম।
তবে তখন নৌকা স্রোতে ভেসে কিছুটা নিচে গিয়ে পৌঁছাবে।
ভেক্টর নিয়ে পরীক্ষা দাও
শুধু এই অধ্যায়ের প্রশ্ন দিয়ে একটা এক্সাম বানাও — সময় ধরে, নেগেটিভ মার্কিংসহ।